# Grenzwerte trigonometrischer Funktionen
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Trigonometrische Grenzwerte mit dem grundlegenden Sinusgrenzwert, passenden Identitäten und gezielten Substitutionen berechnen.
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## Trigonometrische Grenzwerte verstehen
**Trigonometrische Grenzwerte** stellen dieselbe lokale Frage wie algebraische Grenzwerte: Welchem Wert nähert sich ein Ausdruck in der Umgebung einer bestimmten Eingabe? Sinus und Kosinus sind überall stetig, Tangens überall dort, wo der Kosinus nicht null ist. Direktes Einsetzen funktioniert daher weiterhin, wenn der entstehende Ausdruck definiert ist.
Besondere Schritte sind nötig, wenn das Einsetzen eine unbestimmte Form wie $$\frac{0}{0}$$ ergibt. In der Umgebung von null lassen sich solche Ausdrücke mit einem **grundlegenden Sinusgrenzwert** und bekannten trigonometrischen Identitäten umformen.
Visible text: Besondere Schritte sind nötig, wenn das Einsetzen eine unbestimmte Form wie ergibt. In der Umgebung von null lassen sich solche Ausdrücke mit einem **grundlegenden Sinusgrenzwert** und bekannten trigonometrischen Identitäten umformen.
## Der grundlegende trigonometrische Grenzwert
Die wichtigste Grundlage trigonometrischer Grenzwerte ist der Satz, dass das Verhältnis aus dem Sinus eines Winkels und dem Winkel selbst gegen eins geht, wenn sich der Winkel null nähert.
### Sinusgrenzwert
Es gilt:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
```
Direktes Einsetzen liefert nur $$\frac{0}{0}$$ und beweist den Satz daher nicht. Ein geometrischer Beweis verwendet den Einheitskreis und den Einschließungssatz.
Visible text: Direktes Einsetzen liefert nur und beweist den Satz daher nicht. Ein geometrischer Beweis verwendet den Einheitskreis und den Einschließungssatz.
> Hier muss $$x$$ im **Bogenmaß** stehen. Für Gradmaß gilt dieser Grenzwert nicht in derselben Form.
Visible text: > Hier muss im **Bogenmaß** stehen. Für Gradmaß gilt dieser Grenzwert nicht in derselben Form.
### Folgen der Grundgrenze
Aus diesem Grenzwert folgen weitere wichtige Ergebnisse:
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \quad \text{(weil} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \text{und} \cos x \to 1\text{)}
```
```math
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \quad \text{(Identität } 1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\text{)}
```
```math
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \quad \text{(Identität} 1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\text{)}
```
Die Identität liefert beide Kosinusgrenzwerte direkt, ohne Ableitungsregeln vorwegzunehmen, die erst später entwickelt werden:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{1-\cos x}{x}=\sin\frac{x}{2}\cdot\frac{\sin(x/2)}{x/2}\;\longrightarrow\;0\cdot 1=0
```
```math
\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2\;\longrightarrow\;\frac{1}{2}
```
## Eigenschaften trigonometrischer Grenzwerte
Damit lassen sich mehrere nützliche Verhältnisgrenzwerte herleiten:
### Trigonometrische Verhältnisse
Für reelle Konstanten $$a$$ und $$b \neq 0$$ werden **alle folgenden Grenzwerte für $$x \to 0$$** betrachtet:
Visible text: Für reelle Konstanten und werden **alle folgenden Grenzwerte für ** betrachtet:
| Grenzwert | Ergebnis | Begründung |
|-------|--------|-------|
| $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx}$$ | $$\frac{a}{b}$$ | Auf die Grundform zurückführen |
| $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx}$$ | $$\frac{a}{b}$$ | Denn $$\tan ax = \frac{\sin ax}{\cos ax}$$ |
| $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$$ | $$\frac{a}{b}$$ | Kombination zweier Sinusgrenzen |
| $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\tan bx}$$ | $$\frac{a}{b}$$ | Zwei Tangensgrenzwerte verbinden |
Visible text: | Grenzwert | Ergebnis | Begründung |
|-------|--------|-------|
| | | Auf die Grundform zurückführen |
| | | Denn |
| | | Kombination zweier Sinusgrenzen |
| | | Zwei Tangensgrenzwerte verbinden |
### Trigonometrische Kombinationen
Die Verhältnisgrenzwerte lassen sich auch miteinander verbinden:
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}
```
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}
```
## Rechentechniken
### Auf die Grundform zurückführen
Wir formen den Ausdruck so um, dass der grundlegende Sinusgrenzwert sichtbar wird.
**Berechne:** $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$$
Visible text: **Berechne:**
Wir ergänzen den passenden Faktor:
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2 \cdot 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin 2x}{2x}
```
```math
= \frac{2}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}
```
### Trigonometrische Identitäten einsetzen
Trigonometrische Identitäten können einen Ausdruck vereinfachen. Prüfe vorher, ob die Funktion an der betrachteten Stelle definiert ist.
**Berechne:** $$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}$$
Visible text: **Berechne:**
Da $$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$$, ist der Nenner bei $$x = \frac{\pi}{4}$$ nicht Null.
Visible text: Da , ist der Nenner bei nicht Null.
Direktes Einsetzen:
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \frac{\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}
```
```math
= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2
```
### Eine neue Variable einführen
Bei einem Ausdruck der Form $$\frac{0}{0}$$ kann eine geeignete Substitution die Grundform sichtbar machen.
Visible text: Bei einem Ausdruck der Form kann eine geeignete Substitution die Grundform sichtbar machen.
**Berechne:** $$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(x - \frac{\pi}{2})}{x(x - \frac{\pi}{2})}$$
Visible text: **Berechne:**
Sei $$u = x - \frac{\pi}{2}$$, dann haben wir für $$x \to \frac{\pi}{2}$$ $$u \to 0$$ und $$x = u + \frac{\pi}{2}$$.
Visible text: Sei , dann haben wir für und .
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{(u + \frac{\pi}{2}) \cdot u} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{u^2} \cdot \frac{u}{u + \frac{\pi}{2}}
```
```math
= \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u}{u + \frac{\pi}{2}}
```
```math
= 1^2 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u}{\frac{\pi}{2} + u} = 1 \cdot \frac{0}{\frac{\pi}{2}} = 0
```
## Grenzwerte mit Winkelidentitäten
### Summen- und Differenzformeln
Enthält ein Ausdruck eine Winkelsumme oder Winkeldifferenz, helfen die passenden trigonometrischen Identitäten.
**Berechne:** $$\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t}$$
Visible text: **Berechne:**
Wir schreiben den Kotangens als Quotienten:
Component: MathContainer
Children:
```math
\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\cos 5t}{\sin 5t}}{\frac{\cos 10t}{\sin 10t}} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos 5t \sin 10t}{\sin 5t \cos 10t}
```
```math
= \lim_{t \to 0} \frac{\cos 5t}{\cos 10t} \cdot \frac{\sin 10t}{\sin 5t} = 1 \cdot \frac{10}{5} = 2
```
## Übungen
1. Berechne $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x}$$
2. Berechne $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}$$
3. Berechne $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}$$
4. Berechne $$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}}$$
5. Berechne $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x}$$
Visible text: 1. Berechne
2. Berechne
3. Berechne
4. Berechne
5. Berechne
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung:**
Forme den Ausdruck in die Grundform um:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3 \cdot 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3x}
```
```math
= \frac{3}{4} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}
```
2. **Lösung:**
Verwende die trigonometrischen Verhältnisgrenzwerte:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}
```
```math
= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2}{5}
```
```math
= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}
```
3. **Lösung:**
Verwende die Identität $$1 - \cos ax = 2\sin^2\frac{ax}{2}$$:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x^2}
```
```math
= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2
```
```math
= 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}
```
4. **Lösung:**
Sei $$h = x - \frac{\pi}{6}$$, dann $$x = h + \frac{\pi}{6}$$ und wenn $$x \to \frac{\pi}{6}$$, haben wir $$h \to 0$$:
```math
\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{h}
```
```math
= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cos\frac{\pi}{6} + \cos h \sin\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}}{h}
```
```math
= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos h \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{h}
```
```math
= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin h + \frac{1}{2}(\cos h - 1)}{h}
```
```math
= \frac{\sqrt{3}}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} + \frac{1}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}
```
```math
= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}
```
5. **Lösung:**
Verwende die Identität $$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$$:
```math
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{x}
```
```math
= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x}
```
```math
= \frac{1}{2} \cdot 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 \cdot 1 = 1
```
Visible text: 1. **Lösung:**
Forme den Ausdruck in die Grundform um:
2. **Lösung:**
Verwende die trigonometrischen Verhältnisgrenzwerte:
3. **Lösung:**
Verwende die Identität :
4. **Lösung:**
Sei , dann und wenn , haben wir :
5. **Lösung:**
Verwende die Identität :