# Eigenschaften des unbestimmten Integrals > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/integralrechnung/eigenschaften-unbestimmter-integrale Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/integral/properties-of-indefinite-integral/de.mdx Wende Potenz-, Faktor-, Summen-, Differenz- und Substitutionsregel auf unbestimmte Integrale mit vollständigen Lösungen an. --- ## Potenzregel Für eine Potenz der Integrationsvariablen gilt: ```math \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C, \quad \text{für } n \neq -1 ``` Erhöhe den Exponenten um eins und dividiere anschließend durch diesen neuen Exponenten. Der Wert $$n=-1$$ ist ausgeschlossen, weil der Nenner sonst null wäre. Für diesen Fall gilt die logarithmische Regel $$\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$$. Visible text: Der Wert ist ausgeschlossen, weil der Nenner sonst null wäre. Für diesen Fall gilt die logarithmische Regel . Berechnen wir als Beispiel $$\int x^5 \, dx$$. Visible text: Berechnen wir als Beispiel . Hier ist $$n=5$$, also: Visible text: Hier ist , also: Component: MathContainer Children: ```math \int x^5 \, dx = \frac{1}{5+1}x^{5+1} + C ``` ```math = \frac{1}{6}x^6 + C ``` ## Regel für konstante Vielfache Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden: ```math \int a \cdot f(x) \, dx = a \int f(x) \, dx ``` > Dabei muss $$a$$ bezüglich der Integrationsvariablen konstant sein. Visible text: > Dabei muss bezüglich der Integrationsvariablen konstant sein. ## Summen- und Differenzenregel Eine Summe oder Differenz kann gliedweise integriert werden. ```math \int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx ``` Um beispielsweise $$\int (x^4 - x^3) \, dx$$ zu lösen, trennen wir sie zunächst: Visible text: Um beispielsweise zu lösen, trennen wir sie zunächst: Component: MathContainer Children: ```math \int (x^4 - x^3) \, dx = \int x^4 \, dx - \int x^3 \, dx ``` ```math = \left( \frac{1}{4+1}x^5 \right) - \left( \frac{1}{3+1}x^4 \right) + C ``` ```math = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{4}x^4 + C ``` Am Ende genügt eine Integrationskonstante **$$C$$**. Formal könnten die beiden Stammfunktionen $$C_1$$ und $$C_2$$ tragen. Ihre Summe oder Differenz ist jedoch wieder eine beliebige Konstante, die eine einzige **$$C$$** vollständig erfasst. Visible text: Am Ende genügt eine Integrationskonstante ****. Formal könnten die beiden Stammfunktionen und tragen. Ihre Summe oder Differenz ist jedoch wieder eine beliebige Konstante, die eine einzige **** vollständig erfasst. ## Substitutionsregel Enthält der Integrand einen verketteten Ausdruck zusammen mit dessen Ableitung oder einem konstanten Vielfachen davon, kann die **Substitution** eine einfachere Form sichtbar machen. Wir ersetzen den inneren Ausdruck durch eine neue Variable, meist **$$u$$**. Visible text: Enthält der Integrand einen verketteten Ausdruck zusammen mit dessen Ableitung oder einem konstanten Vielfachen davon, kann die **Substitution** eine einfachere Form sichtbar machen. Wir ersetzen den inneren Ausdruck durch eine neue Variable, meist ****. ```math \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du ``` Dies wird oft als **u-Substitution** bezeichnet. Diese Methode eignet sich zum Lösen von Integralen mit verschachtelten Ausdrücken. ## Übungen 1. Bestimme $$\int 6x^2 \, dx$$. 2. Bestimme $$\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$$. 3. Löse $$\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$$ mit der Substitutionsregel. Visible text: 1. Bestimme . 2. Bestimme . 3. Löse mit der Substitutionsregel. ### Ausführliche Lösungen 1. Für $$\int 6x^2 \, dx$$ verwenden wir die **Faktorregel** und die **Potenzregel**. **Schritt** $$1$$: Ziehe den konstanten Faktor $$6$$ vor das Integral. ```math \int 6x^2 \, dx = 6 \int x^2 \, dx ``` **Schritt** $$2$$: Wende die Potenzregel auf $$\int x^2 \, dx$$ an, wobei $$n=2$$. ```math 6 \left( \frac{1}{2+1}x^{2+1} \right) + C ``` ```math = 6 \left( \frac{1}{3}x^3 \right) + C ``` **Schritt** $$3$$: Multipliziere die konstanten Faktoren. ```math = 2x^3 + C ``` 2. Für das Integral $$\int (3x^2 + 2x - 5) \, dx$$ verwenden wir die **Summen- und Differenzenregel**, um es in drei separate Integrale zu zerlegen. **Schritt** $$1$$: Zerlege die Summe in einzelne Integrale. ```math \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 5 \, dx ``` **Schritt** $$2$$: Integriere jeden Term mit der Potenz- beziehungsweise Faktorregel. ```math = 3\left(\frac{1}{3}x^3\right) + 2\left(\frac{1}{2}x^2\right) - 5x + C ``` ```math = x^3 + x^2 - 5x + C ``` Die Antwort lautet also $$x^3 + x^2 - 5x + C$$. 3. Das Integral $$\int 2x(x^2 + 3)^4 \, dx$$ ist ein klassisches Beispiel für die **Substitutionsregel**. **Schritt** $$1$$: Wähle den Klammerausdruck als $$u$$. Sei: $$u = x^2 + 3$$. **Schritt** $$2$$: Bestimme die Ableitung von $$u$$ nach $$x$$, also $$du/dx$$. ```math \frac{du}{dx} = 2x ``` Daraus können wir $$du = 2x \, dx$$ schreiben. **Schritt** $$3$$: Ersetze $$x^2+3$$ durch $$u$$ und $$2x \, dx$$ durch $$du$$. ```math \int (x^2 + 3)^4 (2x \, dx) = \int u^4 \, du ``` **Schritt** $$4$$: Integriere den vereinfachten Ausdruck mit der Potenzregel. ```math \int u^4 \, du = \frac{1}{5}u^5 + C ``` **Schritt** $$5$$: Setze für $$u$$ wieder den ursprünglichen Ausdruck ein. ```math = \frac{1}{5}(x^2 + 3)^5 + C ``` Dies ist das Endergebnis. Visible text: 1. Für verwenden wir die **Faktorregel** und die **Potenzregel**. **Schritt** : Ziehe den konstanten Faktor vor das Integral. **Schritt** : Wende die Potenzregel auf an, wobei . **Schritt** : Multipliziere die konstanten Faktoren. 2. Für das Integral verwenden wir die **Summen- und Differenzenregel**, um es in drei separate Integrale zu zerlegen. **Schritt** : Zerlege die Summe in einzelne Integrale. **Schritt** : Integriere jeden Term mit der Potenz- beziehungsweise Faktorregel. Die Antwort lautet also . 3. Das Integral ist ein klassisches Beispiel für die **Substitutionsregel**. **Schritt** : Wähle den Klammerausdruck als . Sei: . **Schritt** : Bestimme die Ableitung von nach , also . Daraus können wir schreiben. **Schritt** : Ersetze durch und durch . **Schritt** : Integriere den vereinfachten Ausdruck mit der Potenzregel. **Schritt** : Setze für wieder den ursprünglichen Ausdruck ein. Dies ist das Endergebnis.