# Median und Modalklasse bei gruppierten Daten
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Bestimme die Modalklasse und schätze den Median gruppierter Daten anhand einer Häufigkeitstabelle.
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## Modalklasse bei gruppierten Daten
Wenn Daten in Intervalle eingeteilt werden, sind die einzelnen Beobachtungswerte nicht mehr sichtbar. Die **Modalklasse** lässt sich trotzdem bestimmen, ein exakter Modalwert dagegen nicht unbedingt.
Die **Modalklasse** ist das Klassenintervall mit der **höchsten Häufigkeit**. Es enthält also mehr Beobachtungen als jedes andere Intervall.
**Durchgerechnetes Beispiel:**
Die folgende Tabelle zeigt die verkauften Schuhgrößen in Geschäft A:
| Schuhgröße (Klassenintervall) | Häufigkeit ($$f_i$$) |
| :----------- | :------------------------------------ |
| $$37\text{-}39$$ | $$2$$ |
| $$40\text{-}42$$ | $$11$$ |
| $$43\text{-}45$$ | $$16$$ (höchste Häufigkeit) |
| $$46\text{-}48$$ | $$1$$ |
| **Gesamt** | $$30$$ |
Visible text: | Schuhgröße (Klassenintervall) | Häufigkeit () |
| :----------- | :------------------------------------ |
| | |
| | |
| | (höchste Häufigkeit) |
| | |
| **Gesamt** | |
Die höchste Häufigkeit beträgt $$16$$. Damit ist $$43\text{-}45$$ die Modalklasse.
Visible text: Die höchste Häufigkeit beträgt . Damit ist die Modalklasse.
Die am häufigsten verkauften Schuhgrößen liegen also in diesem Intervall. Welche einzelne Größe am häufigsten vorkommt, verrät die gruppierte Tabelle nicht.
## Median für gruppierte Daten
Der Median teilt geordnete Daten in zwei gleich große Hälften. Bei gruppierten Daten liegt der mittlere Beobachtungswert verborgen in einem Intervall. Deshalb schätzen wir seine Position innerhalb der Medianklasse.
### Median bei gruppierten Daten bestimmen
1. **Medianposition berechnen:**
Bestimme die Mitte der Daten mit $$n/2$$, wobei $$n$$ die Gesamthäufigkeit bezeichnet.
2. **Kumulierte Häufigkeit bilden:**
Ergänze eine Spalte für die kumulierte Häufigkeit $$F_k$$. Jeder Eintrag summiert die Häufigkeiten von der ersten bis zur gerade betrachteten Klasse.
3. **Medianklasse bestimmen:**
Die Medianklasse ist die erste Klasse, deren kumulierte Häufigkeit **mindestens** $$n/2$$ beträgt.
4. **Medianformel anwenden:**
Sobald die Medianklasse feststeht, lässt sich der Median schätzen:
```math
\operatorname{Me} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_{\mathrm{Me}}} \right) \times c
```
Dabei gilt:
- $$\operatorname{Me}$$ = geschätzter Median der gruppierten Daten
- $$L$$ = **untere Klassengrenze der Medianklasse**. Bei
aufeinanderfolgenden ganzzahligen Klassen gilt:
```math
L = \text{kleinster Klassenwert} - 0{,}5
```
- $$n$$ = Gesamthäufigkeit
- $$F$$ = kumulierte Häufigkeit **vor** der Medianklasse
- $$f_{\mathrm{Me}}$$ = Häufigkeit der Medianklasse
- $$c$$ = Klassenbreite mit:
```math
c = \text{obere Klassengrenze} - \text{untere Klassengrenze}
```
Die Korrektur um $$0{,}5$$ ist hier nötig, weil die Schuhgrößen als aufeinanderfolgende ganze Zahlen erfasst wurden.
Die Interpolation setzt außerdem voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der Medianklasse gleichmäßig verteilt sind. Das Ergebnis ist daher eine modellbasierte Schätzung und kein rekonstruierter Einzelwert.
Visible text: 1. **Medianposition berechnen:**
Bestimme die Mitte der Daten mit , wobei die Gesamthäufigkeit bezeichnet.
2. **Kumulierte Häufigkeit bilden:**
Ergänze eine Spalte für die kumulierte Häufigkeit . Jeder Eintrag summiert die Häufigkeiten von der ersten bis zur gerade betrachteten Klasse.
3. **Medianklasse bestimmen:**
Die Medianklasse ist die erste Klasse, deren kumulierte Häufigkeit **mindestens** beträgt.
4. **Medianformel anwenden:**
Sobald die Medianklasse feststeht, lässt sich der Median schätzen:
Dabei gilt:
- = geschätzter Median der gruppierten Daten
- = **untere Klassengrenze der Medianklasse**. Bei
aufeinanderfolgenden ganzzahligen Klassen gilt:
- = Gesamthäufigkeit
- = kumulierte Häufigkeit **vor** der Medianklasse
- = Häufigkeit der Medianklasse
- = Klassenbreite mit:
Die Korrektur um ist hier nötig, weil die Schuhgrößen als aufeinanderfolgende ganze Zahlen erfasst wurden.
Die Interpolation setzt außerdem voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der Medianklasse gleichmäßig verteilt sind. Das Ergebnis ist daher eine modellbasierte Schätzung und kein rekonstruierter Einzelwert.
**Durchgerechnetes Beispiel:**
Wir verwenden wieder die Schuhgrößen aus Geschäft A.
| Schuhgröße | Häufigkeit ($$f_i$$) | Kumulierte Häufigkeit ($$F_k$$) |
| :-------- | :------------------------------------ | :------------------ |
| $$37 - 39$$ | $$2$$ | $$2$$ |
| $$40 - 42$$ | $$11$$ | $$2 + 11 = 13$$ |
| $$43 - 45$$ | $$16$$ ($$f_{\mathrm{Me}}$$) | $$13 + 16 = 29$$ |
| $$46 - 48$$ | $$1$$ | $$29 + 1 = 30$$ |
| Gesamt | $$n = 30$$ | |
Visible text: | Schuhgröße | Häufigkeit () | Kumulierte Häufigkeit () |
| :-------- | :------------------------------------ | :------------------ |
| | | |
| | | |
| | () | |
| | | |
| Gesamt | | |
1. **Medianposition:** $$n/2 = 30/2 = 15$$. Gesucht ist die Beobachtung an Position $$15$$.
2. **Kumulierte Häufigkeit:** Sie steht bereits in der Tabelle.
3. **Medianklasse:** Nach der zweiten Klasse beträgt die kumulierte Häufigkeit $$13$$, nach der dritten $$29$$. Position $$15$$ liegt daher in der Klasse $$43\text{-}45$$.
4. **Formelkomponenten:**
- Medianklasse: $$43\text{-}45$$
- Untere Klassengrenze: $$L = 43 - 0{,}5 = 42{,}5$$
- $$n/2 = 30/2 = 15$$
- Kumulierte Häufigkeit vor der Medianklasse: $$F = 13$$
- Häufigkeit in der Medianklasse: $$f_{\mathrm{Me}} = 16$$
- Klassenbreite: $$c = \text{Obere Grenze} - \text{Untere Grenze}$$
```math
c = (45 + 0{,}5) - (43 - 0{,}5) = 45{,}5 - 42{,}5 = 3
```
5. **Einsetzen in die Medianformel:**
```math
\operatorname{Me} = 42{,}5 + \left( \frac{15 - 13}{16} \right) \times 3
```
```math
\operatorname{Me} = 42{,}5 + \left( \frac{2}{16} \right) \times 3
```
```math
\operatorname{Me} = 42{,}5 + \left( \frac{1}{8} \right) \times 3
```
```math
\operatorname{Me} = 42{,}5 + \frac{3}{8}
```
```math
\operatorname{Me} = 42{,}5 + 0{,}375
```
```math
\operatorname{Me} = 42{,}875
```
Visible text: 1. **Medianposition:** . Gesucht ist die Beobachtung an Position .
2. **Kumulierte Häufigkeit:** Sie steht bereits in der Tabelle.
3. **Medianklasse:** Nach der zweiten Klasse beträgt die kumulierte Häufigkeit , nach der dritten . Position liegt daher in der Klasse .
4. **Formelkomponenten:**
- Medianklasse:
- Untere Klassengrenze:
-
- Kumulierte Häufigkeit vor der Medianklasse:
- Häufigkeit in der Medianklasse:
- Klassenbreite:
5. **Einsetzen in die Medianformel:**
**Die geschätzte mittlere Schuhgröße beträgt $$42{,}875$$.** Mit den kontinuierlichen Klassengrenzen liegt dieser Wert in der Medianklasse $$43\text{-}45$$.
Visible text: **Die geschätzte mittlere Schuhgröße beträgt .** Mit den kontinuierlichen Klassengrenzen liegt dieser Wert in der Medianklasse .
Das Ergebnis ist eine **Schätzung**, kein rekonstruierter Einzelwert. Durch die Gruppierung gehen die genauen Werte innerhalb der Intervalle verloren. Für den [Mittelwert gruppierter Daten](/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/mittelwert-gruppierter-daten) gilt dieselbe Einschränkung.