# Definition des unbestimmten Integrals

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/integralrechnung/definition-des-unbestimmten-integrals
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/integral/definition-of-indefinite-integral/de.mdx

Verstehe unbestimmte Integrale als Familien von Stammfunktionen und weshalb jedes Ergebnis eine Integrationskonstante benötigt.

---

## Das Konzept der Integrale verstehen

Durch Differenzieren wird aus einer Ortsfunktion $$s(t)$$ ihre Geschwindigkeit <InlineMath math="v(t)=s'(t)" />. Das unbestimmte Integral kehrt diesen Schritt um: Aus $$v(t)$$ entsteht eine Familie möglicher Ortsfunktionen. Dieser Umkehrprozess heißt **unbestimmte Integration**, und die entstehende Funktionsfamilie ist das **unbestimmte Integral**. Erst eine Anfangsposition legt fest, welche Funktion aus dieser Familie gemeint ist.

Visible text: Durch Differenzieren wird aus einer Ortsfunktion ihre Geschwindigkeit . Das unbestimmte Integral kehrt diesen Schritt um: Aus entsteht eine Familie möglicher Ortsfunktionen. Dieser Umkehrprozess heißt **unbestimmte Integration**, und die entstehende Funktionsfamilie ist das **unbestimmte Integral**. Erst eine Anfangsposition legt fest, welche Funktion aus dieser Familie gemeint ist.

## Weshalb die Konstante nötig ist

Vergleiche die folgenden Funktionen mit ihren Ableitungen.

| Funktion $$F(x)$$ | Ableitung <InlineMath math="f(x) = F'(x)" /> |
| :--- | :--- |
| $$F(x) = 2x^2 + 1$$ | $$f(x) = 4x$$ |
| $$F(x) = 2x^2 + 5$$ | $$f(x) = 4x$$ |
| $$F(x) = 2x^2 - 10$$ | $$f(x) = 4x$$ |
| $$F(x) = 2x^2$$ | $$f(x) = 4x$$ |

Visible text: | Funktion | Ableitung |
| :--- | :--- |
| | |
| | |
| | |
| | |

Alle vier Funktionen $$F(x)$$ haben dieselbe Ableitung $$f(x) = 4x$$. Der Grund: Die Ableitung einer Konstanten wie $$1$$, $$5$$ oder $$-10$$ ist null.

Visible text: Alle vier Funktionen haben dieselbe Ableitung . Der Grund: Die Ableitung einer Konstanten wie , oder ist null.

Beim Differenzieren geht die ursprüngliche Konstante verloren. Aus der Ableitung allein lässt sich nicht mehr erkennen, ob sie $$1$$, $$5$$, $$-1000$$ oder einen anderen Wert hatte. Das Symbol $$C$$ steht für alle Möglichkeiten. Deshalb ist das unbestimmte Integral eine Familie von Stammfunktionen und nicht nur eine einzelne Funktion.

Visible text: Beim Differenzieren geht die ursprüngliche Konstante verloren. Aus der Ableitung allein lässt sich nicht mehr erkennen, ob sie , , oder einen anderen Wert hatte. Das Symbol steht für alle Möglichkeiten. Deshalb ist das unbestimmte Integral eine Familie von Stammfunktionen und nicht nur eine einzelne Funktion.

## Formale Notation von Integralen

Die formale Schreibweise hält Integrand, Integrationsvariable und die gesamte Familie der Stammfunktionen fest:

```math
\int f(x) \, dx = F(x) + C
```

Jeder Teil hat eine bestimmte Aufgabe:

- **$$\int$$** ist das **Integralsymbol**; es sieht aus wie ein verlängertes „S“, das „Summation“ oder „Akkumulation“ symbolisiert.
- **$$f(x)$$** ist die Funktion, die wir integrieren werden, genannt **Integrand**.
- **$$dx$$** heißt **Differential** von $$x$$. Dies ist ein entscheidender Teil, der anzeigt, dass wir in Bezug auf die Variable $$x$$ integrieren. Ohne sie ist der Integralausdruck unvollständig.
- **$$F(x) + C$$** ist das **unbestimmte Integral** von $$f(x)$$. Dies ist unsere Antwort, wobei $$F(x)$$ die Stammfunktion und $$C$$ die **Integrationskonstante** ist.

Visible text: - **** ist das **Integralsymbol**; es sieht aus wie ein verlängertes „S“, das „Summation“ oder „Akkumulation“ symbolisiert.
- **** ist die Funktion, die wir integrieren werden, genannt **Integrand**.
- **** heißt **Differential** von . Dies ist ein entscheidender Teil, der anzeigt, dass wir in Bezug auf die Variable integrieren. Ohne sie ist der Integralausdruck unvollständig.
- **** ist das **unbestimmte Integral** von . Dies ist unsere Antwort, wobei die Stammfunktion und die **Integrationskonstante** ist.

Die grundlegende Beziehung lautet:

```math
\frac{d}{dx} [F(x)] = f(x) \quad \iff \quad \int f(x) \, dx = F(x) + C
```

> Wenn eine Funktion $$F(x)$$ die Ableitung $$f(x)$$ hat, dann ist das unbestimmte Integral von $$f(x)$$ die Familie aller möglichen $$F(x)$$-Funktionen, die wir als $$F(x) + C$$ schreiben.

Visible text: > Wenn eine Funktion die Ableitung hat, dann ist das unbestimmte Integral von die Familie aller möglichen -Funktionen, die wir als schreiben.