# Arithmetisches Mittel (Durchschnitt)
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Berechne das arithmetische Mittel, untersuche den Einfluss eines Extremwerts und vergleiche Mittelwert, Median und Modus an einem anschaulichen Beispiel.
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## Was ist der Mittelwert?
Neben dem Median (mittlerer Wert) und dem Modus (häufigster Wert) ist das **arithmetische Mittel**, oft einfach Durchschnitt genannt, ein weiteres Maß für die Mitte eines Datensatzes.
Das arithmetische Mittel ist der Wert, den jede Person bekäme, wenn wir **die Gesamtsumme gleichmäßig verteilen**. Stell dir vor, ihr legt alle Süßigkeiten aus einer Gruppe zusammen und teilt sie anschließend gerecht auf. Die Anzahl pro Person ist dann das arithmetische Mittel.
## So berechnest du das arithmetische Mittel
Gehe in zwei Schritten vor:
1. Addiere alle Datenwerte.
2. Teile die Summe durch die Anzahl der Werte.
**Mittelwertformel:**
```math
\bar{x} = \frac{\sum x}{n}
```
dabei gilt:
- $$\bar{x}$$, gesprochen „x quer“, steht für das **arithmetische Mittel**.
- $$\sum x$$, gesprochen „Sigma x“, steht für die **Summe aller Datenwerte**.
- $$n$$ ist die **Anzahl der Datenwerte**.
Visible text: - , gesprochen „x quer“, steht für das **arithmetische Mittel**.
- , gesprochen „Sigma x“, steht für die **Summe aller Datenwerte**.
- ist die **Anzahl der Datenwerte**.
## Fallstudie
Ein Beispiel macht die Idee greifbar.
### Kleideraktion der Schülervertretung
**Ausgangssituation:**
Zehn Mitglieder der Schülervertretung von Schule A sammeln gut erhaltene Kleidung für eine Hilfsaktion. So viele Kleidungsstücke bringt jedes Mitglied mit:
```math
3, 5, 7, 10, 5, 3, 4, 6, 9, 8
```
**Arithmetisches Mittel, Median und Modus der Ausgangsdaten:**
1. **Sortiere die Daten** (für Median und Modus):
$$3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10$$ (insgesamt $$10 \text{Datenwerte}$$, also $$n = 10$$)
2. **Berechne das arithmetische Mittel:**
```math
\sum x = 3+3+4+5+5+6+7+8+9+10 = 60
```
```math
\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{60}{10} = 6
```
Das arithmetische Mittel der Ausgangsdaten beträgt $$6$$.
3. **Bestimme den Median:**
Die Anzahl der Datenwerte ist gerade ($$n = 10$$). Deshalb liegen die beiden mittleren Werte an den Positionen $$10/2 = 5$$ und $$(10/2)+1 = 6$$.
An Position $$5$$ steht $$5$$, an Position $$6$$ steht $$6$$.
```math
\text{Median} = \frac{5+6}{2} = 5{,}5
```
Der Median der Ausgangsdaten beträgt somit $$5{,}5$$.
4. **Bestimme den Modus:**
Am häufigsten kommen $$3$$ ($$2 \text{Mal}$$) und $$5$$ ($$2 \text{Mal}$$) vor.
Die Ausgangsdaten besitzen also die beiden Modi $$3$$ und $$5$$. Eine solche Verteilung heißt bimodal.
Visible text: 1. **Sortiere die Daten** (für Median und Modus):
(insgesamt , also )
2. **Berechne das arithmetische Mittel:**
Das arithmetische Mittel der Ausgangsdaten beträgt .
3. **Bestimme den Median:**
Die Anzahl der Datenwerte ist gerade (). Deshalb liegen die beiden mittleren Werte an den Positionen und .
An Position steht , an Position steht .
Der Median der Ausgangsdaten beträgt somit .
4. **Bestimme den Modus:**
Am häufigsten kommen () und () vor.
Die Ausgangsdaten besitzen also die beiden Modi und . Eine solche Verteilung heißt bimodal.
**Neue Situation:**
Am nächsten Tag beteiligen sich $$2 \text{weitere Mitglieder}$$. Sie bringen $$20$$ beziehungsweise $$22$$ Kleidungsstücke mit.
Visible text: Am nächsten Tag beteiligen sich . Sie bringen beziehungsweise Kleidungsstücke mit.
Der neue Datensatz lautet:
```math
3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 22
```
**Arithmetisches Mittel, Median und Modus des neuen Datensatzes:**
1. **Sortiere die Daten**:
$$3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 22$$ (insgesamt $$12 \text{Datenwerte}$$, also $$n = 12$$)
2. **Berechne das neue arithmetische Mittel:**
```math
\sum x = 60 + 20 + 22 = 102
```
```math
\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{102}{12} = 8{,}5
```
Das neue arithmetische Mittel beträgt $$8{,}5$$.
3. **Bestimme den neuen Median:**
Die Anzahl der Datenwerte ist wieder gerade ($$n=12$$). Die beiden mittleren Werte liegen an den Positionen $$12/2 = 6$$ und $$(12/2)+1 = 7$$.
An Position $$6$$ steht $$6$$, an Position $$7$$ steht $$7$$.
```math
\text{Median} = \frac{6+7}{2} = 6{,}5
```
Der neue Median beträgt somit $$6{,}5$$.
4. **Bestimme den neuen Modus:**
Am häufigsten kommen weiterhin $$3$$ ($$2 \text{Mal}$$) und $$5$$ ($$2 \text{Mal}$$) vor.
Die Modi bleiben daher $$3$$ und $$5$$.
Visible text: 1. **Sortiere die Daten**:
(insgesamt , also )
2. **Berechne das neue arithmetische Mittel:**
Das neue arithmetische Mittel beträgt .
3. **Bestimme den neuen Median:**
Die Anzahl der Datenwerte ist wieder gerade (). Die beiden mittleren Werte liegen an den Positionen und .
An Position steht , an Position steht .
Der neue Median beträgt somit .
4. **Bestimme den neuen Modus:**
Am häufigsten kommen weiterhin () und () vor.
Die Modi bleiben daher und .
## Einfluss der zusätzlichen Daten
Vergleichen wir die drei Lagemaße vor und nach der Ergänzung:
- **Mittelwert:** steigt von $$6$$ auf $$8{,}5$$, also um $$2{,}5$$.
- **Median:** steigt von $$5{,}5$$ auf $$6{,}5$$, also um $$1$$.
- **Modus:** bleibt bei $$3$$ und $$5$$.
Visible text: - **Mittelwert:** steigt von auf , also um .
- **Median:** steigt von auf , also um .
- **Modus:** bleibt bei und .
Die zusätzlichen Werte $$20$$ und $$22$$ liegen deutlich über den Ausgangsdaten. Deshalb haben sie den **größten Einfluss auf den Mittelwert** und ziehen ihn nach oben.
Visible text: Die zusätzlichen Werte und liegen deutlich über den Ausgangsdaten. Deshalb haben sie den **größten Einfluss auf den Mittelwert** und ziehen ihn nach oben.
Der Median verschiebt sich ebenfalls, aber weniger stark. Der Modus bleibt unverändert.
## Auswirkung eines Extremwerts
Was geschieht, wenn einer der neuen Werte besonders groß ist? Nehmen wir an, das $$12$$. Mitglied bringt nun $$100 \text{Kleidungsstücke}$$ statt $$22$$ mit.
Visible text: Was geschieht, wenn einer der neuen Werte besonders groß ist? Nehmen wir an, das . Mitglied bringt nun statt mit.
Der Datensatz lautet dann: $$3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 100$$ ($$n=12$$)
Visible text: Der Datensatz lautet dann: ()
1. **Berechne das arithmetische Mittel:**
```math
\sum x = 60 + 20 + 100 = 180
```
```math
\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{180}{12} = 15
```
Das arithmetische Mittel beträgt nun $$15$$. Damit liegt es weit über dem Ausgangswert $$6$$ und dem vorherigen Wert $$8{,}5$$.
2. **Bestimme den Median:**
Sortierter Datensatz: $$3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 100$$
Der Median bleibt bei $$(6+7)/2 = 6{,}5$$ und ändert sich gegenüber dem vorherigen Datensatz nicht.
3. **Bestimme den Modus:**
Auch die Modi bleiben $$3$$ und $$5$$.
Visible text: 1. **Berechne das arithmetische Mittel:**
Das arithmetische Mittel beträgt nun . Damit liegt es weit über dem Ausgangswert und dem vorherigen Wert .
2. **Bestimme den Median:**
Sortierter Datensatz:
Der Median bleibt bei und ändert sich gegenüber dem vorherigen Datensatz nicht.
3. **Bestimme den Modus:**
Auch die Modi bleiben und .
Ein Extremwert kann nach einer ausdrücklich genannten statistischen Regel oder aufgrund fachlicher Beurteilung als **Ausreißer** gelten. In diesem Beispiel beeinflusst $$100$$ das arithmetische Mittel stark, während Median und Modi unverändert bleiben. Diese Empfindlichkeit ist die größte Schwäche des arithmetischen Mittels; Median und Modus reagieren auf einen einzelnen ungewöhnlich großen oder kleinen Wert stabiler.
Visible text: Ein Extremwert kann nach einer ausdrücklich genannten statistischen Regel oder aufgrund fachlicher Beurteilung als **Ausreißer** gelten. In diesem Beispiel beeinflusst das arithmetische Mittel stark, während Median und Modi unverändert bleiben. Diese Empfindlichkeit ist die größte Schwäche des arithmetischen Mittels; Median und Modus reagieren auf einen einzelnen ungewöhnlich großen oder kleinen Wert stabiler.
Das arithmetische Mittel ist leicht zu berechnen. Ein ungewöhnlich großer oder kleiner Wert kann jedoch dazu führen, dass es die übrigen Daten nicht mehr gut repräsentiert.