# Modus und Median > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/modalwert-und-median Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-foundations/mode-median/de.mdx Bestimme Median, Modus und Spannweite anhand vollständiger Beispiele mit einer ungeraden und einer geraden Anzahl von Werten. --- ## Maße der zentralen Tendenz Lagemaße beschreiben die Mitte eines Datensatzes. Median und Modus erfassen diese Mitte auf unterschiedliche Weise. ## Median: Der mittlere Wert Der Median ist der **mittlere Wert eines geordneten Datensatzes**. **So bestimmst du den Median:** 1. Sortiere die Daten vom kleinsten zum größten Wert. 2. Bestimme die mittlere Position oder die beiden mittleren Positionen. - **Bei einer ungeraden Anzahl von Datenwerten ($$n$$ ist ungerade):** ```math \text{Median} = \text{Wert an Position} \frac{n+1}{2} ``` **Beispiel mit einer ungeraden Anzahl von Werten:** Die Punktzahlen von $$5 \text{Lernenden}$$ lauten $$7, 8, 6, 9, 7$$. Sortiert: $$6, 7, 7, 8, 9$$ (insgesamt $$5$$ Werte, also $$n=5$$) Mittlere Position: $$(5+1)/2 = 3$$. An Position $$3$$ steht der Wert $$7$$. Somit gilt $$\text{Median} = 7$$. - **Bei einer geraden Anzahl von Datenwerten ($$n$$ ist gerade):** ```math \text{Median} = \frac{\text{Wert an Position}(n/2) + \text{Wert an Position}((n/2)+1)}{2} ``` **Beispiel mit einer geraden Anzahl von Werten:** Die Punktzahlen von $$6 \text{Lernenden}$$ lauten $$7, 8, 6, 9, 7, 10$$. Sortiert: $$6, 7, 7, 8, 9, 10$$ (insgesamt $$6$$ Werte, also $$n=6$$) Die mittleren Positionen sind $$6/2 = 3$$ und $$(6/2) + 1 = 4$$. Die beiden mittleren Zahlen sind $$7$$ und $$8$$. Der Median ist das arithmetische Mittel von $$7$$ und $$8$$: $$(7+8)/2 = 7{,}5$$. Der Median beträgt also $$7{,}5$$. Visible text: - **Bei einer ungeraden Anzahl von Datenwerten ( ist ungerade):** **Beispiel mit einer ungeraden Anzahl von Werten:** Die Punktzahlen von lauten . Sortiert: (insgesamt Werte, also ) Mittlere Position: . An Position steht der Wert . Somit gilt . - **Bei einer geraden Anzahl von Datenwerten ( ist gerade):** **Beispiel mit einer geraden Anzahl von Werten:** Die Punktzahlen von lauten . Sortiert: (insgesamt Werte, also ) Die mittleren Positionen sind und . Die beiden mittleren Zahlen sind und . Der Median ist das arithmetische Mittel von und : . Der Median beträgt also . Weil der Median von der Position und nicht von der Größe der Werte abhängt, verändern einzelne besonders große oder kleine Randwerte ihn kaum. ## Modus: Der häufigste Wert Der Modus ist der **Wert, der am häufigsten vorkommt**, also der Wert mit der höchsten Häufigkeit. **So bestimmst du den Modus:** 1. Zähle, wie oft jeder Wert vorkommt. 2. Bestimme den Wert oder die Werte mit der höchsten Häufigkeit. **Beispiel:** Testergebnisse: ```math 7, 8, 6, 9, 7, 8, 7 ``` - Der Wert $$6$$ erscheint $$1 \text{Mal}$$. - Der Wert $$7$$ erscheint $$3 \text{Mal}$$. - Der Wert $$8$$ erscheint $$2 \text{Mal}$$. - Der Wert $$9$$ erscheint $$1 \text{Mal}$$. Visible text: - Der Wert erscheint . - Der Wert erscheint . - Der Wert erscheint . - Der Wert erscheint . Am häufigsten erscheint $$7$$, und zwar $$3 \text{Mal}$$. Visible text: Am häufigsten erscheint , und zwar . Der Modus ist also $$7$$. Visible text: Der Modus ist also . **Wichtige Hinweise zum Modus:** - Wenn alle Werte gleich häufig vorkommen, ist kein Wert eindeutig am häufigsten. Nach der hier verwendeten Konvention hat der Datensatz dann **keinen Modus**. - Er kann **einen Modus** haben (unimodal). - Er kann **zwei Modi** haben (bimodal), wenn zwei Werte dieselbe höchste Häufigkeit besitzen. - Er kann **mehr als zwei Modi** haben (multimodal). Ein einzelner isolierter Extremwert ändert den Modus normalerweise nicht, da seine Häufigkeit nur eins beträgt. ## Die Spannweite zeigt die Gesamtbreite Neben der Mitte interessiert uns oft, wie **weit gestreut** die Daten sind. Die **Spannweite** liefert dafür ein schnelles Maß. Die Spannweite ist die **Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Datenwert**. ```math \text{Spannweite} = \text{größter Wert} - \text{kleinster Wert} ``` **Beispiel:** Daten: $$6, 7, 7, 8, 9, 10$$ Visible text: Daten: Größter Wert $$= 10$$ Visible text: Größter Wert Kleinster Wert $$= 6$$ Visible text: Kleinster Wert Spannweite $$= 10 - 6 = 4$$ Visible text: Spannweite Die Spannweite zeigt den Abstand zwischen den beiden Endpunkten, beschreibt aber nicht, wie die Werte dazwischen verteilt sind. Median und Modus beschreiben die Mitte eines Datensatzes, die Spannweite seine Gesamtbreite.