# Varianz und Standardabweichung bei Einzeldaten
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/varianz-und-standardabweichung-einzelner-daten
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-foundations/variance-standard-deviation-data-single/de.mdx
Berechne und deute Varianz und Standardabweichung einer Grundgesamtheit aus Einzeldaten.
---
## Streuung mit Varianz und Standardabweichung messen
Zwei gängige Streuungsmaße sind **Varianz** und **Standardabweichung**.
Die Varianz mittelt die **quadrierten** Abstände vom Mittelwert. Die Standardabweichung zieht daraus die Quadratwurzel und hat dadurch wieder dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten.
- Eine **kleine** Varianz oder Standardabweichung bedeutet, dass die Beobachtungen **nah** am Mittelwert liegen.
- Ein **großer** Wert bedeutet, dass die Beobachtungen **weiter** vom Mittelwert abweichen.
## Formeln für Varianz und Standardabweichung
1. **Varianz ($$\sigma^2$$)**
Ziehe von jedem Beobachtungswert den Mittelwert ab, quadriere jede Differenz und bilde anschließend den Mittelwert dieser Quadrate.
Die Formel lautet:
```math
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}
```
Dabei gilt:
- $$\sigma^2$$ = Populationsvarianz
- $$x_i$$ = beobachteter Wert
- $$\bar{x}$$ = arithmetisches Mittel
- $$n$$ = Anzahl der Beobachtungen
- $$\sum$$ = Summe aller angegebenen Terme
2. **Standardabweichung ($$\sigma$$)**
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Im Gegensatz zur Varianz hat sie dieselbe Einheit wie die Originaldaten.
Die Formel lautet:
```math
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}
```
Visible text: 1. **Varianz ()**
Ziehe von jedem Beobachtungswert den Mittelwert ab, quadriere jede Differenz und bilde anschließend den Mittelwert dieser Quadrate.
Die Formel lautet:
Dabei gilt:
- = Populationsvarianz
- = beobachteter Wert
- = arithmetisches Mittel
- = Anzahl der Beobachtungen
- = Summe aller angegebenen Terme
2. **Standardabweichung ()**
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Im Gegensatz zur Varianz hat sie dieselbe Einheit wie die Originaldaten.
Die Formel lautet:
Diese Formeln verwenden die Symbole der Grundgesamtheit und teilen durch die vollständige Anzahl der Beobachtungen. Für eine Stichprobe ist die entsprechende Stichprobenvarianz zu verwenden.
## Vergleich der Varianz in zwei Altersgruppen
Betrachte zwei Gruppen von Alterswerten. Beide haben den **gleichen Mittelwert ($$\bar{x}$$), nämlich $$16$$**, unterscheiden sich aber deutlich in ihrer Streuung.
Visible text: Betrachte zwei Gruppen von Alterswerten. Beide haben den **gleichen Mittelwert (), nämlich **, unterscheiden sich aber deutlich in ihrer Streuung.
- **Gruppe Eins ($$n=12$$):** $$13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18$$
- **Gruppe Zwei ($$n=12$$):** $$1, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 27, 28, 29, 32, 36$$
Visible text: - **Gruppe Eins ():**
- **Gruppe Zwei ():**
Wir berechnen die Populationsvarianz und Standardabweichung jeder Gruppe.
### Berechnung für Gruppe Eins
Berechne $$(x_i - \bar{x})^2$$ für jeden Wert in Gruppe $$1$$, wobei $$\bar{x}=16$$ gilt:
Visible text: Berechne für jeden Wert in Gruppe , wobei gilt:
- $$(13-16)^2 = (-3)^2 = 9$$
- $$(14-16)^2 = (-2)^2 = 4$$
- $$(15-16)^2 = (-1)^2 = 1$$ ($$2 \text{ Werte}$$)
- $$(16-16)^2 = (0)^2 = 0$$ ($$2 \text{ Werte}$$)
- $$(17-16)^2 = (1)^2 = 1$$ ($$5 \text{ Werte}$$)
- $$(18-16)^2 = (2)^2 = 4$$
Visible text: -
-
- ()
- ()
- ()
-
Addiere die quadrierten Differenzen $$\sum(x_i - \bar{x})^2$$:
Visible text: Addiere die quadrierten Differenzen :
```math
9 + 4 + (1 \times 2) + (0 \times 2) + (1 \times 5) + 4 = 9 + 4 + 2 + 0 + 5 + 4 = 24
```
Berechne die Varianz:
```math
\sigma^2_{\text{Gruppe 1}} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{24}{12} = 2
```
Berechne die Standardabweichung:
```math
\sigma_{\text{Gruppe 1}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41
```
### Berechnung für Gruppe Zwei
Wiederhole die Berechnung von $$(x_i - \bar{x})^2$$ für Gruppe $$2$$, wieder mit $$\bar{x}=16$$:
Visible text: Wiederhole die Berechnung von für Gruppe , wieder mit :
- $$(1-16)^2 = (-15)^2 = 225$$
- $$(3-16)^2 = (-13)^2 = 169$$
- $$(4-16)^2 = (-12)^2 = 144$$
- $$(5-16)^2 = (-11)^2 = 121$$
- $$(7-16)^2 = (-9)^2 = 81$$
- $$(8-16)^2 = (-8)^2 = 64$$
- $$(12-16)^2 = (-4)^2 = 16$$
- $$(27-16)^2 = (11)^2 = 121$$
- $$(28-16)^2 = (12)^2 = 144$$
- $$(29-16)^2 = (13)^2 = 169$$
- $$(32-16)^2 = (16)^2 = 256$$
- $$(36-16)^2 = (20)^2 = 400$$
Visible text: -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Addiere die quadrierten Differenzen $$\sum(x_i - \bar{x})^2$$:
Visible text: Addiere die quadrierten Differenzen :
```math
225 + 169 + 144 + 121 + 81 + 64 + 16 + 121 + 144 + 169 + 256 + 400 = 1910
```
Berechne die Varianz:
```math
\sigma^2_{\text{Gruppe 2}} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{1910}{12} \approx 159{,}17
```
Berechne die Standardabweichung:
```math
\sigma_{\text{Gruppe 2}} = \sqrt{159{,}17} \approx 12{,}62
```
### Interpretation der Ergebnisse
- Die Varianz von Gruppe $$1$$ ($$\sigma^2 = 2$$) ist **viel kleiner** als die von Gruppe $$2$$ ($$\sigma^2 \approx 159{,}17$$).
- Die Standardabweichung von Gruppe $$1$$ ($$\sigma \approx 1{,}41$$) ist ebenfalls **viel kleiner** als die von Gruppe $$2$$ ($$\sigma \approx 12{,}62$$).
Visible text: - Die Varianz von Gruppe () ist **viel kleiner** als die von Gruppe ().
- Die Standardabweichung von Gruppe () ist ebenfalls **viel kleiner** als die von Gruppe ().
Die Werte in **Gruppe $$1$$ liegen dicht** um den Mittelwert $$16$$. Die Werte in **Gruppe $$2$$ streuen deutlich weiter** um denselben Mittelwert $$16$$.
Visible text: Die Werte in **Gruppe liegen dicht** um den Mittelwert . Die Werte in **Gruppe streuen deutlich weiter** um denselben Mittelwert .
## Alternative Formel für Varianz
Eine äquivalente Rechenformel kann für einen Taschenrechner oder Computer praktisch sein:
```math
\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left( \frac{\sum x_i}{n} \right)^2
```
Teile zuerst die Summe der quadrierten Werte $$\sum x_i^2$$ durch $$n$$. Ziehe anschließend das Quadrat des Mittelwerts $$(\bar{x})^2 = (\frac{\sum x_i}{n})^2$$ ab.
Visible text: Teile zuerst die Summe der quadrierten Werte durch . Ziehe anschließend das Quadrat des Mittelwerts ab.
Berechne mit dieser Formel die Varianz von Gruppe $$1$$ noch einmal:
Visible text: Berechne mit dieser Formel die Varianz von Gruppe noch einmal:
1. Berechne $$\sum x_i^2$$ für Gruppe $$1$$:
```math
13^2 + 14^2 + 15^2 + 15^2 + 16^2 + 16^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 18^2
```
```math
= 169 + 196 + 225 + 225 + 256 + 256 + 289 + 289 + 289 + 289 + 289 + 324 = 3096
```
2. Berechne $$\sum x_i$$ für Gruppe $$1$$:
```math
13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 18
```
```math
= 192
```
Wir kennen auch $$n=12$$.
3. Setze die Werte in die alternative Formel ein:
```math
\sigma^2 = \frac{3096}{12} - \left( \frac{192}{12} \right)^2
```
```math
\sigma^2 = 258 - (16)^2
```
```math
\sigma^2 = 258 - 256 = 2
```
Visible text: 1. Berechne für Gruppe :
2. Berechne für Gruppe :
Wir kennen auch .
3. Setze die Werte in die alternative Formel ein:
Das Ergebnis stimmt genau mit der ersten Methode überein: $$\sigma^2 = 2$$.
Visible text: Das Ergebnis stimmt genau mit der ersten Methode überein: .