# Varianz und Standardabweichung bei gruppierten Daten > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/grundlagen-der-statistik/varianz-und-standardabweichung-gruppierter-daten Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/statistics-foundations/variance-standard-deviation-data-group/de.mdx Schätze Varianz und Standardabweichung einer Grundgesamtheit aus Klassenhäufigkeiten und Klassenmitten. --- ## Streuung gruppierter Daten beschreiben Eine gruppierte Häufigkeitstabelle kann zeigen, wie viele Akkulaufzeiten in Intervalle wie $$6\text{-}10 \text{ Stunden}$$ und $$11\text{-}15 \text{ Stunden}$$ fallen. Trotzdem möchten wir beschreiben, wie stark die Laufzeiten streuen. Visible text: Eine gruppierte Häufigkeitstabelle kann zeigen, wie viele Akkulaufzeiten in Intervalle wie und fallen. Trotzdem möchten wir beschreiben, wie stark die Laufzeiten streuen. Die Tabelle enthält nicht mehr jeden genauen Beobachtungswert. Im Intervall $$11\text{-}15 \text{ Stunden}$$ wissen wir zum Beispiel nicht, ob ein Akku $$11 \text{ Stunden}$$, $$12 \text{ Stunden}$$ oder eine andere Zeit durchgehalten hat. Visible text: Die Tabelle enthält nicht mehr jeden genauen Beobachtungswert. Im Intervall wissen wir zum Beispiel nicht, ob ein Akku , oder eine andere Zeit durchgehalten hat. Für eine Näherung **ersetzen** wir jeden Wert einer Klasse durch die **Klassenmitte** $$x_i$$. Die so berechnete Varianz und Standardabweichung sind deshalb Schätzwerte für die ursprünglichen, nicht gruppierten Daten. Visible text: Für eine Näherung **ersetzen** wir jeden Wert einer Klasse durch die **Klassenmitte** . Die so berechnete Varianz und Standardabweichung sind deshalb Schätzwerte für die ursprünglichen, nicht gruppierten Daten. ## Formeln für Varianz und Standardabweichung gruppierter Daten Jede Klassenmitte $$x_i$$ wird mit ihrer Klassenhäufigkeit $$f$$ gewichtet. Die folgenden Formeln behandeln die Tabelle als vollständige Grundgesamtheit. Für eine Stichprobe ist stattdessen die passende Stichprobenvarianz zu verwenden. Visible text: Jede Klassenmitte wird mit ihrer Klassenhäufigkeit gewichtet. Die folgenden Formeln behandeln die Tabelle als vollständige Grundgesamtheit. Für eine Stichprobe ist stattdessen die passende Stichprobenvarianz zu verwenden. 1. **Varianz ($$\sigma^2$$)** Für gruppierte Daten eignet sich folgende Rechenformel: ```math \sigma^2 = \frac{\sum (f \cdot x_i^2)}{\sum f} - \left( \frac{\sum (f \cdot x_i)}{\sum f} \right)^2 ``` Der erste Term ist der nach Häufigkeiten gewichtete Mittelwert der quadrierten Klassenmitten. Der zweite Term ist das Quadrat des gewichteten Mittelwerts. Die Differenz ergibt die geschätzte Varianz der Grundgesamtheit. 2. **Standardabweichung ($$\sigma$$)** Wie bei nicht gruppierten Daten ist die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz: ```math \sigma = \sqrt{\sigma^2} ``` Visible text: 1. **Varianz ()** Für gruppierte Daten eignet sich folgende Rechenformel: Der erste Term ist der nach Häufigkeiten gewichtete Mittelwert der quadrierten Klassenmitten. Der zweite Term ist das Quadrat des gewichteten Mittelwerts. Die Differenz ergibt die geschätzte Varianz der Grundgesamtheit. 2. **Standardabweichung ()** Wie bei nicht gruppierten Daten ist die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz: ## Durchgerechnetes Beispiel: Akkulaufzeiten Eine Studie fasst die gemessenen Akkulaufzeiten in folgenden Intervallen zusammen: | Akkulaufzeit (Stunden) | Häufigkeit ($$f$$) | | :----------------------: | :------------------------------------------------: | | $$6\text{-}10$$ | $$2$$ | | $$11\text{-}15$$ | $$10$$ | | $$16\text{-}20$$ | $$18$$ | | $$21\text{-}25$$ | $$45$$ | | $$26\text{-}30$$ | $$5$$ | Visible text: | Akkulaufzeit (Stunden) | Häufigkeit () | | :----------------------: | :------------------------------------------------: | | | | | | | | | | | | | | | | Gesucht sind die geschätzte Varianz und Standardabweichung dieser Grundgesamtheit. ### Hilfstabelle erstellen Berechne für jede Klasse zuerst die Klassenmitte $$x_i$$ und anschließend $$f \cdot x_i$$ sowie $$f \cdot x_i^2$$. Visible text: Berechne für jede Klasse zuerst die Klassenmitte und anschließend sowie . | Akkulaufzeit (Stunden) | Klassenmitte, $$x_i$$ | Häufigkeit, $$f$$ | $$f \cdot x_i$$ | $$f \cdot x_i^2$$ | | :----------------------: | :------------------------: | :----------------------------------: | :-------------------------: | :----------------------------: | | $$6\text{-}10$$ | $$\frac{6+10}{2}=8$$ | $$2$$ | $$2 \times 8 = 16$$ | $$2 \times 8^2 = 128$$ | | $$11\text{-}15$$ | $$\frac{11+15}{2}=13$$ | $$10$$ | $$10 \times 13 = 130$$ | $$10 \times 13^2 = 1690$$ | | $$16\text{-}20$$ | $$\frac{16+20}{2}=18$$ | $$18$$ | $$18 \times 18 = 324$$ | $$18 \times 18^2 = 5832$$ | | $$21\text{-}25$$ | $$\frac{21+25}{2}=23$$ | $$45$$ | $$45 \times 23 = 1035$$ | $$45 \times 23^2 = 23805$$ | | $$26\text{-}30$$ | $$\frac{26+30}{2}=28$$ | $$5$$ | $$5 \times 28 = 140$$ | $$5 \times 28^2 = 3920$$ | | **Gesamt** | | **$$\sum f = 80$$** | **$$\sum fx_i = 1645$$** | **$$\sum fx_i^2 = 35375$$** | Visible text: | Akkulaufzeit (Stunden) | Klassenmitte, | Häufigkeit, | | | | :----------------------: | :------------------------: | :----------------------------------: | :-------------------------: | :----------------------------: | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | **Gesamt** | | **** | **** | **** | ### Varianz berechnen Setze die Summen aus der Tabelle in die Varianzformel ein: Component: MathContainer Children: ```math \sigma^2 = \frac{\sum (f \cdot x_i^2)}{\sum f} - \left( \frac{\sum (f \cdot x_i)}{\sum f} \right)^2 ``` ```math \sigma^2 = \frac{35375}{80} - \left( \frac{1645}{80} \right)^2 ``` ```math \sigma^2 = 442{,}1875 - (20{,}5625)^2 ``` ```math \sigma^2 = 442{,}1875 - 422{,}81640625 ``` ```math \sigma^2 \approx 19{,}37 ``` Die geschätzte Varianz beträgt $$19{,}37$$ Quadratstunden. Die Einheit wird quadriert, weil jeder Abstand vom Mittelwert vor dem Mitteln quadriert wird. Visible text: Die geschätzte Varianz beträgt Quadratstunden. Die Einheit wird quadriert, weil jeder Abstand vom Mittelwert vor dem Mitteln quadriert wird. ### Standardabweichung berechnen Ziehe die Quadratwurzel der Varianz: ```math \sigma = \sqrt{19{,}37} \approx 4{,}4 ``` Die geschätzte Standardabweichung beträgt $$4{,}4 \text{ Stunden}$$. Vom geschätzten Mittelwert $$\frac{1645}{80} \approx 20{,}56 \text{ Stunden}$$ weichen die Laufzeiten im quadratischen Mittel etwa $$4{,}4 \text{ Stunden}$$ ab. Visible text: Die geschätzte Standardabweichung beträgt . Vom geschätzten Mittelwert weichen die Laufzeiten im quadratischen Mittel etwa ab. Bei gleicher Einheit und vergleichbarer Skala bedeutet eine kleinere Standardabweichung, dass die Werte enger um ihren Mittelwert liegen.