# Bestimmtes Integral > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/integralrechnung/bestimmtes-integral Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/integral/definite-integral/de.mdx Definiere das bestimmte Integral als Grenzwert von Riemann-Summen und werte ein Beispiel direkt über diesen Grenzwert aus. --- ## Von der Näherung zur exakten Fläche Im Material [Riemann-Summen](/de/faecher/mathematik/integralrechnung/riemann-summen) haben wir die Fläche unter einer nichtnegativen Kurve durch Rechtecke angenähert. Wird die Zerlegung immer feiner, nähern sich die Riemann-Summen bei einer integrierbaren Funktion demselben Wert. Nun lassen wir die Rechteckbreite $$\Delta x$$ gegen null gehen, während die Anzahl $$n$$ der Rechtecke unbegrenzt wächst. Entscheidend ist, dass die **Maschenweite gegen null geht**. Der Grenzwert der Riemann-Summen ersetzt die Näherung durch einen exakten Wert. Genau daraus entsteht das **bestimmte Integral**. Visible text: Nun lassen wir die Rechteckbreite gegen null gehen, während die Anzahl der Rechtecke unbegrenzt wächst. Entscheidend ist, dass die **Maschenweite gegen null geht**. Der Grenzwert der Riemann-Summen ersetzt die Näherung durch einen exakten Wert. Genau daraus entsteht das **bestimmte Integral**. ## Notation und Bedeutung des bestimmten Integrals Das bestimmte Integral beschreibt diese Akkumulation im Grenzwert. Es ist als Grenzwert von Riemann-Summen definiert, sofern dieser Grenzwert existiert. ```math \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x ``` Jeder Teil der Notation hat eine klare Bedeutung: - **$$\int_{a}^{b}$$**: Das Integralsymbol trägt die **untere Grenze** $$a$$ und die **obere Grenze** $$b$$. Beide Werte legen das betrachtete Intervall fest. - **$$f(x)$$**: Der **Integrand** liefert die Funktionswerte für die vorzeichenbehaftete Akkumulation. - **$$dx$$**: Wie beim unbestimmten Integral zeigt diese Schreibweise an, dass bezüglich der Variablen $$x$$ integriert wird. Visible text: - ****: Das Integralsymbol trägt die **untere Grenze** und die **obere Grenze** . Beide Werte legen das betrachtete Intervall fest. - ****: Der **Integrand** liefert die Funktionswerte für die vorzeichenbehaftete Akkumulation. - ****: Wie beim unbestimmten Integral zeigt diese Schreibweise an, dass bezüglich der Variablen integriert wird. Im Gegensatz zum unbestimmten Integral, das eine Funktionenfamilie ($$F(x) + C$$) beschreibt, ist ein bestimmtes Integral eine **einzelne Zahl**. Es misst die vorzeichenbehaftete Akkumulation von $$x=a$$ bis $$x=b$$ und entspricht nur bei einem nichtnegativen Integranden dem geometrischen Flächeninhalt. Visible text: Im Gegensatz zum unbestimmten Integral, das eine Funktionenfamilie () beschreibt, ist ein bestimmtes Integral eine **einzelne Zahl**. Es misst die vorzeichenbehaftete Akkumulation von bis und entspricht nur bei einem nichtnegativen Integranden dem geometrischen Flächeninhalt. ## Berechnung des bestimmten Integrals mit Grenzwerten Wir berechnen nun ein bestimmtes Integral direkt aus seiner Grenzwertdefinition. **Aufgabe:** Berechne den Wert von $$\int_{0}^{7} x \, dx$$. Visible text: **Aufgabe:** Berechne den Wert von . **Lösung:** Dazu schreiben wir das Integral wieder als Grenzwert einer Riemann-Summe. **Schritt** $$1$$: Bestandteile der Riemann-Summe bestimmen Visible text: **Schritt** : Bestandteile der Riemann-Summe bestimmen Aus dem Problem $$\int_{0}^{7} x \, dx$$ wissen wir: Visible text: Aus dem Problem wissen wir: - Funktion: $$f(x) = x$$ - Intervall: $$[a, b] = [0, 7]$$ Visible text: - Funktion: - Intervall: Somit beträgt die Breite jedes Teilintervalls: ```math \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{7-0}{n} = \frac{7}{n} ``` Als Stützstelle jedes Teilintervalls verwenden wir den rechten Endpunkt $$x_i$$: Visible text: Als Stützstelle jedes Teilintervalls verwenden wir den rechten Endpunkt : ```math x_i = a + i \Delta x = 0 + i \left(\frac{7}{n}\right) = \frac{7i}{n} ``` **Schritt** $$2$$: Riemann-Summe aufstellen Visible text: **Schritt** : Riemann-Summe aufstellen Die Höhe jedes Rechtecks beträgt $$f(x_i)$$, also: Visible text: Die Höhe jedes Rechtecks beträgt , also: ```math f(x_i) = x_i = \frac{7i}{n} ``` Nun setzen wir diesen Ausdruck in die Riemann-Summe ein: ```math \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{7i}{n}\right) \left(\frac{7}{n}\right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{49i}{n^2} ``` **Schritt** $$3$$: Vereinfachen und die Summenformel anwenden Visible text: **Schritt** : Vereinfachen und die Summenformel anwenden $$n$$ ist für die Summe von $$i=1$$ bis $$n$$ konstant. Deshalb kann der Faktor vor das Summenzeichen gezogen werden. Visible text: ist für die Summe von bis konstant. Deshalb kann der Faktor vor das Summenzeichen gezogen werden. ```math \frac{49}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i ``` Als Nächstes ersetzen wir $$\sum_{i=1}^{n} i$$ durch die Summenformel $$\frac{n(n+1)}{2}$$ und vereinfachen den Ausdruck, bevor wir den Grenzwert bilden. Visible text: Als Nächstes ersetzen wir durch die Summenformel und vereinfachen den Ausdruck, bevor wir den Grenzwert bilden. Component: MathContainer Children: ```math \frac{49}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} ``` ```math = \frac{49n(n+1)}{2n^2} ``` ```math = \frac{49(n+1)}{2n} ``` ```math = \frac{49}{2} \left( \frac{n+1}{n} \right) = \frac{49}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ``` Zuerst kürzen wir $$n$$ in Zähler und Nenner. Anschließend zerlegen wir den verbleibenden Bruch so, dass der Grenzwert direkt ablesbar wird. Visible text: Zuerst kürzen wir in Zähler und Nenner. Anschließend zerlegen wir den verbleibenden Bruch so, dass der Grenzwert direkt ablesbar wird. > Für Grenzwerte von Riemann-Summen sind diese Summenformeln besonders nützlich: > - $$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$ > - $$\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ > - $$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$$ Visible text: > Für Grenzwerte von Riemann-Summen sind diese Summenformeln besonders nützlich: > - > - > - **Schritt** $$4$$: Grenzwert bilden Visible text: **Schritt** : Grenzwert bilden Nun lassen wir $$n \to \infty$$ gehen. Dabei nähert sich $$\frac{1}{n}$$ dem Wert null. Visible text: Nun lassen wir gehen. Dabei nähert sich dem Wert null. Component: MathContainer Children: ```math \int_{0}^{7} x \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{49}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ``` ```math = \frac{49}{2} \left( 1 + 0 \right) ``` ```math = \frac{49}{2} ``` Da $$f(x) = x$$ zwischen $$x=0$$ und $$x=7$$ nichtnegativ ist, entspricht das Integral zugleich dem geometrischen Flächeninhalt: $$\frac{49}{2}$$ beziehungsweise $$24{,}5$$ Quadrateinheiten. Der Grenzwert hat die Rechtecknäherungen in einen exakten Wert überführt. Visible text: Da zwischen und nichtnegativ ist, entspricht das Integral zugleich dem geometrischen Flächeninhalt: beziehungsweise Quadrateinheiten. Der Grenzwert hat die Rechtecknäherungen in einen exakten Wert überführt.