# Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
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Verbinde Ableitungen, Akkumulationsfunktionen und bestimmte Integrale mithilfe beider Teile des Hauptsatzes.
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## Die Brücke zwischen Ableitungen und Integralen
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet **Ableitungen** und **Integrale**. Er erklärt, weshalb die Ableitung einer Akkumulationsfunktion wieder deren Rate liefert und weshalb sich bestimmte Integrale mit Stammfunktionen auswerten lassen, ohne den Grenzwert einer Riemann-Summe erneut zu berechnen.
Sei $$f$$ auf dem betrachteten Intervall stetig. Teil Eins differenziert ein Integral mit veränderlicher Obergrenze. Teil Zwei wertet ein Integral mit festen Grenzen mithilfe einer beliebigen Stammfunktion des Integranden aus. Stetigkeit ist eine **hinreichende Voraussetzung**, die sicherstellt, dass beide Aussagen hier gelten.
Visible text: Sei auf dem betrachteten Intervall stetig. Teil Eins differenziert ein Integral mit veränderlicher Obergrenze. Teil Zwei wertet ein Integral mit festen Grenzen mithilfe einer beliebigen Stammfunktion des Integranden aus. Stetigkeit ist eine **hinreichende Voraussetzung**, die sicherstellt, dass beide Aussagen hier gelten.
## Differenzieren einer Integralfunktion
Teil Eins besagt: Wird eine stetige Rate akkumuliert und die Akkumulation anschließend differenziert, erhält man wieder die ursprüngliche Rate.
```math
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \implies F'(x) = f(x)
```
Dies bedeutet, dass die Ableitung einer als Integral definierten Funktion die Funktion innerhalb des Integrals selbst ist.
> Ist $$f(t)$$ die Zuflussrate zum Zeitpunkt $$t$$, dann beschreibt $$F(x)$$ das Volumen, das seit dem Anfangszeitpunkt bis $$x$$ hinzugekommen ist. Seine momentane Änderungsrate entspricht der Zuflussrate $$f(x)$$.
Visible text: > Ist die Zuflussrate zum Zeitpunkt , dann beschreibt das Volumen, das seit dem Anfangszeitpunkt bis hinzugekommen ist. Seine momentane Änderungsrate entspricht der Zuflussrate .
**Beispiel:**
Bestimme die Ableitung von $$F(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt$$.
Visible text: Bestimme die Ableitung von .
**Lösung:**
Nach Teil Eins erhalten wir die Ableitung, indem wir den Integranden an der veränderlichen Obergrenze auswerten: Wir ersetzen $$t$$ durch $$x$$.
Visible text: Nach Teil Eins erhalten wir die Ableitung, indem wir den Integranden an der veränderlichen Obergrenze auswerten: Wir ersetzen durch .
```math
\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt \right) = \sqrt{2+x}
```
Das Ergebnis ist der ursprüngliche Integrand, ausgewertet an der Obergrenze.
## Auswerten von Integralen mit Stammfunktionen
Die **Auswertungsform des Hauptsatzes** liefert eine praktische Methode zur Berechnung eines bestimmten Integrals. Gilt , dann:
Visible text: Die **Auswertungsform des Hauptsatzes** liefert eine praktische Methode zur Berechnung eines bestimmten Integrals. Gilt , dann:
```math
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
```
Dabei ist $$F(x)$$ eine **Stammfunktion** von $$f(x)$$. Die Differenz der Randwerte ergibt die vorzeichenbehaftete Akkumulation von $$f(x)$$ zwischen $$a$$ und $$b$$. Bei einem nichtnegativen Integranden ist dieser Wert zugleich der geometrische Flächeninhalt.
Visible text: Dabei ist eine **Stammfunktion** von . Die Differenz der Randwerte ergibt die vorzeichenbehaftete Akkumulation von zwischen und . Bei einem nichtnegativen Integranden ist dieser Wert zugleich der geometrische Flächeninhalt.
Um dies zu schreiben, verwenden wir oft die Klammerschreibweise $$[F(x)]_{a}^{b}$$, was $$F(b) - F(a)$$ bedeutet.
Visible text: Um dies zu schreiben, verwenden wir oft die Klammerschreibweise , was bedeutet.
**Beispiel** $$1$$:
Visible text: **Beispiel** :
Bestimme den Wert von $$\int_{1}^{3} x^2 \, dx$$.
Visible text: Bestimme den Wert von .
**Lösung:**
1. **Stammfunktion bestimmen:** Eine Stammfunktion von $$f(x) = x^2$$ ist $$F(x) = \frac{1}{3}x^3$$.
2. **An den Grenzen auswerten:** Berechne $$F(3) - F(1)$$.
```math
\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{1}^{3}
```
```math
= \left( \frac{1}{3}(3)^3 \right) - \left( \frac{1}{3}(1)^3 \right)
```
```math
= \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
```
Visible text: 1. **Stammfunktion bestimmen:** Eine Stammfunktion von ist .
2. **An den Grenzen auswerten:** Berechne .
**Beispiel** $$2$$:
Visible text: **Beispiel** :
Bestimme den Wert von $$\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx$$.
Visible text: Bestimme den Wert von .
**Lösung:**
1. **Stammfunktion bestimmen:** Eine Stammfunktion von $$f(x) = 2x - 1$$ ist $$F(x) = x^2 - x$$.
2. **An den Grenzen auswerten:** Berechne $$F(5) - F(1)$$.
```math
\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_{1}^{5}
```
```math
= (5^2 - 5) - (1^2 - 1)
```
```math
= (25 - 5) - (1 - 1)
```
```math
= 20 - 0 = 20
```
Visible text: 1. **Stammfunktion bestimmen:** Eine Stammfunktion von ist .
2. **An den Grenzen auswerten:** Berechne .
Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung vereinfacht die Art und Weise, wie wir Flächen und Akkumulationen berechnen, indem er Grenzprobleme in algebraische Schritte mit Stammfunktionen umwandelt.