# Mittelwert für gruppierte Daten

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Schätze das arithmetische Mittel gruppierter Daten aus Klassenmitten und Häufigkeiten anhand eines vollständig gerechneten Beispiels.

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## Mittelwert für gruppierte Daten

Bei ungruppierten Daten addieren wir alle Werte und teilen die Summe durch ihre Anzahl.

```math
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
```

In einer Häufigkeitstabelle können die Werte dagegen als **Gruppen** oder **Intervalle** vorliegen, zum Beispiel $$70\text{-}79$$, $$80\text{-}89$$ und $$90\text{-}99$$.

Visible text: In einer Häufigkeitstabelle können die Werte dagegen als **Gruppen** oder **Intervalle** vorliegen, zum Beispiel , und .

Nach der Gruppierung kennen wir **nicht mehr jeden Einzelwert**. Wenn $$5$$ Schülerinnen und Schüler zum Intervall $$70\text{-}79$$ gehören, wissen wir nicht, ob ihre tatsächlichen Ergebnisse $$70$$, $$72$$, $$75$$ oder andere Werte aus diesem Bereich waren.

Visible text: Nach der Gruppierung kennen wir **nicht mehr jeden Einzelwert**. Wenn Schülerinnen und Schüler zum Intervall gehören, wissen wir nicht, ob ihre tatsächlichen Ergebnisse , , oder andere Werte aus diesem Bereich waren.

## Klassenmitte als Näherung

Da die Einzelwerte fehlen, benötigen wir eine **Näherung**: Die Klassenmitte **steht stellvertretend für alle Werte** des jeweiligen Intervalls.

Die Klassenmitte $$x_i$$ berechnet sich aus:

Visible text: Die Klassenmitte berechnet sich aus:

```math
x_i = \frac{\text{Untere Klassengrenze} + \text{Obere Klassengrenze}}{2}
```

## Formel für den Mittelwert gruppierter Daten

Sind alle Klassenmitten bekannt, ergibt sich das geschätzte arithmetische Mittel aus:

```math
\bar{x} = \frac{\sum (f_i \times x_i)}{\sum f_i}
```

dabei gilt:

- $$\bar{x}$$ ist das geschätzte arithmetische Mittel der gruppierten Daten.
- $$f_i$$ ist die Häufigkeit der Klasse $$i$$.
- $$x_i$$ ist der Mittelpunkt der Klasse $$i$$.
- $$\sum (f_i \times x_i)$$ ist die Summe aller Produkte aus Klassenhäufigkeit und Klassenmitte.
- $$\sum f_i$$ ist die Summe aller Häufigkeiten, gleich der Gesamtzahl der Werte $$n$$.

Visible text: - ist das geschätzte arithmetische Mittel der gruppierten Daten.
- ist die Häufigkeit der Klasse .
- ist der Mittelpunkt der Klasse .
- ist die Summe aller Produkte aus Klassenhäufigkeit und Klassenmitte.
- ist die Summe aller Häufigkeiten, gleich der Gesamtzahl der Werte .

## Beispiel: Durchschnittliche Schuhgröße

Ein Geschäft hat seine verkauften Schuhgrößen in Klassen zusammengefasst:

| Schuhgröße (Klassenintervall) | Häufigkeit ($$f_i$$) |
| :----------- | :------------------------------------ |
| $$37\text{-}39$$ | $$2$$ |
| $$40\text{-}42$$ | $$11$$ |
| $$43\text{-}45$$ | $$16$$ |
| $$46\text{-}48$$ | $$1$$ |
| **Gesamt** | **$$n=30$$** |

Visible text: | Schuhgröße (Klassenintervall) | Häufigkeit () |
| :----------- | :------------------------------------ |
| | |
| | |
| | |
| | |
| **Gesamt** | **** |

**Berechnung:**

1.  **Bestimme die Klassenmitte ($$x_i$$) jeder Klasse:**

    - Klasse $$37\text{-}39$$: $$x_1 = (37+39)/2 = 38$$
    - Klasse $$40\text{-}42$$: $$x_2 = (40+42)/2 = 41$$
    - Klasse $$43\text{-}45$$: $$x_3 = (43+45)/2 = 44$$
    - Klasse $$46\text{-}48$$: $$x_4 = (46+48)/2 = 47$$

2.  **Multipliziere jede Häufigkeit mit der zugehörigen Klassenmitte ($$f_i \times x_i$$):**

    - Klasse $$37\text{-}39$$: $$2 \times 38 = 76$$
    - Klasse $$40\text{-}42$$: $$11 \times 41 = 451$$
    - Klasse $$43\text{-}45$$: $$16 \times 44 = 704$$
    - Klasse $$46\text{-}48$$: $$1 \times 47 = 47$$

3.  **Addiere alle Produkte ($$\sum (f_i \times x_i)$$):**

    
    
    ```math
    \sum (f_i \times x_i) = 76 + 451 + 704 + 47 = 1278
    ```

4.  **Addiere alle Häufigkeiten ($$\sum f_i$$):**

    
    
    ```math
    \sum f_i = 2 + 11 + 16 + 1 = 30
    ```

5.  **Berechne das arithmetische Mittel ($$\bar{x}$$):**

    
    
    ```math
    \bar{x} = \frac{\sum (f_i \times x_i)}{\sum f_i} = \frac{1278}{30} = 42{,}6
    ```

Visible text: 1. **Bestimme die Klassenmitte () jeder Klasse:**

 - Klasse : 
 - Klasse : 
 - Klasse : 
 - Klasse : 

2. **Multipliziere jede Häufigkeit mit der zugehörigen Klassenmitte ():**

 - Klasse : 
 - Klasse : 
 - Klasse : 
 - Klasse : 

3. **Addiere alle Produkte ():**

 
 

4. **Addiere alle Häufigkeiten ():**

 
 

5. **Berechne das arithmetische Mittel ():**

**Die geschätzte durchschnittliche Schuhgröße der Verkäufe beträgt somit $$42{,}6$$.**

Visible text: **Die geschätzte durchschnittliche Schuhgröße der Verkäufe beträgt somit .**

Das Ergebnis ist eine **Schätzung**, weil die Klassenmitte alle Einzelwerte ihres Intervalls ersetzt. Genau dieses Verfahren verwenden wir, wenn nur gruppierte Häufigkeiten vorliegen.