# Quartile für gruppierte Daten > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/quartile-gruppierter-daten Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-foundations/quartile-data-group/de.mdx Bestimme Quartile gruppierter Daten mithilfe kumulierter Häufigkeiten, Klassengrenzen und linearer Interpolation. --- ## Quartile in gruppierten Daten bestimmen Bei ungruppierten Daten können wir jeden Wert sortieren und seine genaue Position ablesen. In einer Häufigkeitstabelle kennen wir dagegen nur Intervalle, zum Beispiel $$70\text{-}79$$ und $$80\text{-}89$$, sowie die Anzahl der Werte in jedem Intervall. Die einzelnen Messwerte sind nicht mehr sichtbar. Visible text: Bei ungruppierten Daten können wir jeden Wert sortieren und seine genaue Position ablesen. In einer Häufigkeitstabelle kennen wir dagegen nur Intervalle, zum Beispiel und , sowie die Anzahl der Werte in jedem Intervall. Die einzelnen Messwerte sind nicht mehr sichtbar. Wie beim [Median gruppierter Daten](/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/median-und-modalwert-gruppierter-daten) bestimmen wir $$Q_1$$, $$Q_2$$ und $$Q_3$$ deshalb durch **Interpolation**. Wir schätzen, an welcher Stelle innerhalb des betreffenden Klassenintervalls das Quartil liegt. Visible text: Wie beim [Median gruppierter Daten](/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/median-und-modalwert-gruppierter-daten) bestimmen wir , und deshalb durch **Interpolation**. Wir schätzen, an welcher Stelle innerhalb des betreffenden Klassenintervalls das Quartil liegt. Wir bestimmen die Position des Quartils mit dieser Formel: - $$Q_1$$ liegt an der Position $$\frac{1}{4}n$$. - $$Q_2$$ liegt an der Position $$\frac{2}{4}n$$, also $$\frac{1}{2}n$$. - $$Q_3$$ liegt an der Position $$\frac{3}{4}n$$. Visible text: - liegt an der Position . - liegt an der Position , also . - liegt an der Position . Dabei bezeichnet $$n$$ die Gesamtzahl aller Werte. Visible text: Dabei bezeichnet die Gesamtzahl aller Werte. ## Vorgehen bei gruppierten Daten Als Beispiel betrachten wir die nach Schuhgrößen gruppierten Verkaufszahlen eines Geschäfts. ### Kumulative Häufigkeitstabelle aufstellen Zuerst ergänzen wir die kumulierte Häufigkeit $$F_k$$. Sie addiert alle Häufigkeiten von der ersten Klasse bis einschließlich der betrachteten Klasse. Daran erkennen wir, in welchem Intervall eine gesuchte Position liegt. Visible text: Zuerst ergänzen wir die kumulierte Häufigkeit . Sie addiert alle Häufigkeiten von der ersten Klasse bis einschließlich der betrachteten Klasse. Daran erkennen wir, in welchem Intervall eine gesuchte Position liegt. Die vollständige Tabelle sieht so aus: | Schuhgröße | Häufigkeit ($$f$$) | Kumulierte Häufigkeit ($$F_k$$) | Untere Grenze ($$T_b$$) | Obergrenze ($$T_a$$) | Klassenbreite ($$p$$) | | :-------: | :------------------------------------------------: | :-------------------------------: | :-------------------------: | :-------------------------: | :----------------------------------: | | $$37\text{-}39$$ | $$2$$ | $$2$$ | $$36{,}5$$ | $$39{,}5$$ | $$3$$ | | $$40\text{-}42$$ | $$11$$ | $$13$$ | $$39{,}5$$ | $$42{,}5$$ | $$3$$ | | $$43\text{-}45$$ | $$10$$ | $$23$$ | $$42{,}5$$ | $$45{,}5$$ | $$3$$ | | $$46\text{-}48$$ | $$5$$ | $$28$$ | $$45{,}5$$ | $$48{,}5$$ | $$3$$ | | $$49\text{-}51$$ | $$2$$ | $$30$$ | $$48{,}5$$ | $$51{,}5$$ | $$3$$ | | **Gesamt** | $$30$$ | | | | | Visible text: | Schuhgröße | Häufigkeit () | Kumulierte Häufigkeit () | Untere Grenze () | Obergrenze () | Klassenbreite () | | :-------: | :------------------------------------------------: | :-------------------------------: | :-------------------------: | :-------------------------: | :----------------------------------: | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | **Gesamt** | | | | | | $$\text{Untere Klassengrenze} = \text{unterer Klassenwert} - 0{,}5$$ $$\text{Obere Klassengrenze} = \text{oberer Klassenwert} + 0{,}5$$ $$\text{Klassenbreite} = \text{obere Klassengrenze} - \text{untere Klassengrenze}$$ ### Quartilklasse bestimmen Nun bestimmen wir zunächst die Position jedes Quartils. Insgesamt liegen $$n$$ = $$30$$ Werte vor. Visible text: Insgesamt liegen = Werte vor. - **Position von $$Q_1$$:** $$\frac{1}{4} \times 30 = 7{,}5$$. In der Spalte $$F_k$$ endet die erste Klasse an Position $$2$$ und die zweite an Position $$13$$. Die Positionen $$3$$ bis $$13$$ gehören zur zweiten Klasse, sodass Position $$7{,}5$$ in der Klasse $$40\text{-}42$$ liegt. - **Position von $$Q_2$$ (Median):** $$\frac{1}{2} \times 30 = 15$$. In der Spalte $$F_k$$ liegt die Position $$15$$ in der Klasse $$43\text{-}45$$: Der vorherige Wert von $$F_k$$ ist $$13$$, der Wert von $$F_k$$ in dieser Klasse ist $$23$$. - **Position von $$Q_3$$:** $$\frac{3}{4} \times 30 = 22{,}5$$. In der Spalte $$F_k$$ liegt auch die Position $$22{,}5$$ in der Klasse $$43\text{-}45$$: Der vorherige Wert von $$F_k$$ ist $$13$$, der Wert von $$F_k$$ in dieser Klasse ist $$23$$. Visible text: - **Position von :** . In der Spalte endet die erste Klasse an Position und die zweite an Position . Die Positionen bis gehören zur zweiten Klasse, sodass Position in der Klasse liegt. - **Position von (Median):** . In der Spalte liegt die Position in der Klasse : Der vorherige Wert von ist , der Wert von in dieser Klasse ist . - **Position von :** . In der Spalte liegt auch die Position in der Klasse : Der vorherige Wert von ist , der Wert von in dieser Klasse ist . ### Quartilwert interpolieren Sobald die Quartilklasse feststeht, schätzen wir den Wert innerhalb des Intervalls mit folgender Formel: ```math Q_i = T_b + \left( \frac{\frac{i}{4}n - F_{\text{kum}}}{f_i} \right) p ``` dabei gilt: - $$Q_i$$ = Wert des gesuchten Quartils - $$T_b$$ = untere Grenze der Quartilklasse - $$n$$ = Gesamtzahl der Werte - $$F_{\text{kum}}$$ = kumulierte Häufigkeit **vor** der $$i$$-ten Quartilklasse - $$f_i$$ = Häufigkeit der Quartilklasse - $$p$$ = Klassenbreite Visible text: - = Wert des gesuchten Quartils - = untere Grenze der Quartilklasse - = Gesamtzahl der Werte - = kumulierte Häufigkeit **vor** der -ten Quartilklasse - = Häufigkeit der Quartilklasse - = Klassenbreite Diese Interpolation setzt voraus, dass die Beobachtungen innerhalb der gewählten Klasse gleichmäßig verteilt sind. Sie liefert eine modellbasierte Schätzung und kann die durch die Gruppierung verborgenen Einzelwerte nicht rekonstruieren. ## Unteres Quartil der Schuhverkäufe Berechnen wir $$Q_1$$ aus der obigen Tabelle. Visible text: Berechnen wir aus der obigen Tabelle. 1. **Position von $$Q_1$$:** $$7{,}5$$. 2. **Klasse von $$Q_1$$:** $$40\text{-}42$$. 3. **Benötigte Größen ablesen:** - Die untere Grenze der Klasse $$Q_1$$ ($$T_b$$) ist $$39{,}5$$ - Die Gesamtzahl der Werte ($$n$$) ist $$30$$ - Die kumulierte Häufigkeit vor der Klasse $$Q_1$$ ($$F_{\text{kum}}$$) beträgt $$2$$ (siehe $$F_k$$ für Klasse $$37\text{-}39$$) - Die Häufigkeit der Klasse $$Q_1$$ ($$f_1$$) beträgt $$11$$ - Die Klassenbreite ($$p$$) beträgt $$3$$ 4. **Werte einsetzen:** ```math Q_1 = T_b + \left( \frac{\frac{1}{4}n - F_{\text{kum}}}{f_1} \right) p ``` ```math Q_1 = 39{,}5 + \left( \frac{7{,}5 - 2}{11} \right) 3 ``` ```math Q_1 = 39{,}5 + \left( \frac{5{,}5}{11} \right) 3 ``` ```math Q_1 = 39{,}5 + (0{,}5) \times 3 ``` ```math Q_1 = 39{,}5 + 1{,}5 ``` ```math Q_1 = 41 ``` Visible text: 1. **Position von :** . 2. **Klasse von :** . 3. **Benötigte Größen ablesen:** - Die untere Grenze der Klasse () ist - Die Gesamtzahl der Werte () ist - Die kumulierte Häufigkeit vor der Klasse () beträgt (siehe für Klasse ) - Die Häufigkeit der Klasse () beträgt - Die Klassenbreite () beträgt 4. **Werte einsetzen:** Damit ergibt sich für $$Q_1$$ der Wert $$41$$. Nach dem gruppierten Modell entfallen also etwa $$25\%$$ der Verkäufe auf Schuhgröße $$41$$ oder kleiner. Visible text: Damit ergibt sich für der Wert . Nach dem gruppierten Modell entfallen also etwa der Verkäufe auf Schuhgröße oder kleiner. ## Übung Berechne $$Q_3$$ anhand der Schuhverkaufsdaten aus der Tabelle. Visible text: Berechne anhand der Schuhverkaufsdaten aus der Tabelle. Vergleiche anschließend das Vorgehen mit der Quartilbestimmung für ungruppierte Daten. Warum liefert die gruppierte Tabelle nur einen Schätzwert? ### Lösung 1. **Position von $$Q_3$$:** $$22{,}5$$. 2. **Klasse von $$Q_3$$:** $$43\text{-}45$$. 3. **Benötigte Größen ablesen:** - $$T_b = 42{,}5$$ (untere Grenze der Klasse $$Q_3$$) - $$n = 30$$ (Gesamtzahl der Werte) - $$F_{\text{kum}} = 13$$ (siehe $$F_k$$ für Klasse $$40\text{-}42$$) - $$f_3 = 10$$ (Häufigkeit der Klasse $$Q_3$$) - $$p = 3$$ (Klassenbreite) 4. **Werte einsetzen:** ```math Q_3 = T_b + \left( \frac{\frac{3}{4}n - F_{\text{kum}}}{f_3} \right) p ``` ```math Q_3 = 42{,}5 + \left( \frac{22{,}5 - 13}{10} \right) 3 ``` ```math Q_3 = 42{,}5 + \left( \frac{9{,}5}{10} \right) 3 ``` ```math Q_3 = 42{,}5 + (0{,}95) \times 3 ``` ```math Q_3 = 42{,}5 + 2{,}85 ``` ```math Q_3 = 45{,}35 ``` Visible text: 1. **Position von :** . 2. **Klasse von :** . 3. **Benötigte Größen ablesen:** - (untere Grenze der Klasse ) - (Gesamtzahl der Werte) - (siehe für Klasse ) - (Häufigkeit der Klasse ) - (Klassenbreite) 4. **Werte einsetzen:** Damit ergibt sich für $$Q_3$$ der Wert $$45{,}35$$. Im gruppierten Modell liegen etwa $$75\%$$ der Verkäufe bei Schuhgröße $$45{,}35$$ oder darunter. Die übrigen $$25\%$$ liegen über $$45{,}35$$. Visible text: Damit ergibt sich für der Wert . Im gruppierten Modell liegen etwa der Verkäufe bei Schuhgröße oder darunter. Die übrigen liegen über . **Vergleich mit Einzeldaten:** Bei gruppierten Daten kennen wir nur die Intervalle, nicht jeden einzelnen Wert. Deshalb liefert die **Interpolation** einen geschätzten Quartilwert. Bei ungruppierten Daten sind die sortierten Einzelwerte bekannt. Die gewählte Quartilkonvention kann deshalb einen Wert auswählen oder direkt zwischen zwei bekannten Werten interpolieren. Die Interpolation gruppierter Daten ist ungenauer, weil die Beobachtungen innerhalb jeder Klasse nicht mehr vorliegen.