# Quartile für nicht gruppierte Daten > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/quartile-einzelner-daten Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-foundations/quartile-data-single/de.mdx Bestimme Q1, Q2 und Q3 ungruppierter Daten mit einer klar benannten Interpolationskonvention und einem vollständig gelösten Beispiel. --- ## Was sind Quartile? Der Median teilt einen sortierten Datensatz in der Mitte, also bei $$50\%$$, in zwei Hälften. **Quartile** verfeinern diese Aufteilung. Visible text: Der Median teilt einen sortierten Datensatz in der Mitte, also bei , in zwei Hälften. **Quartile** verfeinern diese Aufteilung. Diese Positionen teilen die Verteilung nach Rang in **vier** Bereiche, die jeweils ungefähr ein Viertel der Beobachtungen repräsentieren. Bei endlichen Daten oder Wertwiederholungen müssen daraus keine vier sichtbar getrennten Gruppen mit exakt gleicher Anzahl entstehen. Es gibt drei Quartilgrenzen: 1. **Unteres Quartil ($$Q_1$$):** Die Grenze bei ungefähr $$25\%$$ der Rangordnung. 2. **Mittleres Quartil ($$Q_2$$):** Der **Median** bei ungefähr $$50\%$$ der Rangordnung. 3. **Oberes Quartil ($$Q_3$$):** Die Grenze bei ungefähr $$75\%$$ der Rangordnung. Visible text: 1. **Unteres Quartil ():** Die Grenze bei ungefähr der Rangordnung. 2. **Mittleres Quartil ():** Der **Median** bei ungefähr der Rangordnung. 3. **Oberes Quartil ():** Die Grenze bei ungefähr der Rangordnung. Zusammen beschreiben $$Q_1$$, $$Q_2$$ und $$Q_3$$ das untere Viertel, die Mitte und das obere Viertel einer geordneten Verteilung. Visible text: Zusammen beschreiben , und das untere Viertel, die Mitte und das obere Viertel einer geordneten Verteilung. ## Position der Quartile bestimmen Wie finden wir nun die Rangpositionen von $$Q_1$$, $$Q_2$$ und $$Q_3$$ im sortierten Datensatz? Visible text: Wie finden wir nun die Rangpositionen von , und im sortierten Datensatz? Wir bezeichnen die Anzahl der aufsteigend sortierten Datenwerte mit $$n$$. Visible text: Wir bezeichnen die Anzahl der aufsteigend sortierten Datenwerte mit . Für Quartile gibt es mehrere gültige Rangkonventionen. Daher können verschiedene Programme bei kleinen Datensätzen leicht unterschiedliche Werte liefern. Dieses Kapitel verwendet durchgehend die interpolierte Position $$p(n+1)$$ mit $$p$$ gleich $$\frac14$$, $$\frac12$$ oder $$\frac34$$. Eine Position unter $$1$$ wird auf das Minimum und eine Position über $$n$$ auf das Maximum begrenzt. Beim Vergleichen von Ergebnissen muss die verwendete Konvention genannt werden. Visible text: Für Quartile gibt es mehrere gültige Rangkonventionen. Daher können verschiedene Programme bei kleinen Datensätzen leicht unterschiedliche Werte liefern. Dieses Kapitel verwendet durchgehend die interpolierte Position mit gleich , oder . Eine Position unter wird auf das Minimum und eine Position über auf das Maximum begrenzt. Beim Vergleichen von Ergebnissen muss die verwendete Konvention genannt werden. ### Unteres Quartil Für das untere Quartil gilt: ```math \text{Position von} Q_1 = \text{Datenpunkt bei}\frac{1}{4}(n+1) ``` - **Ist das Ergebnis ganzzahlig**, zum Beispiel $$5$$, entspricht $$Q_1$$ dem Wert an Position $$5$$. - **Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen**, zum Beispiel bei $$5{,}25$$, befindet sich $$Q_1$$ zwischen Position $$5$$ und Position $$6$$. Wie der genaue Wert interpoliert wird, folgt später. Hier bestimmen wir zunächst nur die Lage. Visible text: - **Ist das Ergebnis ganzzahlig**, zum Beispiel , entspricht dem Wert an Position . - **Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen**, zum Beispiel bei , befindet sich zwischen Position und Position . Wie der genaue Wert interpoliert wird, folgt später. Hier bestimmen wir zunächst nur die Lage. **Beispiel:** Nehmen wir $$20$$ Datenwerte an ($$n=20$$). Visible text: Nehmen wir Datenwerte an (). Die Position von $$Q_1$$ ergibt sich aus $$\frac{1}{4}(20+1)$$. Das entspricht $$\frac{21}{4}$$, also Position $$5{,}25$$. Visible text: Die Position von ergibt sich aus . Das entspricht , also Position . Damit liegt $$Q_1$$ zwischen Position $$5$$ und Position $$6$$. Visible text: Damit liegt zwischen Position und Position . ### Mittleres Quartil Das mittlere Quartil ist zugleich der Median: ```math \text{Position von} Q_2 = \text{Datenpunkt bei}\frac{1}{2}(n+1) ``` Es gelten dieselben Regeln wie für $$Q_1$$: Visible text: Es gelten dieselben Regeln wie für : - **Ist das Ergebnis ganzzahlig**, etwa $$10$$, entspricht $$Q_2$$ dem Wert an Position $$10$$. - **Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen**, etwa bei $$10{,}5$$, befindet sich $$Q_2$$ zwischen Position $$10$$ und Position $$11$$. Visible text: - **Ist das Ergebnis ganzzahlig**, etwa , entspricht dem Wert an Position . - **Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen**, etwa bei , befindet sich zwischen Position und Position . **Beispiel mit $$n=20$$:** Visible text: **Beispiel mit :** Die Position von $$Q_2$$ ergibt sich aus $$\frac{1}{2}(20+1)$$. Das entspricht $$\frac{21}{2}$$, also Position $$10{,}5$$. Visible text: Die Position von ergibt sich aus . Das entspricht , also Position . Damit liegt $$Q_2$$, also der Median, zwischen Position $$10$$ und Position $$11$$. Visible text: Damit liegt , also der Median, zwischen Position und Position . ### Oberes Quartil Für das obere Quartil gilt entsprechend: ```math \text{Position von} Q_3 = \text{Datenpunkt bei}\frac{3}{4}(n+1) ``` Auch hier gelten dieselben Regeln: - **Ist das Ergebnis ganzzahlig**, etwa $$15$$, entspricht $$Q_3$$ dem Wert an Position $$15$$. - **Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen**, etwa bei $$15{,}75$$, befindet sich $$Q_3$$ zwischen Position $$15$$ und Position $$16$$. Visible text: - **Ist das Ergebnis ganzzahlig**, etwa , entspricht dem Wert an Position . - **Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen**, etwa bei , befindet sich zwischen Position und Position . **Beispiel mit $$n=20$$:** Visible text: **Beispiel mit :** Die Position von $$Q_3$$ ergibt sich aus $$\frac{3}{4}(20+1)$$. Das entspricht $$\frac{63}{4}$$, also Position $$15{,}75$$. Visible text: Die Position von ergibt sich aus . Das entspricht , also Position . Damit liegt $$Q_3$$ zwischen Position $$15$$ und Position $$16$$. Visible text: Damit liegt zwischen Position und Position . ## Übung mit Lösung Bestimme die Positionen von $$Q_1$$, $$Q_2$$ und $$Q_3$$ für die Mathematiknoten dieser $$7$$ Schülerinnen und Schüler: Visible text: Bestimme die Positionen von , und für die Mathematiknoten dieser Schülerinnen und Schüler: **Ergebnisse:** $$7, 5, 8, 6, 9, 7, 10$$ Visible text: **Ergebnisse:** Versuche die Aufgabe zunächst selbst. Vergleiche deinen Lösungsweg danach mit der vollständigen Rechnung. **Schritt** $$1$$: Sortiere zuerst die Daten. Visible text: **Schritt** : Sortiere zuerst die Daten. Sortierte Daten: $$5, 6, 7, 7, 8, 9, 10$$ Visible text: Sortierte Daten: Anzahl der Datenpunkte: $$n = 7$$ Visible text: Anzahl der Datenpunkte: **Schritt** $$2$$: Berechne die Quartilpositionen mit den Formeln. Visible text: **Schritt** : Berechne die Quartilpositionen mit den Formeln. - **Position von $$Q_1$$:** $$\text{Datenpunkt bei}\frac{1}{4}(n+1) = \text{Datenpunkt bei}\frac{1}{4}(7+1) = \text{Datenpunkt bei}\frac{8}{4} = \text{Datenpunkt bei}2$$ Das Ergebnis ist ganzzahlig ($$2$$). Deshalb liegt $$Q_1$$ an Position $$2$$. - **Position von $$Q_2$$ (Median):** $$\text{Datenpunkt bei}\frac{1}{2}(n+1) = \text{Datenpunkt bei}\frac{1}{2}(7+1) = \text{Datenpunkt bei}\frac{8}{2} = \text{Datenpunkt bei}4$$ Das Ergebnis ist ganzzahlig ($$4$$). Deshalb liegt $$Q_2$$ an Position $$4$$. - **Position von $$Q_3$$:** $$\text{Datenpunkt bei}\frac{3}{4}(n+1) = \text{Datenpunkt bei}\frac{3}{4}(7+1) = \text{Datenpunkt bei}\frac{24}{4} = \text{Datenpunkt bei}6$$ Das Ergebnis ist ganzzahlig ($$6$$). Deshalb liegt $$Q_3$$ an Position $$6$$. Visible text: - **Position von :** Das Ergebnis ist ganzzahlig (). Deshalb liegt an Position . - **Position von (Median):** Das Ergebnis ist ganzzahlig (). Deshalb liegt an Position . - **Position von :** Das Ergebnis ist ganzzahlig (). Deshalb liegt an Position . **Schritt** $$3$$: Lies die Quartilwerte ab. Visible text: **Schritt** : Lies die Quartilwerte ab. Der sortierte Datensatz lautet: $$5, 6, 7, 7, 8, 9, 10$$ Visible text: Der sortierte Datensatz lautet: - $$Q_1$$ liegt an Position $$2$$ und hat den Wert $$6$$. - $$Q_2$$ liegt an Position $$4$$ und hat den Wert $$7$$. - $$Q_3$$ liegt an Position $$6$$ und hat den Wert $$9$$. Visible text: - liegt an Position und hat den Wert . - liegt an Position und hat den Wert . - liegt an Position und hat den Wert . ## Das vierte Quartil Wenn es $$Q_1$$, $$Q_2$$ und $$Q_3$$ gibt, liegt die Frage nach $$Q_4$$ nahe. Visible text: Wenn es , und gibt, liegt die Frage nach nahe. Quartile teilen die Daten in vier Bereiche. $$Q_1$$ markiert die Grenze bei $$25\%$$, $$Q_2$$ als Median die Grenze bei $$50\%$$ und $$Q_3$$ die Grenze bei $$75\%$$. Die äußere Grenze bei $$100\%$$ entspricht dem **Maximum** des Datensatzes. Visible text: Quartile teilen die Daten in vier Bereiche. markiert die Grenze bei , als Median die Grenze bei und die Grenze bei . Die äußere Grenze bei entspricht dem **Maximum** des Datensatzes. Man könnte dieses Maximum als $$Q_4$$ bezeichnen, der Ausdruck $$Q_4$$ wird in der üblichen statistischen Darstellung jedoch kaum verwendet. Im Mittelpunkt stehen $$Q_1$$, $$Q_2$$ und $$Q_3$$, weil sie die innere Verteilung des Datensatzes beschreiben. Das Minimum wird gelegentlich $$Q_0$$ genannt. Wie $$Q_4$$ ist auch diese äußere Grenze deutlich seltener als $$Q_1$$, $$Q_2$$ und $$Q_3$$. Visible text: Man könnte dieses Maximum als bezeichnen, der Ausdruck wird in der üblichen statistischen Darstellung jedoch kaum verwendet. Im Mittelpunkt stehen , und , weil sie die innere Verteilung des Datensatzes beschreiben. Das Minimum wird gelegentlich genannt. Wie ist auch diese äußere Grenze deutlich seltener als , und .