# Fläche zwischen Kurve und Achse > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/integralrechnung/flaecheninhalt Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/integral/area-of-a-flat-surface/de.mdx Berechne mit bestimmten Integralen Flächen, die von Kurven begrenzt werden, anhand vollständiger Beispiele zu quadratischen Funktionen und Wurzelfunktionen. --- ## Grundidee der Fläche unter einer Kurve Für einfache Figuren wie Rechtecke oder Dreiecke gibt es vertraute Flächenformeln. Wird eine Fläche jedoch von einer gekrümmten Linie begrenzt, reicht keine dieser Formeln direkt aus. **Bestimmte Integrale** behandeln solche Flächen, indem sie die Inhalte immer schmalerer Streifen akkumulieren. Das ist die Idee hinter Riemann-Summen: Wir zerlegen das Intervall, nähern jeden Streifen durch ein Rechteck an und betrachten den Grenzwert der Summe. Eine Funktion $$f(x)$$ begrenze eine Fläche von $$x = a$$ bis $$x = b$$. Wir zerlegen $$[a, b]$$ in $$n$$ Teilintervalle der Breite $$\Delta x$$. Visible text: Eine Funktion begrenze eine Fläche von bis . Wir zerlegen in Teilintervalle der Breite . Component: MathContainer Children: ```math A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x ``` ```math A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx ``` ## Fläche mit einem bestimmten Integral bestimmen Die Rechnung lässt sich in drei klare Schritte gliedern: ### Integrationsgrenzen identifizieren Der erste Schritt besteht darin, die untere und obere Grenze der Integration zu bestimmen. Diese Grenzen geben den Bereich der $$x$$-Werte an, die die Region begrenzen, deren Fläche wir berechnen möchten. Visible text: Der erste Schritt besteht darin, die untere und obere Grenze der Integration zu bestimmen. Diese Grenzen geben den Bereich der -Werte an, die die Region begrenzen, deren Fläche wir berechnen möchten. ### Integranden bestimmen Der Integrand beschreibt die vertikale Höhe der Fläche. Gilt $$f(x) \ge 0$$ im gesamten Intervall $$[a,b]$$, dann ist der Flächeninhalt $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$. Schneidet der Graph die Achse, teilen wir das Intervall an seinen Nullstellen oder integrieren $$|f(x)|$$, damit jeder Teil positiv zum Flächeninhalt beiträgt. Visible text: Der Integrand beschreibt die vertikale Höhe der Fläche. Gilt im gesamten Intervall , dann ist der Flächeninhalt . Schneidet der Graph die Achse, teilen wir das Intervall an seinen Nullstellen oder integrieren , damit jeder Teil positiv zum Flächeninhalt beiträgt. ### Integral auswerten Nachdem wir die Grenzen und die Funktion bestimmt haben, können wir das Integral mithilfe des Grundsatzes der Analysis auswerten: ```math \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) ``` Dabei ist $$F(x)$$ die Stammfunktion von $$f(x)$$. Visible text: Dabei ist die Stammfunktion von . ## Anwendung auf quadratische Funktionen Wenden wir dieses Konzept auf ein konkretes Beispiel an. Angenommen, wir möchten die Fläche der Region berechnen, die durch die Kurve $$f(x) = x^2 - 4x$$ und die $$x$$-Achse zwischen $$x = 1$$ und $$x = 3$$ begrenzt wird. Visible text: Wenden wir dieses Konzept auf ein konkretes Beispiel an. Angenommen, wir möchten die Fläche der Region berechnen, die durch die Kurve und die -Achse zwischen und begrenzt wird. Component: LineEquation Props: - title: Funktionsgraph $$f(x) = x^2 - 4x$$ Visible text: Funktionsgraph - description: Der Graph und die beiden senkrechten Grenzen des Integrationsintervalls. - showZAxis: false - cameraPosition: [0, 0, 12] - data: [ { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = 0 + (i * 4) / 30; const y = x * x - 4 * x; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#9333ea", smooth: true, showPoints: false, labels: [ { text: $$f(x)=x^2-4x$$, at: 25, offset: [0, 3, 0] } ] }, { points: [ { x: 1, y: 0, z: 0 }, { x: 1, y: -3, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: false, labels: [ { text: $$x=1$$, at: 0, offset: [0.3, -1.5, 0] } ] }, { points: [ { x: 3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: -3, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: false, labels: [ { text: $$x=3$$, at: 0, offset: [0.3, -1.5, 0] } ] }, { points: [ { x: 1, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 } ], color: "#d97706", showPoints: false, lineWidth: 1, labels: [ { text: $$x\in[1,3]$$, at: 0, offset: [0, 0.8, 0] } ] } ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = 0 + (i * 4) / 30; const y = x * x - 4 * x; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#9333ea", smooth: true, showPoints: false, labels: [ { text: , at: 25, offset: [0, 3, 0] } ] }, { points: [ { x: 1, y: 0, z: 0 }, { x: 1, y: -3, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: false, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0.3, -1.5, 0] } ] }, { points: [ { x: 3, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: -3, z: 0 } ], color: "#ea580c", showPoints: false, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0.3, -1.5, 0] } ] }, { points: [ { x: 1, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 0, z: 0 } ], color: "#d97706", showPoints: false, lineWidth: 1, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0, 0.8, 0] } ] } ] Auf $$[1,3]$$ lässt sich die Funktion als $$f(x)=x(x-4)$$ faktorisieren. Jeder Punkt des Intervalls erfüllt $$x>0$$ und $$x-4<0$$. Daher gilt im gesamten Intervall $$f(x)<0$$. Die Randwerte $$f(1)=-3$$ und $$f(3)=-3$$ stimmen mit dieser Vorzeichenanalyse überein. Visible text: Auf lässt sich die Funktion als faktorisieren. Jeder Punkt des Intervalls erfüllt und . Daher gilt im gesamten Intervall . Die Randwerte und stimmen mit dieser Vorzeichenanalyse überein. Hier ist das Vorzeichen entscheidend: Ein **geometrischer Flächeninhalt** ist nicht negativ. Da der Graph im gesamten Intervall unterhalb der Achse liegt, integrieren wir den Betrag der Funktion: Component: MathContainer Children: ```math A = \int_{1}^{3} |x^2 - 4x| \, dx ``` ```math A = \int_{1}^{3} -(x^2 - 4x) \, dx ``` ```math A = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x) \, dx ``` Eine Stammfunktion liefert nun: Component: MathContainer Children: ```math A = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]_{1}^{3} ``` ```math A = \left(-\frac{27}{3} + 18\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2\right) ``` ```math A = 9 - \frac{5}{3} = \frac{22}{3} ``` Daher beträgt die Fläche dieser Region $$\frac{22}{3}$$ Quadrateinheiten. Visible text: Daher beträgt die Fläche dieser Region Quadrateinheiten. ## Anwendung auf eine Wurzelfunktion Im zweiten Beispiel berechnen wir die Fläche unter $$f(x) = x\sqrt{x^2 + 5}$$ von $$x = 0$$ bis $$x = 2$$. Visible text: Im zweiten Beispiel berechnen wir die Fläche unter von bis . Component: LineEquation Props: - title: Funktionsgraph $$f(x) = x\sqrt{x^2 + 5}$$ Visible text: Funktionsgraph - description: Bereich unter der Kurve, dessen Fläche mit Intervallhilfslinien berechnet wird. - showZAxis: false - data: [ { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = 0 + (i * 2) / 30; const y = x * Math.sqrt(x * x + 5); return { x, y, z: 0 }; }), color: "#059669", smooth: true, showPoints: false, labels: [ { text: $$f(x)=x\sqrt{x^2+5}$$, at: 25, offset: [-1, -2, 0] } ] }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#7c3aed", showPoints: true, labels: [ { text: $$x=0$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] } ] }, { points: [ { x: 2, y: 0, z: 0 }, { x: 2, y: 6, z: 0 } ], color: "#7c3aed", showPoints: false, labels: [ { text: $$x=2$$, at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] } ] }, { points: [ { x: 2, y: 6, z: 0 }, { x: 2, y: 6, z: 0 } ], color: "#7c3aed", showPoints: true, labels: [ { text: $$f(2)=6$$, at: 0, offset: [1.5, -1, 0] } ] } ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = 0 + (i * 2) / 30; const y = x * Math.sqrt(x * x + 5); return { x, y, z: 0 }; }), color: "#059669", smooth: true, showPoints: false, labels: [ { text: , at: 25, offset: [-1, -2, 0] } ] }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 0, y: 0, z: 0 } ], color: "#7c3aed", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] } ] }, { points: [ { x: 2, y: 0, z: 0 }, { x: 2, y: 6, z: 0 } ], color: "#7c3aed", showPoints: false, labels: [ { text: , at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] } ] }, { points: [ { x: 2, y: 6, z: 0 }, { x: 2, y: 6, z: 0 } ], color: "#7c3aed", showPoints: true, labels: [ { text: , at: 0, offset: [1.5, -1, 0] } ] } ] Die Form $$x\sqrt{x^2 + 5}$$ legt eine **Substitution** nahe: Der lineare Faktor $$x$$ passt bis auf einen konstanten Faktor zur Ableitung des Ausdrucks unter der Wurzel. Visible text: Die Form legt eine **Substitution** nahe: Der lineare Faktor passt bis auf einen konstanten Faktor zur Ableitung des Ausdrucks unter der Wurzel. Setze $$u = x^2 + 5$$. Dann gilt $$du = 2x \, dx$$ und damit $$x \, dx = \frac{1}{2} du$$. Visible text: Setze . Dann gilt und damit . Auch die Grenzen werden in die neue Variable umgerechnet: Aus $$x = 0$$ folgt $$u = 5$$, und aus $$x = 2$$ folgt $$u = 9$$. Visible text: Auch die Grenzen werden in die neue Variable umgerechnet: Aus folgt , und aus folgt . Nun wird unser Integral: Component: MathContainer Children: ```math A = \int_{0}^{2} x\sqrt{x^2 + 5} \, dx ``` ```math A = \int_{5}^{9} \frac{1}{2}\sqrt{u} \, du ``` ```math A = \frac{1}{2} \int_{5}^{9} u^{1/2} \, du ``` ```math A = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{5}^{9} ``` ```math A = \frac{1}{3}\left[u^{3/2}\right]_{5}^{9} ``` ```math A = \frac{1}{3}\left(27 - 5\sqrt{5}\right) ``` Beachte, dass $$9^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$$ und $$5^{3/2} = 5 \cdot \sqrt{5}$$ gelten. Visible text: Beachte, dass und gelten. > Bei einer Substitution im bestimmten Integral müssen auch die Integrationsgrenzen zur neuen Variablen passen. ## Übungen 1. Berechne die Fläche des Bereichs, der durch $$y = x^2 + 1$$, die $$x$$-Achse sowie die Geraden $$x = 0$$ und $$x = 2$$ begrenzt wird. 2. Bestimme die Fläche unter der Kurve $$y = \frac{1}{x^2 + 1}$$ von $$x = 0$$ bis $$x = 1$$. 3. Berechne die Fläche des Bereichs, der durch $$y = 2x - x^2$$ und die $$x$$-Achse begrenzt wird. Visible text: 1. Berechne die Fläche des Bereichs, der durch , die -Achse sowie die Geraden und begrenzt wird. 2. Bestimme die Fläche unter der Kurve von bis . 3. Berechne die Fläche des Bereichs, der durch und die -Achse begrenzt wird. ### Ausführliche Lösungen 1. **Erstes Problem mit der Funktion $$y = x^2 + 1$$** Da diese Funktion immer positiv ist, können wir das Integral direkt aufstellen: ```math A = \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx ``` Nach der Integration und Auswertung erhalten wir: ```math A = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{0}^{2} ``` ```math A = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - 0 = \frac{14}{3} ``` Daher beträgt die Fläche dieser Region $$\frac{14}{3}$$ Quadrateinheiten. 2. **Zweites Problem mit rationaler Funktion** Für dieses Integral müssen wir bedenken, dass die Stammfunktion von $$\frac{1}{x^2 + 1}$$ $$\arctan(x)$$ ist. ```math A = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx ``` ```math A = [\arctan(x)]_{0}^{1} ``` ```math A = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} ``` Die Fläche dieser Region beträgt $$\frac{\pi}{4}$$ Quadrateinheiten. 3. **Drittes Problem mit Parabel** Finden wir zunächst heraus, wo die Kurve die $$x$$-Achse schneidet: ```math 2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0 ``` Die Schnittpunkte liegen also bei $$x = 0$$ und $$x = 2$$. Da diese Funktion zwischen diesen beiden Punkten positiv ist, können wir Folgendes direkt integrieren: ```math A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx ``` ```math A = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} ``` ```math A = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} ``` Die Fläche dieser Region beträgt $$\frac{4}{3}$$ Quadrateinheiten. Visible text: 1. **Erstes Problem mit der Funktion ** Da diese Funktion immer positiv ist, können wir das Integral direkt aufstellen: Nach der Integration und Auswertung erhalten wir: Daher beträgt die Fläche dieser Region Quadrateinheiten. 2. **Zweites Problem mit rationaler Funktion** Für dieses Integral müssen wir bedenken, dass die Stammfunktion von ist. Die Fläche dieser Region beträgt Quadrateinheiten. 3. **Drittes Problem mit Parabel** Finden wir zunächst heraus, wo die Kurve die -Achse schneidet: Die Schnittpunkte liegen also bei und . Da diese Funktion zwischen diesen beiden Punkten positiv ist, können wir Folgendes direkt integrieren: Die Fläche dieser Region beträgt Quadrateinheiten.