# Interquartilsabstand > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/interquartilsabstand Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-foundations/interquartile-range/de.mdx Berechne den Interquartilsabstand, vergleiche ihn mit der Spannweite und deute die Streuung der mittleren Hälfte eines Datensatzes. --- ## Was ist der Interquartilsabstand? Das [arithmetische Mittel](/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/arithmetisches-mittel) beschreibt die Mitte eines Datensatzes, aber nicht seine Streuung. Zwei Gruppen können dasselbe Durchschnittsalter besitzen, obwohl ihre Alterswerte sehr unterschiedlich verteilt sind. Der **Interquartilsabstand** ($$\mathrm{IQR}$$) misst diese Streuung anhand der **mittleren $$50\%$$ der Daten** nach dem Sortieren. Visible text: Der **Interquartilsabstand** () misst diese Streuung anhand der **mittleren der Daten** nach dem Sortieren. Sehr kleine oder große Werte können die Spannweite dominieren. Einige gelten nach einer ausdrücklich genannten Regel oder aufgrund fachlicher Beurteilung als Ausreißer. Der $$\mathrm{IQR}$$ reagiert weniger empfindlich auf solche Extremwerte, weil er nur die Mitte des Datensatzes betrachtet. Visible text: Sehr kleine oder große Werte können die Spannweite dominieren. Einige gelten nach einer ausdrücklich genannten Regel oder aufgrund fachlicher Beurteilung als Ausreißer. Der reagiert weniger empfindlich auf solche Extremwerte, weil er nur die Mitte des Datensatzes betrachtet. Die Formel lautet: ```math \mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 ``` - $$Q_3$$ ist das obere Quartil und begrenzt die unteren $$75\%$$ der Daten. - $$Q_1$$ ist das untere Quartil und begrenzt die unteren $$25\%$$ der Daten. Visible text: - ist das obere Quartil und begrenzt die unteren der Daten. - ist das untere Quartil und begrenzt die unteren der Daten. Der $$\mathrm{IQR}$$ ist somit die Differenz zwischen oberem und unterem Quartil. Visible text: Der ist somit die Differenz zwischen oberem und unterem Quartil. ## Altersverteilungen vergleichen Betrachten wir zwei Gruppen mit gleichem Mittelwert, aber sehr unterschiedlicher Streuung. Jede Gruppe besteht aus $$12 \text{Personen}$$. Die Alterswerte sind bereits sortiert: Visible text: Jede Gruppe besteht aus . Die Alterswerte sind bereits sortiert: | Position | Gruppe Eins | Gruppe Zwei | | :----------: | :-------: | :-------: | | $$1$$ | $$13$$ | $$1$$ | | $$2$$ | $$14$$ | $$3$$ | | $$3$$ | $$15$$ | $$4$$ | | $$4$$ | $$15$$ | $$5$$ | | $$5$$ | $$16$$ | $$7$$ | | $$6$$ | $$16$$ | $$8$$ | | $$7$$ | $$17$$ | $$12$$ | | $$8$$ | $$17$$ | $$27$$ | | $$9$$ | $$17$$ | $$28$$ | | $$10$$ | $$17$$ | $$29$$ | | $$11$$ | $$17$$ | $$32$$ | | $$12$$ | $$18$$ | $$36$$ | Visible text: | Position | Gruppe Eins | Gruppe Zwei | | :----------: | :-------: | :-------: | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Wir vergleichen Mittelwert, Quartile, Spannweite und Interquartilsabstand. ### Mittelwert und Quartile berechnen 1. **Mittelwert (Durchschnitt):** In beiden Gruppen ist das Durchschnittsalter **genau gleich** und beträgt $$16 \text{Jahre}$$. Gruppe $$1$$: ```math \frac{13+14+15+15+16+16+17+17+17+17+17+18}{12} = \frac{192}{12} = 16 ``` Gruppe $$2$$: ```math \frac{1+3+4+5+7+8+12+27+28+29+32+36}{12} = \frac{192}{12} = 16 ``` 2. **Quartile ($$Q_1$$ und $$Q_3$$):** Da die Werte bereits sortiert sind, können wir die Quartilpositionen direkt bestimmen. **Gruppe Eins ($$n=12$$):** Die Position von $$Q_1$$ ist $$\frac{1}{4}(12+1) = 3{,}25$$. Damit liegt $$Q_1$$ zwischen Position $$3$$ mit dem Wert $$15$$ und Position $$4$$ mit dem Wert $$15$$. Weil beide Werte gleich sind, gilt ```math Q_1 = 15 ``` Die Position von $$Q_3$$ ist $$\frac{3}{4}(12+1) = 9{,}75$$. Damit liegt $$Q_3$$ zwischen Position $$9$$ mit dem Wert $$17$$ und Position $$10$$ mit dem Wert $$17$$. Weil beide Werte gleich sind, gilt ```math Q_3 = 17 ``` **Gruppe Zwei ($$n=12$$):** Die Position von $$Q_1$$ ist $$3{,}25$$. Sie liegt ein Viertel des Weges von Position $$3$$ mit dem Wert $$4$$ zu Position $$4$$ mit dem Wert $$5$$. Deshalb interpolieren wir mit dem Gewicht $$0{,}25$$: ```math Q_1 = 4 + 0{,}25(5-4) = 4{,}25 ``` Die Position von $$Q_3$$ ist $$9{,}75$$. Sie liegt drei Viertel des Weges von Position $$9$$ mit dem Wert $$28$$ zu Position $$10$$ mit dem Wert $$29$$. Das Interpolationsgewicht beträgt daher $$0{,}75$$: ```math Q_3 = 28 + 0{,}75(29-28) = 28{,}75 ``` Visible text: 1. **Mittelwert (Durchschnitt):** In beiden Gruppen ist das Durchschnittsalter **genau gleich** und beträgt . Gruppe : Gruppe : 2. **Quartile ( und ):** Da die Werte bereits sortiert sind, können wir die Quartilpositionen direkt bestimmen. **Gruppe Eins ():** Die Position von ist . Damit liegt zwischen Position mit dem Wert und Position mit dem Wert . Weil beide Werte gleich sind, gilt Die Position von ist . Damit liegt zwischen Position mit dem Wert und Position mit dem Wert . Weil beide Werte gleich sind, gilt **Gruppe Zwei ():** Die Position von ist . Sie liegt ein Viertel des Weges von Position mit dem Wert zu Position mit dem Wert . Deshalb interpolieren wir mit dem Gewicht : Die Position von ist . Sie liegt drei Viertel des Weges von Position mit dem Wert zu Position mit dem Wert . Das Interpolationsgewicht beträgt daher : ### Spannweite und Interquartilsabstand berechnen Nun berechnen wir die beiden Streuungsmaße. 1. **Spannweite:** $$\text{Spannweite} = \text{Maximum} - \text{Minimum}$$ - Die Spannweite von Gruppe Eins ist $$18 - 13 = 5$$. - Die Spannweite von Gruppe Zwei ist $$36 - 1 = 35$$. Die vollständigen Bereiche zeigen bereits, dass Gruppe Zwei in den Extremen viel stärker gestreut ist. 2. **Interquartilsabstand** ($$\mathrm{IQR}$$): $$\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1$$ - Der $$\mathrm{IQR}$$ von Gruppe Eins ist $$17 - 15 = 2$$. - Der $$\mathrm{IQR}$$ von Gruppe Zwei ist $$28{,}75 - 4{,}25 = 24{,}5$$. Auch die mittleren Hälften der beiden Gruppen sind sehr unterschiedlich breit gestreut. Visible text: 1. **Spannweite:** - Die Spannweite von Gruppe Eins ist . - Die Spannweite von Gruppe Zwei ist . Die vollständigen Bereiche zeigen bereits, dass Gruppe Zwei in den Extremen viel stärker gestreut ist. 2. **Interquartilsabstand** (): - Der von Gruppe Eins ist . - Der von Gruppe Zwei ist . Auch die mittleren Hälften der beiden Gruppen sind sehr unterschiedlich breit gestreut. ### Interpretation der Ergebnisse Die wichtigsten Werte im Überblick: | Gruppe | Mittelwert | $$Q_1$$ | $$Q_3$$ | Spannweite | Interquartilsabstand ($$\mathrm{IQR}$$) | | :---: | :--: | :----------------------: | :----------------------: | :---: | :---------: | | Eins | $$16$$ | $$15$$ | $$17$$ | $$5$$ | $$2$$ | | Zwei | $$16$$ | $$4{,}25$$ | $$28{,}75$$ | $$35$$ | $$24{,}5$$ | Visible text: | Gruppe | Mittelwert | | | Spannweite | Interquartilsabstand () | | :---: | :--: | :----------------------: | :----------------------: | :---: | :---------: | | Eins | | | | | | | Zwei | | | | | | - Beide Gruppen haben dasselbe **Durchschnittsalter**, nämlich $$16$$. - **Spannweite** und $$\mathrm{IQR}$$ sind dagegen **sehr unterschiedlich**. - **Gruppe Eins** besitzt eine kleine Spannweite ($$5$$) und einen kleinen $$\mathrm{IQR}$$ ($$2$$). Die Alterswerte liegen deshalb **nah beieinander**. Besonders die mittleren $$50\%$$ unterscheiden sich nur um $$2 \text{Jahre}$$ ($$Q_1=15, Q_3=17$$). Die Daten sind um den Mittelwert **gebündelt**. - **Gruppe Zwei** besitzt eine große Spannweite ($$35$$) und einen großen $$\mathrm{IQR}$$ ($$24{,}5$$). Die Alterswerte sind **deutlich breiter gestreut**. Schon die mittleren $$50\%$$ erstrecken sich über $$24{,}5 \text{Jahre}$$ ($$Q_1=4{,}25, Q_3=28{,}75$$). Die Daten sind **weniger stark gebündelt** als in Gruppe Eins. Visible text: - Beide Gruppen haben dasselbe **Durchschnittsalter**, nämlich . - **Spannweite** und sind dagegen **sehr unterschiedlich**. - **Gruppe Eins** besitzt eine kleine Spannweite () und einen kleinen (). Die Alterswerte liegen deshalb **nah beieinander**. Besonders die mittleren unterscheiden sich nur um (). Die Daten sind um den Mittelwert **gebündelt**. - **Gruppe Zwei** besitzt eine große Spannweite () und einen großen (). Die Alterswerte sind **deutlich breiter gestreut**. Schon die mittleren erstrecken sich über (). Die Daten sind **weniger stark gebündelt** als in Gruppe Eins. Ein gleicher Mittelwert bedeutet also nicht, dass zwei Datensätze ähnlich verteilt sind. Der $$\mathrm{IQR}$$ zeigt, wie breit die mittlere Hälfte streut, und ergänzt damit Mittelwert und Spannweite besonders dann, wenn Extremwerte vorkommen. Visible text: Ein gleicher Mittelwert bedeutet also nicht, dass zwei Datensätze ähnlich verteilt sind. Der zeigt, wie breit die mittlere Hälfte streut, und ergänzt damit Mittelwert und Spannweite besonders dann, wenn Extremwerte vorkommen.