# Zusammengesetzte Transformationsmatrix
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/composite-transformation-matrix/de.mdx
Verknüpfe Spiegelungen, Drehungen und zentrische Streckungen durch Matrixmultiplikation und beachte dabei die Reihenfolge der Transformationen.
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## Verkettung von Transformationen mit Matrizen
In der Geometrie bildet eine Transformation jeden Punkt einer Figur auf einen Bildpunkt ab. Je nach Transformation können sich Lage, Ausrichtung, Größe oder Form der Figur ändern. Werden mehrere Transformationen nacheinander angewendet, sprechen wir von einer Verkettung von Transformationen.
Matrizen helfen uns dabei, viele geometrische Transformationen darzustellen und das Ergebnis ihrer Verkettung zu berechnen.
Wir konzentrieren uns auf Transformationen, die sich durch $$2 \times 2$$-Matrizen darstellen lassen. Die Spiegelung an der $$x$$-Achse wird zum Beispiel durch $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ beschrieben. Wird ein Punkt $$(x,y)$$ an der $$x$$-Achse gespiegelt, erhalten wir seinen Bildpunkt durch die Multiplikation dieser Matrix mit dem Ortsvektor: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$.
Visible text: Wir konzentrieren uns auf Transformationen, die sich durch -Matrizen darstellen lassen. Die Spiegelung an der -Achse wird zum Beispiel durch beschrieben. Wird ein Punkt an der -Achse gespiegelt, erhalten wir seinen Bildpunkt durch die Multiplikation dieser Matrix mit dem Ortsvektor: .
Hier sind einige grundlegende Transformationen zusammen mit ihren Matrizen, die häufig bei der Zusammensetzung von Transformationen verwendet werden:
1. Spiegelung an der $$x$$-Achse: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
2. Spiegelung an der $$y$$-Achse: $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
3. Spiegelung an der Geraden $$y=x$$: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
4. Spiegelung an der Geraden $$y=-x$$: $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
5. Spiegelung am Ursprung $$O(0,0)$$ (entspricht einer Drehung um $$180^\circ$$): $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
6. Drehung um den Ursprung $$(0,0)$$ um den Winkel $$\theta$$: $$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$
7. Zentrische Streckung mit dem Zentrum $$(0,0)$$ und dem Streckfaktor $$k$$: $$\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$$
Visible text: 1. Spiegelung an der -Achse:
2. Spiegelung an der -Achse:
3. Spiegelung an der Geraden :
4. Spiegelung an der Geraden :
5. Spiegelung am Ursprung (entspricht einer Drehung um ):
6. Drehung um den Ursprung um den Winkel :
7. Zentrische Streckung mit dem Zentrum und dem Streckfaktor :
### Verkettete Transformationen mit Matrizen anwenden
Bei einer Verkettung führen wir mehrere Transformationen nacheinander aus. Folgt auf $$T_1$$ die Transformation $$T_2$$, schreiben wir $$T_2 \circ T_1$$. Dabei wird zuerst $$T_1$$ und anschließend $$T_2$$ angewendet.
Visible text: Bei einer Verkettung führen wir mehrere Transformationen nacheinander aus. Folgt auf die Transformation , schreiben wir . Dabei wird zuerst und anschließend angewendet.
Angenommen, die Matrix, die $$T_1$$ entspricht, ist $$M_1$$, und die Matrix, die $$T_2$$ entspricht, ist $$M_2$$. Um das Bild des Punktes $$P(x,y)$$ unter der Komposition $$T_2 \circ T_1$$ zu finden, gibt es zwei äquivalente Methoden:
Visible text: Angenommen, die Matrix, die entspricht, ist , und die Matrix, die entspricht, ist . Um das Bild des Punktes unter der Komposition zu finden, gibt es zwei äquivalente Methoden:
1. **Transformationen sequenziell auf den Punkt anwenden:**
- Berechne das Bild von $$P(x,y)$$ unter $$T_1$$: .
- Berechne danach das Bild von unter $$T_2$$: .
Setzen wir das Ergebnis aus Schritt (a) in Schritt (b) ein, erhalten wir: .
2. **Zuerst die zusammengesetzte Matrix finden:**
- Bestimme die Matrix $$M$$, die die verkettete Transformation $$T_2 \circ T_1$$ darstellt. Diese Matrix ist das Produkt $$M_2 M_1$$.
**Achte auf die Reihenfolge:** Die Matrix der zweiten Transformation $$M_2$$ steht links von der Matrix der ersten Transformation $$M_1$$.
- Berechne das Bild von $$P(x,y)$$ mithilfe der verketteten Matrix $$M$$: .
Visible text: 1. **Transformationen sequenziell auf den Punkt anwenden:**
- Berechne das Bild von unter : .
- Berechne danach das Bild von unter : .
Setzen wir das Ergebnis aus Schritt (a) in Schritt (b) ein, erhalten wir: .
2. **Zuerst die zusammengesetzte Matrix finden:**
- Bestimme die Matrix , die die verkettete Transformation darstellt. Diese Matrix ist das Produkt .
**Achte auf die Reihenfolge:** Die Matrix der zweiten Transformation steht links von der Matrix der ersten Transformation .
- Berechne das Bild von mithilfe der verketteten Matrix : .
Beide Methoden liefern aufgrund der assoziativen Eigenschaft der Matrixmultiplikation das gleiche Endbild, d. h. $$M_2 (M_1 P) = (M_2 M_1) P$$, wobei $$P$$ der Spaltenvektor $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ ist.
Visible text: Beide Methoden liefern aufgrund der assoziativen Eigenschaft der Matrixmultiplikation das gleiche Endbild, d. h. , wobei der Spaltenvektor ist.
**Anschauliches Beispiel:**
Angenommen, $$T_1$$ ist eine Spiegelung an der $$y$$-Achse und $$T_2$$ eine Drehung um den Ursprung $$O$$ um $$\frac{1}{2}\pi$$ im Bogenmaß, also $$90^\circ$$. Gesucht ist das Bild des Punktes $$P(x,y)$$ unter $$T_2 \circ T_1$$.
Visible text: Angenommen, ist eine Spiegelung an der -Achse und eine Drehung um den Ursprung um im Bogenmaß, also . Gesucht ist das Bild des Punktes unter .
Die Matrix für $$T_1$$ (Spiegelung an der $$y$$-Achse) ist $$M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.
Visible text: Die Matrix für (Spiegelung an der -Achse) ist .
Die Matrix für $$T_2$$ (Drehung $$90^\circ$$) ist $$M_2 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$.
Visible text: Die Matrix für (Drehung ) ist .
**Methode $$1$$: Sequentielle Transformation auf den Punkt**
Visible text: **Methode : Sequentielle Transformation auf den Punkt**
- Bild von $$P(x,y)$$ unter $$T_1$$:
Also .
- Bild von unter $$T_2$$:
- Das endgültige Bild ist .
Visible text: - Bild von unter :
Also .
- Bild von unter :
- Das endgültige Bild ist .
**Methode $$2$$: Zuerst zusammengesetzte Matrix**
Visible text: **Methode : Zuerst zusammengesetzte Matrix**
- Zusammengesetzte Matrix $$M = M_2 M_1$$:
```math
M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \\ (1)(-1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
```
- Bild von $$P(x,y)$$ unter $$M$$:
- Das endgültige Bild ist .
Visible text: - Zusammengesetzte Matrix :
- Bild von unter :
- Das endgültige Bild ist .
Beide Methoden liefern das gleiche Ergebnis. Die Verwendung der zusammengesetzten Matrix ($$M_2 M_1$$) ist oft effizienter, wenn wir viele Punkte mit derselben Zusammensetzung transformieren müssen.
Visible text: Beide Methoden liefern das gleiche Ergebnis. Die Verwendung der zusammengesetzten Matrix () ist oft effizienter, wenn wir viele Punkte mit derselben Zusammensetzung transformieren müssen.
## Matrixregel für verkettete Transformationen
Angenommen, die Matrizen, die sich auf die Transformationen $$T_1$$ und $$T_2$$ beziehen, sind $$M_1 = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$$ bzw. $$M_2 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix}$$.
Visible text: Angenommen, die Matrizen, die sich auf die Transformationen und beziehen, sind bzw. .
Dann ist die Matrix, die sich auf die Zusammensetzung der Transformationen $$T_2 \circ T_1$$ (Transformation $$T_1$$ gefolgt von $$T_2$$) bezieht, $$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$$.
Visible text: Dann ist die Matrix, die sich auf die Zusammensetzung der Transformationen (Transformation gefolgt von ) bezieht, .
Die Reihenfolge der Matrixmultiplikation ist entscheidend: Rechts steht die Matrix der zuerst ausgeführten Transformation $$M_1$$.
Visible text: Die Reihenfolge der Matrixmultiplikation ist entscheidend: Rechts steht die Matrix der zuerst ausgeführten Transformation .
## Anwendungsbeispiele
### Verkettung zweier Spiegelungen
Bestimme das Bild des Punktes $$(2,5)$$, der zuerst an der $$x$$-Achse und danach an der $$y$$-Achse gespiegelt wird.
Visible text: Bestimme das Bild des Punktes , der zuerst an der -Achse und danach an der -Achse gespiegelt wird.
**Lösung:**
Sei $$T_1$$ die Spiegelung an der $$x$$-Achse und $$T_2$$ die Spiegelung an der $$y$$-Achse.
Visible text: Sei die Spiegelung an der -Achse und die Spiegelung an der -Achse.
Die Matrix für $$T_1$$ ($$M_1$$) ist $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.
Visible text: Die Matrix für () ist .
Die Matrix für $$T_2$$ ($$M_2$$) ist $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.
Visible text: Die Matrix für () ist .
Die Zusammensetzung der Transformationen $$T_2 \circ T_1$$ hat die Matrix $$M = M_2 M_1$$.
Visible text: Die Zusammensetzung der Transformationen hat die Matrix .
```math
M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(-1) \\ (0)(1)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
```
Das Bild des Punktes $$(2,5)$$ ist:
Visible text: Das Bild des Punktes ist:
```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(2)+(0)(5) \\ (0)(2)+(-1)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}
```
Das Bild des Punktes ist also $$(-2,-5)$$.
Visible text: Das Bild des Punktes ist also .
### Verkettung von Spiegelung und Drehung
Bestimme das Bild des Punktes $$(-2,3)$$ nach einer Spiegelung an der $$y$$-Achse und einer anschließenden Drehung um $$180^\circ$$ um den Ursprung.
Visible text: Bestimme das Bild des Punktes nach einer Spiegelung an der -Achse und einer anschließenden Drehung um um den Ursprung.
**Lösung:**
Sei $$T_1$$ die Spiegelung an der $$y$$-Achse und $$T_2$$ die $$180^\circ$$-Drehung um den Ursprung.
Visible text: Sei die Spiegelung an der -Achse und die -Drehung um den Ursprung.
Die Matrix für $$T_1$$ ($$M_1$$) ist $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.
Visible text: Die Matrix für () ist .
Die Matrix für $$T_2$$ ($$M_2$$) ist $$\begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.
Visible text: Die Matrix für () ist .
Die Zusammensetzung der Transformationen $$T_2 \circ T_1$$ hat die Matrix $$M = M_2 M_1$$.
Visible text: Die Zusammensetzung der Transformationen hat die Matrix .
```math
M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(1) \\ (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
```
Das Bild des Punktes $$(-2,3)$$ ist:
Visible text: Das Bild des Punktes ist:
```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-2)+(0)(3) \\ (0)(-2)+(-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}
```
Das Bild des Punktes ist also $$(-2,-3)$$.
Visible text: Das Bild des Punktes ist also .
### Verkettung von drei Transformationen
Auf den Punkt $$P(2,5)$$ werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der $$x$$-Achse, eine Drehung um $$90^\circ$$ um den Ursprung und eine weitere Drehung um $$180^\circ$$ um den Ursprung. Bestimme den Bildpunkt.
Visible text: Auf den Punkt werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der -Achse, eine Drehung um um den Ursprung und eine weitere Drehung um um den Ursprung. Bestimme den Bildpunkt.
**Lösung:**
Wir setzen:
- $$T_1$$: Spiegelung an der $$x$$-Achse.
Matrix $$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
- $$T_2$$: Drehung um $$90^\circ$$ um den
Ursprung.
Matrix $$M_2 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
- $$T_3$$: Halbe Umdrehung, also eine Drehung um $$180^\circ$$
um den Ursprung.
Matrix $$M_3 = \begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
Visible text: - : Spiegelung an der -Achse.
Matrix
- : Drehung um um den
Ursprung.
Matrix
- : Halbe Umdrehung, also eine Drehung um
um den Ursprung.
Matrix
Die Verkettung lautet $$T_3 \circ T_2 \circ T_1$$. Ihre Matrix ist $$M = M_3 M_2 M_1$$.
Visible text: Die Verkettung lautet . Ihre Matrix ist .
Component: MathContainer
Children:
```math
M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(-1) \\ (1)(1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
```
```math
M = M_3 (M_2 M_1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(0)+(0)(1) & (-1)(1)+(0)(0) \\ (0)(0)+(-1)(1) & (0)(1)+(-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
```
Das Bild von $$P(2,5)$$ ist:
Visible text: Das Bild von ist:
```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (-1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix}
```
Das Bild des Punktes ist also $$(-5,-2)$$.
Visible text: Das Bild des Punktes ist also .
## Übung
Auf den Punkt $$P(2,5)$$ werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der $$y$$-Achse, eine Drehung um $$180^\circ$$ um den Ursprung und eine Spiegelung an der Geraden $$y=x$$. Bestimme den Bildpunkt.
Visible text: Auf den Punkt werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der -Achse, eine Drehung um um den Ursprung und eine Spiegelung an der Geraden . Bestimme den Bildpunkt.
### Lösung
Wir setzen:
- $$T_1$$: Spiegelung an der $$y$$-Achse.
Matrix $$M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.
- $$T_2$$: Drehung um $$180^\circ$$ um den
Ursprung.
Matrix $$M_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.
- $$T_3$$: Spiegelung an der Geraden $$y=x$$
.
Matrix $$M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Visible text: - : Spiegelung an der -Achse.
Matrix .
- : Drehung um um den
Ursprung.
Matrix .
- : Spiegelung an der Geraden
.
Matrix
Die Verkettung lautet $$T_3 \circ T_2 \circ T_1$$. Ihre Matrix ist $$M = M_3 M_2 M_1$$.
Visible text: Die Verkettung lautet . Ihre Matrix ist .
**Schritt** $$1$$: Berechne $$M_2 M_1$$.
Visible text: **Schritt** : Berechne .
```math
M_2 M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(1) \\ (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
```
**Schritt** $$2$$: Berechne $$M = M_3 (M_2 M_1)$$.
Visible text: **Schritt** : Berechne .
```math
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(-1) \\ (1)(1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
```
Das Bild von $$P(2,5)$$ ist:
Visible text: Das Bild von ist:
```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}
```
Das Bild des Punktes ist also $$(-5,2)$$.
Visible text: Das Bild des Punktes ist also .