# Perzentile bei gruppierten Daten > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/perzentile-gruppierter-daten Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-foundations/percentile-data-group/de.mdx Schätze Perzentile gruppierter Daten und deute sie anhand einer Tabelle mit kumulierten Häufigkeiten. --- ## Was sind Perzentile? Du kennst bereits [Quartile](/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/quartile-gruppierter-daten): Sie teilen geordnete Daten in $$4$$ gleich stark besetzte Teile. **Perzentile** führen denselben Gedanken weiter. Visible text: Du kennst bereits [Quartile](/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/quartile-gruppierter-daten): Sie teilen geordnete Daten in gleich stark besetzte Teile. **Perzentile** führen denselben Gedanken weiter. Perzentile teilen die Positionen der geordneten Daten nicht in $$4$$, sondern in $$100$$ gleich stark besetzte Teile. Jeder Teil enthält denselben Anteil der Beobachtungen, kann aber einen unterschiedlich breiten Wertebereich abdecken. Visible text: Perzentile teilen die Positionen der geordneten Daten nicht in , sondern in gleich stark besetzte Teile. Jeder Teil enthält denselben Anteil der Beobachtungen, kann aber einen unterschiedlich breiten Wertebereich abdecken. Die $$99$$ inneren Trennpunkte werden meist als $$P_1$$, $$P_2$$, $$P_3$$, ..., bis $$P_{99}$$ bezeichnet. Ihre Zahlenwerte können je nach Perzentilkonvention abweichen, besonders bei kleinen Stichproben. Visible text: Die inneren Trennpunkte werden meist als , , , ..., bis bezeichnet. Ihre Zahlenwerte können je nach Perzentilkonvention abweichen, besonders bei kleinen Stichproben. - $$P_{10}$$ (das $$10$$. Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr $$10\%$$ der Beobachtungen liegen; die anderen $$90\%$$ liegen darüber. - $$P_{50}$$ (das $$50$$. Perzentil) entspricht dem **Median** oder **zweiten Quartil ($$Q_2$$ )**. Es markiert die mittlere Rangposition; bei Bindungen muss nicht genau die Hälfte der beobachteten Werte streng auf jeder Seite liegen. - $$P_{85}$$ (das $$85$$. Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr $$85\%$$ der Beobachtungen liegen; rund $$15\%$$ liegen darüber. Visible text: - (das . Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr der Beobachtungen liegen; die anderen liegen darüber. - (das . Perzentil) entspricht dem **Median** oder **zweiten Quartil ( )**. Es markiert die mittlere Rangposition; bei Bindungen muss nicht genau die Hälfte der beobachteten Werte streng auf jeder Seite liegen. - (das . Perzentil) markiert den Wert, auf oder unter dem ungefähr der Beobachtungen liegen; rund liegen darüber. Perzentile beschreiben die relative Position eines Werts innerhalb einer Verteilung. So lässt sich etwa ein Testergebnis mit dem Rest einer Lerngruppe oder ein Wachstumswert mit einer passenden Referenzgruppe vergleichen. ## Perzentilwerte bei gruppierten Daten bestimmen Wie bei Quartilen verwenden wir bei gruppierten Daten eine **Interpolation**, um den Perzentilwert $$P_i$$ innerhalb seines Klassenintervalls zu schätzen. Visible text: Wie bei Quartilen verwenden wir bei gruppierten Daten eine **Interpolation**, um den Perzentilwert innerhalb seines Klassenintervalls zu schätzen. Das Verfahren besteht aus zwei Schritten. ### Position der Perzentilklasse bestimmen Bestimme zuerst die Position des $$i$$. Perzentils: Visible text: Bestimme zuerst die Position des . Perzentils: ```math \text{Position von } P_i = \frac{i}{100} \times n ``` - $$i$$ = Perzentilrang, zum Beispiel $$10, 50, 85$$ - $$n$$ = Gesamthäufigkeit Visible text: - = Perzentilrang, zum Beispiel - = Gesamthäufigkeit Anschließend zeigt die Spalte der kumulierten Häufigkeiten $$F_k$$, in welchem Klassenintervall diese Position liegt. Visible text: Anschließend zeigt die Spalte der kumulierten Häufigkeiten , in welchem Klassenintervall diese Position liegt. ### Perzentilwert durch Interpolation berechnen Sobald die Perzentilklasse feststeht, interpolieren wir innerhalb dieser Klasse: ```math P_i = T_b + \left( \frac{\frac{i}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_i} \right) p ``` Dabei gilt: - $$P_i$$ = geschätzter Wert des gesuchten Perzentils - $$T_b$$ = untere Grenze der Perzentilklasse - $$i$$ = Perzentilrang, zum Beispiel $$10, 85$$ - $$n$$ = Gesamthäufigkeit - $$F_{\text{kum}}$$ = kumulierte Häufigkeit **vor** der Perzentilklasse - $$f_i$$ = Häufigkeit der Perzentilklasse - $$p$$ = Klassenbreite Visible text: - = geschätzter Wert des gesuchten Perzentils - = untere Grenze der Perzentilklasse - = Perzentilrang, zum Beispiel - = Gesamthäufigkeit - = kumulierte Häufigkeit **vor** der Perzentilklasse - = Häufigkeit der Perzentilklasse - = Klassenbreite Die Formel entspricht der Quartilinterpolation, verwendet aber $$\frac{i}{100}n$$ anstelle von $$\frac{i}{4}n$$. Visible text: Die Formel entspricht der Quartilinterpolation, verwendet aber anstelle von . Die Interpolation setzt voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der gewählten Klasse gleichmäßig verteilt sind. Sie schätzt ein Perzentil anhand des gruppierten Modells, rekonstruiert aber nicht die ursprünglichen Einzelwerte. ## Durchgerechnetes Beispiel: Mathematiktest Die Tabelle fasst die Ergebnisse von $$40 \text{ Lernenden}$$ in einem Mathematiktest zusammen: Visible text: Die Tabelle fasst die Ergebnisse von in einem Mathematiktest zusammen: | Testergebnis | Häufigkeit ($$f$$) | Kumulierte Häufigkeit ($$F_k$$) | Untere Grenze ($$T_b$$) | Klassenbreite ($$p$$) | | :--------: | :------------------------------------------------: | :-------------------------------: | :-------------------------: | :----------------------------------: | | $$61\text{-}70$$ | $$4$$ | $$4$$ | $$60{,}5$$ | $$10$$ | | $$71\text{-}80$$ | $$10$$ | $$14$$ | $$70{,}5$$ | $$10$$ | | $$81\text{-}90$$ | $$16$$ | $$30$$ | $$80{,}5$$ | $$10$$ | | $$91\text{-}100$$ | $$10$$ | $$40$$ | $$90{,}5$$ | $$10$$ | | **Gesamt** | $$40$$ | | | | Visible text: | Testergebnis | Häufigkeit () | Kumulierte Häufigkeit () | Untere Grenze () | Klassenbreite () | | :--------: | :------------------------------------------------: | :-------------------------------: | :-------------------------: | :----------------------------------: | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | **Gesamt** | | | | | Gesucht ist das $$85$$. Perzentil $$P_{85}$$. Visible text: Gesucht ist das . Perzentil . 1. **Position von $$P_{85}$$ bestimmen:** $$P_{85}$$ liegt an der Datenposition $$\frac{85}{100} \times 40 = \frac{3400}{100} = 34$$. 2. **Klasse von $$P_{85}$$ bestimmen:** Die kumulierte Häufigkeit erreicht $$F_k = 30$$ bis zur Klasse $$81\text{-}90$$ und $$F_k = 40$$ bis zur Klasse $$91\text{-}100$$. Die Positionen $$31$$ bis $$40$$ liegen daher in der letzten Klasse. Somit gehört $$P_{85}$$ zur Klasse $$91\text{-}100$$. 3. **Formelwerte notieren:** - $$T_b$$ (Untergrenze der Klasse $$91\text{-}100$$) ist $$90{,}5$$ - $$i = 85$$ - $$n = 40$$ - $$F_{\text{kum}}$$ (kumulierte Häufigkeit vor der Klasse $$91\text{-}100$$) = $$30$$ - $$f_{85}$$ (Häufigkeit der Klasse $$91\text{-}100$$) ist $$10$$ - $$p$$ (Klassenbreite) ist $$10$$ 4. **$$P_{85}$$ berechnen:** ```math P_{85} = T_b + \left( \frac{\frac{85}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{85}} \right) p ``` ```math P_{85} = 90{,}5 + \left( \frac{34 - 30}{10} \right) 10 ``` ```math P_{85} = 90{,}5 + \left( \frac{4}{10} \right) 10 ``` ```math P_{85} = 90{,}5 + 4 ``` ```math P_{85} = 94{,}5 ``` Visible text: 1. **Position von bestimmen:** liegt an der Datenposition . 2. **Klasse von bestimmen:** Die kumulierte Häufigkeit erreicht bis zur Klasse und bis zur Klasse . Die Positionen bis liegen daher in der letzten Klasse. Somit gehört zur Klasse . 3. **Formelwerte notieren:** - (Untergrenze der Klasse ) ist - - - (kumulierte Häufigkeit vor der Klasse ) = - (Häufigkeit der Klasse ) ist - (Klassenbreite) ist 4. ** berechnen:** Das geschätzte $$85$$. Perzentil beträgt $$94{,}5$$. Im interpolierten Modell liegen etwa $$85\%$$ der Werte auf oder unter $$94{,}5$$ und etwa $$15\%$$ darüber. Visible text: Das geschätzte . Perzentil beträgt . Im interpolierten Modell liegen etwa der Werte auf oder unter und etwa darüber. ## Übung Berechne zunächst selbst das $$20$$. Perzentil $$P_{20}$$ aus derselben Tabelle. Vergleiche deinen Rechenweg erst danach mit der Lösung. Visible text: Berechne zunächst selbst das . Perzentil aus derselben Tabelle. Vergleiche deinen Rechenweg erst danach mit der Lösung. ### Durchgerechnete Lösung 1. **Position von $$P_{20}$$:** $$P_{20}$$ liegt an der Datenposition $$\frac{20}{100} \times 40 = \frac{800}{100} = 8$$. 2. **Klasse von $$P_{20}$$:** Betrachte $$F_k$$. Die Datenposition $$8$$ liegt in der Klasse $$71\text{-}80$$, denn in der vorherigen Klasse beträgt $$F_k$$ erst $$4$$ und in dieser Klasse $$F_k$$ bereits $$14$$. 3. **Formelwerte:** - $$T_b = 70{,}5$$ - $$i = 20$$ - $$n = 40$$ - $$F_{\text{kum}} = 4$$ - $$f_{20} = 10$$ - $$p = 10$$ 4. **$$P_{20}$$ berechnen:** ```math P_{20} = T_b + \left( \frac{\frac{20}{100}n - F_{\text{kum}}}{f_{20}} \right) p ``` ```math P_{20} = 70{,}5 + \left( \frac{8 - 4}{10} \right) 10 ``` ```math P_{20} = 70{,}5 + \left( \frac{4}{10} \right) 10 ``` ```math P_{20} = 70{,}5 + 4 ``` ```math P_{20} = 74{,}5 ``` Visible text: 1. **Position von :** liegt an der Datenposition . 2. **Klasse von :** Betrachte . Die Datenposition liegt in der Klasse , denn in der vorherigen Klasse beträgt erst und in dieser Klasse bereits . 3. **Formelwerte:** - - - - - - 4. ** berechnen:** Das geschätzte $$20$$. Perzentil beträgt $$74{,}5$$. Der Wert liegt wie erwartet in der Klasse $$71\text{-}80$$. Visible text: Das geschätzte . Perzentil beträgt . Der Wert liegt wie erwartet in der Klasse .