# Grenzwerte algebraischer Funktionen
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Grenzwerte von Polynom- und rationalen Funktionen berechnen, unbestimmte Formen erkennen und durch Faktorisieren oder Rationalisieren auflösen.
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## Grenzwerte algebraischer Funktionen verstehen
Bei einem **algebraischen Grenzwert** entscheidet die Form des Ausdrucks darüber, welche Rechenoperation zulässig ist. Ein Polynom kann direkt ausgewertet werden. Ein rationaler Ausdruck oder ein Wurzelausdruck kann dagegen einen kürzbaren Faktor, einen Rand des Definitionsbereichs oder eine senkrechte Asymptote enthalten, die zuerst untersucht werden muss.
Algebraische Funktionen entstehen aus Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzen mit rationalen Exponenten. Beispiele sind das Polynom $$f(x) = x^2 + 3x - 2$$ und die rationale Funktion $$g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$$. Wir verwenden direktes Einsetzen als Diagnose und faktorisieren, rationalisieren oder prüfen einseitiges Verhalten, wenn das Einsetzen den Grenzwert noch nicht bestimmt.
Visible text: Algebraische Funktionen entstehen aus Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzen mit rationalen Exponenten. Beispiele sind das Polynom und die rationale Funktion . Wir verwenden direktes Einsetzen als Diagnose und faktorisieren, rationalisieren oder prüfen einseitiges Verhalten, wenn das Einsetzen den Grenzwert noch nicht bestimmt.
## Grundlegende Rechenwege
Welcher Rechenweg passt, hängt von der Art der Funktion und vom Ergebnis des direkten Einsetzens ab.
### Grenzwerte von Polynomfunktionen
Polynomfunktionen sind überall **stetig**. Deshalb können wir den Wert, gegen den die Variable läuft, direkt **einsetzen**.
Sei $$f(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 - 7$$, dann:
Visible text: Sei , dann:
```math
\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7)
```
Da Polynomfunktionen überall stetig sind, setzen wir direkt ein:
```math
= 2^4 - 5(2^3) + 2^2 - 7 = 16 - 40 + 4 - 7 = -27
```
### Grenzwerte rationaler Funktionen
Rationale Funktionen haben die Form $$\frac{P(x)}{Q(x)}$$, wobei $$P(x)$$ und $$Q(x)$$ Polynome sind. Der Nenner entscheidet über den nächsten Schritt:
Visible text: Rationale Funktionen haben die Form , wobei und Polynome sind. Der Nenner entscheidet über den nächsten Schritt:
- **Ist der Nenner nicht null:** Setze direkt ein, genau wie bei einer Polynomfunktion.
- **Ist der Nenner null:** Prüfe Zähler, Vorzeichen und einseitiges Verhalten. Nur $$\frac{0}{0}$$ ist eine unbestimmte Form, die sich möglicherweise algebraisch auflösen lässt. Ein von null verschiedener Zähler über null ist nicht unbestimmt.
Visible text: - **Ist der Nenner nicht null:** Setze direkt ein, genau wie bei einer Polynomfunktion.
- **Ist der Nenner null:** Prüfe Zähler, Vorzeichen und einseitiges Verhalten. Nur ist eine unbestimmte Form, die sich möglicherweise algebraisch auflösen lässt. Ein von null verschiedener Zähler über null ist nicht unbestimmt.
## Unbestimmte Formen auflösen
Ergibt direktes Einsetzen $$\frac{0}{0}$$, ist der Grenzwert noch nicht bestimmt. Dann helfen unter anderem Faktorisieren und Rationalisieren.
Visible text: Ergibt direktes Einsetzen , ist der Grenzwert noch nicht bestimmt. Dann helfen unter anderem Faktorisieren und Rationalisieren.
### Faktorisieren
Oft lassen sich Zähler und Nenner faktorisieren, sodass ein gemeinsamer Faktor gekürzt werden kann.
**Beispiel:** Berechne $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$
Visible text: **Beispiel:** Berechne
Direktes Einsetzen ergibt $$\frac{0}{0}$$. Wir faktorisieren:
Visible text: Direktes Einsetzen ergibt . Wir faktorisieren:
Component: MathContainer
Children:
```math
x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
```
```math
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}
```
Da sich $$x$$ der Zahl $$2$$ nähert, aber nicht gleich $$2$$ ist, dürfen wir $$(x - 2)$$ kürzen:
Visible text: Da sich der Zahl nähert, aber nicht gleich ist, dürfen wir kürzen:
```math
= \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4
```
### Rationalisierungstechnik
Bei Ausdrücken mit Wurzeln hilft häufig das Rationalisieren. Auch hier zeigt direktes Einsetzen zunächst, ob eine unbestimmte Form vorliegt.
**Beispiel:** Berechne $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$$
Visible text: **Beispiel:** Berechne
Direktes Einsetzen:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{\sqrt{1} - 1}{1 - 1} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0} \text{(unbestimmte Form)}
```
Wir multiplizieren mit dem **konjugierten Ausdruck** $$\sqrt{x} + 1$$. Dadurch verschwindet die Wurzel aus dem Zähler, denn $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$:
Visible text: Wir multiplizieren mit dem **konjugierten Ausdruck** . Dadurch verschwindet die Wurzel aus dem Zähler, denn :
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}
```
```math
= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}
```
```math
= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x})^2 - 1^2}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}
```
Für $$x \neq 1$$ nähert sich der Variablenwert der Zahl $$1$$. Deshalb dürfen wir den Faktor $$(x - 1)$$ kürzen und anschließend den Grenzwert bilden:
Visible text: Für nähert sich der Variablenwert der Zahl . Deshalb dürfen wir den Faktor kürzen und anschließend den Grenzwert bilden:
```math
= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}
```
## Mehrere Techniken verbinden
Bei komplizierteren Termen werden die gleichen Schritte nacheinander angewendet.
### Zähler und Nenner faktorisieren
**Beispiel:** Berechne $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 2x - 15}$$
Visible text: **Beispiel:** Berechne
Direktes Einsetzen:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{3^2 - 9}{3^2 + 2(3) - 15} = \frac{9 - 9}{9 + 6 - 15} = \frac{0}{0} \text{(unbestimmte Form)}
```
Wir faktorisieren Zähler und Nenner. Für $$x^2 + 2x - 15$$ suchen wir zwei Zahlen mit dem Produkt $$-15$$ und der Summe $$2$$. Das sind $$5$$ und $$-3$$.
Visible text: Wir faktorisieren Zähler und Nenner. Für suchen wir zwei Zahlen mit dem Produkt und der Summe . Das sind und .
Component: MathContainer
Children:
```math
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
```
```math
x^2 + 2x - 15 = x^2 + 5x - 3x - 15 = x(x + 5) - 3(x + 5) = (x - 3)(x + 5)
```
Damit folgt:
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 5)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 5}
```
Nun setzen wir $$x = 3$$ ein: $$\frac{3 + 3}{3 + 5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$
Visible text: Nun setzen wir ein:
> Ergibt direktes Einsetzen $$\frac{a}{0}$$ mit $$a \neq 0$$, reicht dieses Ergebnis allein nicht aus. Prüfe das Vorzeichen und die beiden einseitigen Grenzwerte. Zum Beispiel:
Visible text: > Ergibt direktes Einsetzen mit , reicht dieses Ergebnis allein nicht aus. Prüfe das Vorzeichen und die beiden einseitigen Grenzwerte. Zum Beispiel:
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{x \to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty
```
```math
\lim_{x \to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty
```
Da die einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert $$\lim_{x \to 2}\frac{1}{x-2}$$ nicht als zweiseitiger Grenzwert. Ergibt das Einsetzen dagegen $$\frac{0}{0}$$, wird der Term zuerst faktorisiert, rationalisiert oder auf andere Weise vereinfacht.
Visible text: Da die einseitigen Grenzwerte verschieden sind, existiert nicht als zweiseitiger Grenzwert. Ergibt das Einsetzen dagegen , wird der Term zuerst faktorisiert, rationalisiert oder auf andere Weise vereinfacht.
## Stetigkeit und Grenzwerte
Eine Funktion $$f$$ heißt bei $$x = c$$ **stetig**, wenn:
Visible text: Eine Funktion heißt bei **stetig**, wenn:
1. $$f(c)$$ existiert (ist definiert)
2. $$\lim_{x \to c} f(x)$$ existiert
3. $$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$$
Visible text: 1. existiert (ist definiert)
2. existiert
3.
Polynomfunktionen sind überall stetig. Rationale Funktionen sind an allen Stellen stetig, an denen ihr Nenner nicht null ist.
## Übungen
1. Berechne $$\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7)$$
2. Berechne $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28}$$
3. Berechne $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$$
4. Entscheide, ob $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ bei $$x = 1$$ stetig ist
5. Berechne $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$$
Visible text: 1. Berechne
2. Berechne
3. Berechne
4. Entscheide, ob bei stetig ist
5. Berechne
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung:**
Da die Polynomfunktion überall stetig ist, setzen wir direkt ein:
```math
\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7) = 2^4 - 5(2^3) + 2^2 - 7
```
```math
= 16 - 5(8) + 4 - 7 = 16 - 40 + 4 - 7 = -27
```
2. **Lösung:**
Der Nenner der rationalen Funktion ist bei $$x = 2$$ ungleich null. Deshalb setzen wir direkt ein:
```math
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28} = \frac{2^2 - 6(2) + 8}{2^2 + 16(2) + 28}
```
```math
= \frac{4 - 12 + 8}{4 + 32 + 28} = \frac{0}{64} = 0
```
3. **Lösung:**
Direktes Einsetzen ergibt $$\frac{0}{0}$$. Wir faktorisieren den Zähler:
```math
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
```
```math
\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x - 1) = 1 - 1 = 0
```
4. **Lösung:**
Für die Stetigkeit bei $$x = 1$$ prüfen wir drei Bedingungen:
- **Bedingung $$1$$ (Funktion ist definiert):** $$f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$$ ✓ (existiert)
- **Bedingung $$2$$ (Grenze vorhanden):** Da es sich um eine Polynomfunktion handelt, $$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$$ ✓ (existiert)
- **Bedingung $$3$$ (Grenze entspricht Funktionswert):** $$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0$$ ✓ (gleich)
Alle drei Bedingungen sind erfüllt. Daher ist die Funktion bei $$x = 1$$ **stetig**.
5. **Lösung:**
Direktes Einsetzen ergibt $$\frac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$$, also eine unbestimmte Form.
Wir rationalisieren durch Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck $$\sqrt{x + 4} + 2$$:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2}
```
```math
= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4})^2 - 2^2}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}
```
```math
= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}
```
```math
= \frac{1}{\sqrt{0 + 4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}
```
Visible text: 1. **Lösung:**
Da die Polynomfunktion überall stetig ist, setzen wir direkt ein:
2. **Lösung:**
Der Nenner der rationalen Funktion ist bei ungleich null. Deshalb setzen wir direkt ein:
3. **Lösung:**
Direktes Einsetzen ergibt . Wir faktorisieren den Zähler:
4. **Lösung:**
Für die Stetigkeit bei prüfen wir drei Bedingungen:
- **Bedingung (Funktion ist definiert):** ✓ (existiert)
- **Bedingung (Grenze vorhanden):** Da es sich um eine Polynomfunktion handelt, ✓ (existiert)
- **Bedingung (Grenze entspricht Funktionswert):** ✓ (gleich)
Alle drei Bedingungen sind erfüllt. Daher ist die Funktion bei **stetig**.
5. **Lösung:**
Direktes Einsetzen ergibt , also eine unbestimmte Form.
Wir rationalisieren durch Multiplikation mit dem konjugierten Ausdruck :