# Eigenschaften des bestimmten Integrals

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Nutze die Regeln für Nullintervalle, vertauschte Grenzen, Linearität und Intervalladdition bei bestimmten Integralen.

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## Identische Integrationsgrenzen

Wenn die Ober- und Untergrenze eines bestimmten Integrals gleich sind, ist das Ergebnis Null.

```math
\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0
```

Ein bestimmtes Integral akkumuliert eine Größe über ein orientiertes Intervall. Von $$a$$ zurück zum selben Punkt $$a$$ hat das Intervall keine Breite. Deshalb ist die Akkumulation unabhängig vom Integranden null.

Visible text: Ein bestimmtes Integral akkumuliert eine Größe über ein orientiertes Intervall. Von zurück zum selben Punkt hat das Intervall keine Breite. Deshalb ist die Akkumulation unabhängig vom Integranden null.

## Umkehren der Integrationsgrenzen

Wenn wir die untere und obere Grenze eines Integrals vertauschen, ist das Ergebnis das Negative des ursprünglichen Integralwerts.

```math
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx
```

Die Grenzen geben dem Intervall eine Orientierung. Wird ein Weg von Punkt $$A$$ zu Punkt $$B$$ umgekehrt, ändert die **Verschiebung** ihr Vorzeichen. Auf dem Rückweg von $$B$$ nach $$A$$ wechselt deshalb auch die Akkumulation ihr Vorzeichen. Der gewöhnliche Abstand wäre dagegen immer nichtnegativ.

Visible text: Die Grenzen geben dem Intervall eine Orientierung. Wird ein Weg von Punkt zu Punkt umgekehrt, ändert die **Verschiebung** ihr Vorzeichen. Auf dem Rückweg von nach wechselt deshalb auch die Akkumulation ihr Vorzeichen. Der gewöhnliche Abstand wäre dagegen immer nichtnegativ.

## Regel für konstante Vielfache

Genau wie bei unbestimmten Integralen kann eine Konstante aus dem Integral herausgerechnet werden, um die Berechnung zu vereinfachen.

```math
\int_{a}^{b} kf(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx
```

Werden alle Funktionswerte mit einer Konstanten $$k$$ multipliziert, wird auch das Integral mit diesem Faktor multipliziert. Deshalb können wir zuerst $$\int f(x)dx$$ bestimmen und das Ergebnis anschließend mit $$k$$ multiplizieren.

Visible text: Werden alle Funktionswerte mit einer Konstanten multipliziert, wird auch das Integral mit diesem Faktor multipliziert. Deshalb können wir zuerst bestimmen und das Ergebnis anschließend mit multiplizieren.

## Summen- und Differenzenregel

Das Integral einer Summe oder Differenz zweier Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer einzelnen Integrale.

Component: MathContainer
Children:

```math
\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx
```

```math
\int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx
```

Mit dieser Linearität lässt sich ein komplizierter Integrand in einfachere Teile zerlegen. Wir integrieren $$f(x)$$ und $$g(x)$$ getrennt und verbinden die vorzeichenbehafteten Akkumulationen mit derselben Rechenoperation.

Visible text: Mit dieser Linearität lässt sich ein komplizierter Integrand in einfachere Teile zerlegen. Wir integrieren und getrennt und verbinden die vorzeichenbehafteten Akkumulationen mit derselben Rechenoperation.

## Intervalladditionseigenschaft

Ein Integrationsintervall kann an einem Zwischenpunkt geteilt werden. Die vorzeichenbehaftete Akkumulation über das gesamte Intervall ist die Summe der beiden Teilintegrale.

```math
\int_{a}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx
```

Die Identität gilt für jede Reihenfolge von $$a$$, $$b$$ und $$c$$, sofern die Funktion auf dem benötigten Intervall integrierbar ist. In Worten: Die Akkumulation von $$a$$ bis $$c$$ ist gleich der Akkumulation von $$a$$ bis $$b$$ plus der Akkumulation von $$b$$ bis $$c$$. Bei abschnittsweise definierten Funktionen kann dadurch jede Formel genau dort integriert werden, wo sie gilt.

Visible text: Die Identität gilt für jede Reihenfolge von , und , sofern die Funktion auf dem benötigten Intervall integrierbar ist. In Worten: Die Akkumulation von bis ist gleich der Akkumulation von bis plus der Akkumulation von bis . Bei abschnittsweise definierten Funktionen kann dadurch jede Formel genau dort integriert werden, wo sie gilt.