# Grenzwert einer Funktion > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/grenzwerte/begriff-des-grenzwerts Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/limit/concept-of-limit-function/de.mdx Grenzwerte mit Wertetabellen, einseitigem Verhalten, der Epsilon-Delta-Definition und vollständig gelösten Beispielen verstehen. --- ## Grenzwerte anschaulich verstehen Ein **Grenzwert** fragt, wie sich benachbarte Funktionswerte verhalten, während die Eingabe auf einen bestimmten Punkt zuläuft. Er fragt zunächst **nicht** nach dem Funktionswert genau an diesem Punkt. So lassen sich eine hebbare Lücke, ein Sprung oder eine senkrechte Asymptote beschreiben, ohne vorauszusetzen, dass die Funktion dort definiert ist. Grenzwerte liefern die Sprache, mit der Stetigkeit, Ableitungen und bestimmte Integrale definiert werden. Wir lesen das Verhalten zuerst aus einer Wertetabelle ab und verbinden diese Anschauung anschließend mit einseitigen Grenzwerten und der präzisen Epsilon-Delta-Definition. ## Annäherung mit einer Wertetabelle Betrachten wir, wie sich Funktionswerte verändern, wenn die Variable auf einen bestimmten Punkt zuläuft. Für $$f(x) = x + 2$$ untersuchen wir, was geschieht, wenn sich $$x$$ dem Wert $$3$$ nähert. Visible text: Betrachten wir, wie sich Funktionswerte verändern, wenn die Variable auf einen bestimmten Punkt zuläuft. Für untersuchen wir, was geschieht, wenn sich dem Wert nähert. | $$x$$ | $$2{,}9$$ | $$2{,}99$$ | $$2{,}999$$ | ... | $$3{,}001$$ | $$3{,}01$$ | $$3{,}1$$ | |-------------|-----|------|-------|-----|-------|------|-----| | $$f(x)$$ | $$4{,}9$$ | $$4{,}99$$ | $$4{,}999$$ | ... | $$5{,}001$$ | $$5{,}01$$ | $$5{,}1$$ | Visible text: | | | | | ... | | | | |-------------|-----|------|-------|-----|-------|------|-----| | | | | | ... | | | | Die Tabelle zeigt: Nähert sich $$x$$ dem Wert $$3$$ von links, also mit $$x < 3$$, oder von rechts, also mit $$x > 3$$, dann nähert sich $$f(x)$$ dem Wert $$5$$. **Dieser Annäherungswert heißt Grenzwert.** Visible text: Die Tabelle zeigt: Nähert sich dem Wert von links, also mit , oder von rechts, also mit , dann nähert sich dem Wert . **Dieser Annäherungswert heißt Grenzwert.** ## Schreibweise, einseitige Grenzwerte und formale Bedeutung Die Standardschreibweise lautet: ```math \lim_{x \to c} f(x) = L ``` Das liest man so: „**Der Grenzwert von $$f(x)$$ für $$x$$ gegen $$c$$ ist $$L$$.**“ Visible text: Das liest man so: „**Der Grenzwert von für gegen ist .**“ Wenn $$c$$ ein innerer Punkt ist und die Funktion in der Umgebung von $$c$$ auf beiden Seiten definiert ist, existiert der zweiseitige Grenzwert genau dann, wenn: Visible text: Wenn ein innerer Punkt ist und die Funktion in der Umgebung von auf beiden Seiten definiert ist, existiert der zweiseitige Grenzwert genau dann, wenn: - Der **Grenzwert von links** und der **Grenzwert von rechts** müssen existieren - Beide einseitigen Grenzwerte müssen **gleich** sein - Ihr gemeinsamer Wert ist $$L$$ Visible text: - Der **Grenzwert von links** und der **Grenzwert von rechts** müssen existieren - Beide einseitigen Grenzwerte müssen **gleich** sein - Ihr gemeinsamer Wert ist Die einseitigen Grenzwerte schreibt man so: Component: MathContainer Children: ```math \lim_{x \to c^-} f(x) = L \quad \text{(Grenzwert von links: } x \text{ nähert sich } c \text{ von links)} ``` ```math \lim_{x \to c^+} f(x) = L \quad \text{(Grenzwert von rechts: } x \text{ nähert sich } c \text{ von rechts)} ``` Sind beide Werte gleich, gilt $$\lim_{x \to c} f(x) = L$$. Sind sie verschieden, existiert der zweiseitige Grenzwert nicht. An einem Randpunkt des Definitionsbereichs ist nur der einseitige Grenzwert aus dem Definitionsbereich heraus relevant. Visible text: Sind beide Werte gleich, gilt . Sind sie verschieden, existiert der zweiseitige Grenzwert nicht. An einem Randpunkt des Definitionsbereichs ist nur der einseitige Grenzwert aus dem Definitionsbereich heraus relevant. Die Epsilon-Delta-Definition gibt dem Wort "annähern" eine präzise mathematische Bedeutung: ```math \forall \varepsilon>0\;\exists\delta>0:\quad 0<|x-c|<\delta\;\Longrightarrow\;|f(x)-L|<\varepsilon ``` Für jede noch so kleine Ausgabetoleranz $$\varepsilon>0$$ lässt sich also eine Eingabetoleranz $$\delta>0$$ wählen. Liegt $$x$$ dann näher als $$\delta$$ bei $$c$$, ohne genau diesen Wert anzunehmen, liegt $$f(x)$$ näher als $$\varepsilon$$ bei $$L$$. Die Bedingung $$0<|x-c|$$ erklärt, weshalb der Wert $$f(c)$$ den Grenzwert **nicht allein bestimmt**. Visible text: Für jede noch so kleine Ausgabetoleranz lässt sich also eine Eingabetoleranz wählen. Liegt dann näher als bei , ohne genau diesen Wert anzunehmen, liegt näher als bei . Die Bedingung erklärt, weshalb der Wert den Grenzwert **nicht allein bestimmt**. ## Grenzwerte berechnen ### Beispiel mit direktem Einsetzen Berechne $$\lim_{x \to 4} (2x - 1)$$. Visible text: Berechne . **Lösung:** Da $$f(x) = 2x - 1$$ bei $$x = 4$$ stetig ist, können wir direkt einsetzen: Visible text: Da bei stetig ist, können wir direkt einsetzen: ```math \lim_{x \to 4} (2x - 1) = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7 ``` ### Beispiel mit einer unbestimmten Form Berechne $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$. Visible text: Berechne . **Lösung:** Direktes Einsetzen von $$x = 2$$ ergibt die unbestimmte Form $$\frac{0}{0}$$. Deshalb faktorisieren und vereinfachen wir zuerst: Visible text: Direktes Einsetzen von ergibt die unbestimmte Form . Deshalb faktorisieren und vereinfachen wir zuerst: Component: MathContainer Children: ```math x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) ``` ```math \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} ``` Ein Grenzwert betrachtet benachbarte Werte mit $$x \neq 2$$. Deshalb dürfen wir den Faktor $$(x - 2)$$ kürzen, bevor wir den vereinfachten Ausdruck auswerten: Visible text: Ein Grenzwert betrachtet benachbarte Werte mit . Deshalb dürfen wir den Faktor kürzen, bevor wir den vereinfachten Ausdruck auswerten: ```math = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 ``` ## Grundlegende Rechenregeln Diese Rechenregeln vereinfachen viele Grenzwertaufgaben: 1. **Linearität:** $$\lim_{x \to c} [af(x) + bg(x)] = a\lim_{x \to c} f(x) + b\lim_{x \to c} g(x)$$ 2. **Produktregel:** $$\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$$ 3. **Quotientenregel:** $$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$$, sofern $$\lim_{x \to c} g(x) \neq 0$$ gilt Visible text: 1. **Linearität:** 2. **Produktregel:** 3. **Quotientenregel:** , sofern gilt ## Übungen 1. Berechne $$\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1)$$ 2. Berechne $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$ 3. Berechne $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$ (verwende den trigonometrischen Grenzwertsatz) 4. Für $$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 3x - 2, & x \geq 2 \end{cases}$$: Berechne $$\lim_{x \to 2} f(x)$$ Visible text: 1. Berechne 2. Berechne 3. Berechne (verwende den trigonometrischen Grenzwertsatz) 4. Für : Berechne ### Ausführliche Lösungen 1. **Lösung:** Polynomfunktionen sind überall stetig. Deshalb können wir direkt einsetzen: ```math \lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1) = 3^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14 ``` 2. **Lösung:** Direktes Einsetzen ergibt $$\frac{0}{0}$$. Deshalb faktorisieren wir zuerst: ```math x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) ``` ```math \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} ``` Der Grenzwert verwendet benachbarte Werte mit $$x \neq 1$$. Deshalb können wir $$(x - 1)$$ kürzen, bevor wir den vereinfachten Ausdruck auswerten: ```math = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 ``` 3. **Lösung:** Dies ist ein **grundlegender trigonometrischer Grenzwert**. Direktes Einsetzen führt zu $$\frac{0}{0}$$ und hilft daher nicht weiter. Der trigonometrische Grenzwertsatz liefert: ```math \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ``` **Hinweis:** $$x$$ wird im Bogenmaß angegeben, nicht in Grad. 4. **Lösung:** Bei stückweise definierten Funktionen prüfen wir den Grenzwert von links und von rechts getrennt: **Grenzwert von links** (für $$x$$ gegen $$2$$ mit $$x < 2$$): ```math \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 2 + 1 = 3 ``` **Grenzwert von rechts** (für $$x$$ gegen $$2$$, wobei benachbarte Eingaben $$x > 2$$ erfüllen): ```math \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 ``` Weil $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 \neq 4 = \lim_{x \to 2^+} f(x)$$ gilt, **existiert** $$\lim_{x \to 2} f(x)$$ **nicht**. Visible text: 1. **Lösung:** Polynomfunktionen sind überall stetig. Deshalb können wir direkt einsetzen: 2. **Lösung:** Direktes Einsetzen ergibt . Deshalb faktorisieren wir zuerst: Der Grenzwert verwendet benachbarte Werte mit . Deshalb können wir kürzen, bevor wir den vereinfachten Ausdruck auswerten: 3. **Lösung:** Dies ist ein **grundlegender trigonometrischer Grenzwert**. Direktes Einsetzen führt zu und hilft daher nicht weiter. Der trigonometrische Grenzwertsatz liefert: **Hinweis:** wird im Bogenmaß angegeben, nicht in Grad. 4. **Lösung:** Bei stückweise definierten Funktionen prüfen wir den Grenzwert von links und von rechts getrennt: **Grenzwert von links** (für gegen mit ): **Grenzwert von rechts** (für gegen , wobei benachbarte Eingaben erfüllen): Weil gilt, **existiert** **nicht**.