# Integrale in der Physik > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/integralrechnung/integrale-in-der-physik Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/integral/integral-in-physics/de.mdx Nutze Integrale, um Arbeit bei veränderlichen Kräften, Federenergie, Massenverteilungen, Schwerpunkte und Trägheitsmomente zu berechnen. --- ## Die Rolle von Integralen in der Welt der Physik Wie berechnen Physiker die Energie für einen Raketenstart oder die Kräfte auf eine Staumauer? In beiden Fällen können sich die beteiligten Größen fortlaufend ändern. **Integrale** erfassen solche Akkumulationen. In der Physik können viele Größen, die wir benötigen, nicht mit einfachen Formeln berechnet werden, da sie mit kontinuierlichen Änderungen verbunden sind. Beispielsweise kann sich die auf ein Objekt wirkende Kraft mit der Position oder der Zeit ändern. Hier werden Integrale nützlich. Das Grundkonzept von Integralen in der Physik ist **Akkumulation**. Wenn wir die Änderungsrate einer Größe kennen, helfen uns Integrale dabei, die Gesamtmenge über ein bestimmtes Intervall zu ermitteln. ## Berechnen der Arbeit mit Integralen Beginnen wir mit der **Arbeit**. Eine konstante Kraft parallel zur Verschiebung verrichtet die Arbeit $$W=Fs$$. Allgemein ist Arbeit das Linienintegral $$W=\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$. Liegen Kraft und Bewegung beide auf der $$x$$-Achse, vereinfacht sich das zu $$W=\int F(x)\,dx$$. Visible text: Beginnen wir mit der **Arbeit**. Eine konstante Kraft parallel zur Verschiebung verrichtet die Arbeit . Allgemein ist Arbeit das Linienintegral . Liegen Kraft und Bewegung beide auf der -Achse, vereinfacht sich das zu . Ein Teilchen befindet sich an der Koordinate $$x$$, gemessen in Metern vom Ursprung. Die Kraft $$F(x) = x^2 + 2x$$ Newton wirkt in positive $$x$$-Richtung. Welche Arbeit verrichtet diese Kraft, während sich das Teilchen von $$x = 1 \text{ Meter}$$ nach $$x = 3 \text{ Meter}$$ bewegt? Visible text: Ein Teilchen befindet sich an der Koordinate , gemessen in Metern vom Ursprung. Die Kraft Newton wirkt in positive -Richtung. Welche Arbeit verrichtet diese Kraft, während sich das Teilchen von nach bewegt? Da die Kraft von der Position abhängt, lässt sich nicht ein einziger Wert von $$F$$ mit der gesamten Verschiebung multiplizieren. Stattdessen summieren wir die Arbeit entlang des Weges auf: Visible text: Da die Kraft von der Position abhängt, lässt sich nicht ein einziger Wert von mit der gesamten Verschiebung multiplizieren. Stattdessen summieren wir die Arbeit entlang des Weges auf: ```math W = \int_{1}^{3} F(x) \, dx = \int_{1}^{3} (x^2 + 2x) \, dx ``` Wir berechnen: Component: MathContainer Children: ```math W = \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_{1}^{3} ``` ```math W = \left(\frac{27}{3} + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) ``` ```math W = (9 + 9) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{3}\right) = 18 - \frac{4}{3} ``` ```math W = \frac{54}{3} - \frac{4}{3} = \frac{50}{3} \text{ Joule} ``` Die Kraft verrichtet also $$\frac{50}{3}$$ Joule Arbeit, ungefähr $$16{,}67$$ Joule. Visible text: Die Kraft verrichtet also Joule Arbeit, ungefähr Joule. ## Hookes Gesetz und Federenergie Nun wenden wir Integrale auf das **Hookesche Gesetz** an. Je weiter eine Feder zusammengedrückt oder gedehnt wird, desto größer ist die nötige Haltekraft. Nach dem Hookeschen Gesetz wirkt die Rückstellkraft der Feder der Auslenkung entgegen. Wird die Feder langsam gedehnt oder gestaucht, hat die zum Halten bei der Auslenkung $$x$$ nötige äußere Kraft denselben Betrag und die entgegengesetzte Richtung: Visible text: Nach dem Hookeschen Gesetz wirkt die Rückstellkraft der Feder der Auslenkung entgegen. Wird die Feder langsam gedehnt oder gestaucht, hat die zum Halten bei der Auslenkung nötige äußere Kraft denselben Betrag und die entgegengesetzte Richtung: ```math F_s(x)=-kx,\qquad F_{\mathrm{ext}}(x)=kx ``` Dabei ist $$k$$ die Federkonstante und $$x$$ die vorzeichenbehaftete Auslenkung aus der Gleichgewichtslage. Das Integral von $$F_{\mathrm{ext}}$$ liefert die an der Feder verrichtete äußere Arbeit und damit die Zunahme ihrer elastischen potenziellen Energie. Visible text: Dabei ist die Federkonstante und die vorzeichenbehaftete Auslenkung aus der Gleichgewichtslage. Das Integral von liefert die an der Feder verrichtete äußere Arbeit und damit die Zunahme ihrer elastischen potenziellen Energie. Betrachten wir ein reales Beispiel. Angenommen, eine Kraft von $$40 \text{ N}$$ ist erforderlich, um eine Feder zu halten, die von ihrer ursprünglichen Länge von $$10 \text{ cm}$$ auf $$15 \text{ cm}$$ gedehnt wurde. Welche Arbeit ist nun erforderlich, um die Feder von $$15 \text{ cm}$$ auf $$18 \text{ cm}$$ zu dehnen? Visible text: Betrachten wir ein reales Beispiel. Angenommen, eine Kraft von ist erforderlich, um eine Feder zu halten, die von ihrer ursprünglichen Länge von auf gedehnt wurde. Welche Arbeit ist nun erforderlich, um die Feder von auf zu dehnen? Zuerst bestimmen wir die Federkonstante. Die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage beträgt $$15 - 10 = 5 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}$$. Für den Betrag der Haltekraft gilt $$F_{\mathrm{ext}} = kx$$: Visible text: Zuerst bestimmen wir die Federkonstante. Die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage beträgt . Für den Betrag der Haltekraft gilt : ```math 40 = k \times 0{,}05 ``` Also $$k = \frac{40}{0{,}05} = 800 \text{ N/m}$$. Visible text: Also . Für die äußere Arbeit beim Dehnen von $$15 \text{ cm}$$ auf $$18 \text{ cm}$$ messen wir beide Positionen von der Gleichgewichtslänge aus: Visible text: Für die äußere Arbeit beim Dehnen von auf messen wir beide Positionen von der Gleichgewichtslänge aus: - Position $$15 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}$$ aus der natürlichen Position - Position $$18 \text{ cm} = 0{,}08 \text{ m}$$ aus der natürlichen Position Visible text: - Position aus der natürlichen Position - Position aus der natürlichen Position Wir können die Arbeit mit Integralen berechnen: Component: MathContainer Children: ```math W = \int_{0{,}05}^{0{,}08} 800x \, dx ``` ```math W = 800 \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0{,}05}^{0{,}08} ``` ```math W = 400[(0{,}08)^2 - (0{,}05)^2] ``` ```math W = 400[0{,}0064 - 0{,}0025] = 400 \times 0{,}0039 = 1{,}56 \text{ Joule} ``` ## Berechnung der Masse aus Dichtefunktionen Eine weitere Anwendung von Integralen in der Physik ist die Berechnung der **Masse** eines Objekts, wenn wir seine Dichtefunktion kennen. Dies ist sehr nützlich für Objekte mit ungleichmäßiger Dichte. Wir betrachten einen $$2 \text{ Meter}$$ langen Stab mit der linearen Dichte $$\rho(x) = (3x + 2)\,\text{kg/m}$$. Dabei ist $$x$$ die in Metern gemessene Koordinate von einem Ende des Stabes. Wie groß ist seine Gesamtmasse? Visible text: Wir betrachten einen langen Stab mit der linearen Dichte . Dabei ist die in Metern gemessene Koordinate von einem Ende des Stabes. Wie groß ist seine Gesamtmasse? Component: MathContainer Children: ```math m = \int_{0}^{2} \rho(x) \, dx = \int_{0}^{2} (3x + 2) \, dx ``` ```math m = \left[\frac{3x^2}{2} + 2x\right]_{0}^{2} ``` ```math m = \frac{3(4)}{2} + 2(2) = 6 + 4 = 10 \text{ kg} ``` ## Bestimmung des Massenschwerpunkts Ein weiteres sehr wichtiges Konzept ist der **Massenschwerpunkt**. Für Objekte mit ungleichmäßiger Dichte kann der Massenschwerpunkt mithilfe von Integralen berechnet werden. Wenn wir einen Stab mit der Dichte $$\rho(x)$$ über das Intervall $$[a, b]$$ haben, dann ist die Schwerpunktskoordinate: Visible text: Wenn wir einen Stab mit der Dichte über das Intervall haben, dann ist die Schwerpunktskoordinate: ```math \bar{x} = \frac{\int_{a}^{b} x \rho(x) \, dx}{\int_{a}^{b} \rho(x) \, dx} ``` Für den Stab mit der Dichte $$\rho(x) = 3x + 2$$ oben: Visible text: Für den Stab mit der Dichte oben: Component: MathContainer Children: ```math \bar{x} = \frac{\int_{0}^{2} x(3x + 2) \, dx}{10} ``` ```math \bar{x} = \frac{\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x) \, dx}{10} ``` ```math \bar{x} = \frac{[x^3 + x^2]_{0}^{2}}{10} = \frac{8 + 4}{10} = 1{,}2 \text{ Meter} ``` > Der Massenschwerpunkt ist die Koordinate, an der die Gesamtmasse dasselbe erste Moment wie die tatsächliche Massenverteilung erzeugt. In einem gleichförmigen Schwerefeld ist das der natürliche Gleichgewichtspunkt. Die Rotationsbewegung hängt weiterhin davon ab, wie die Masse verteilt ist. ## Berechnung des Trägheitsmoments Das **Trägheitsmoment** beschreibt, wie die Masse relativ zu einer festgelegten Drehachse verteilt ist. Bei einer festen Achse bestimmt es über $$\tau=I\alpha$$, welche Winkelbeschleunigung ein Drehmoment hervorruft. Für einen kontinuierlichen Körper gilt: Visible text: Das **Trägheitsmoment** beschreibt, wie die Masse relativ zu einer festgelegten Drehachse verteilt ist. Bei einer festen Achse bestimmt es über , welche Winkelbeschleunigung ein Drehmoment hervorruft. Für einen kontinuierlichen Körper gilt: ```math I = \int r^2 \, dm ``` wobei $$r$$ der Abstand von der Rotationsachse und $$dm$$ das Massenelement ist. Visible text: wobei der Abstand von der Rotationsachse und das Massenelement ist. Für einen homogenen Stab mit der Masse $$M$$ und der Länge $$L$$, der sich um eines seiner Enden dreht: Visible text: Für einen homogenen Stab mit der Masse und der Länge , der sich um eines seiner Enden dreht: ```math I = \int_{0}^{L} x^2 \frac{M}{L} \, dx = \frac{M}{L} \int_{0}^{L} x^2 \, dx = \frac{M}{L} \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{L} = \frac{ML^2}{3} ``` ## Übungen 1. Ein Teilchen bewegt sich entlang der $$x$$-Achse. Die Kraft $$F(x) = 4x - x^2$$ Newton wirkt in Bewegungsrichtung. Berechne die Arbeit dieser Kraft von $$x = 0$$ bis $$x = 3 \text{ Meter}$$. 2. Eine Feder hat die Federkonstante $$k = 200 \text{ N/m}$$. Wie viel Energie ist gespeichert, wenn sie um $$0{,}1 \text{ Meter}$$ aus der Gleichgewichtslage gedehnt wird? 3. Ein $$4 \text{ Meter}$$ langer Draht hat die lineare Dichte $$\rho(x) = (2 + x)\,\text{kg/m}$$, wobei $$x$$ in Metern gemessen wird. Bestimme die Gesamtmasse und die Lage des Massenschwerpunkts. Visible text: 1. Ein Teilchen bewegt sich entlang der -Achse. Die Kraft Newton wirkt in Bewegungsrichtung. Berechne die Arbeit dieser Kraft von bis . 2. Eine Feder hat die Federkonstante . Wie viel Energie ist gespeichert, wenn sie um aus der Gleichgewichtslage gedehnt wird? 3. Ein langer Draht hat die lineare Dichte , wobei in Metern gemessen wird. Bestimme die Gesamtmasse und die Lage des Massenschwerpunkts. ### Ausführliche Lösungen 1. **Berechnung der Arbeit mit variabler Kraft** ```math W = \int_{0}^{3} (4x - x^2) \, dx ``` ```math W = \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3} ``` ```math W = \left(2(3)^2 - \frac{(3)^3}{3}\right) - \left(2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3}\right) ``` ```math W = \left(18 - 9\right) - 0 = 9 \text{ Joule} ``` Die geleistete Arbeit beträgt $$9$$ Joule. 2. **Berechnung der Federenergie** Die in der Feder gespeicherte potenzielle Energie beträgt: ```math E = \int_{0}^{0{,}1} kx \, dx = \int_{0}^{0{,}1} 200x \, dx ``` ```math E = 200 \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{0{,}1} ``` ```math E = 200 \times \frac{(0{,}1)^2 - 0^2}{2} = 200 \times \frac{0{,}01}{2} = 100 \times 0{,}01 = 1 \text{ Joule} ``` Die gespeicherte potentielle Energie beträgt $$1$$ Joule. 3. **Berechnung der Drahtmasse und des Massenschwerpunktes** Gesamtmasse: ```math m = \int_{0}^{4} (2 + x) \, dx = \left[2x + \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = 8 + 8 = 16 \text{ kg} ``` Schwerpunkt: ```math \bar{x} = \frac{\int_{0}^{4} x(2 + x) \, dx}{16} ``` ```math \bar{x} = \frac{\int_{0}^{4} (2x + x^2) \, dx}{16} ``` ```math \bar{x} = \frac{[x^2 + \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}}{16} = \frac{16 + \frac{64}{3}}{16} ``` ```math \bar{x} = \frac{\frac{48 + 64}{3}}{16} = \frac{\frac{112}{3}}{16} = \frac{112}{48} = \frac{7}{3} \text{ Meter} ``` Die Gesamtmasse des Drahtes beträgt $$16 \text{ kg}$$ und sein Massenschwerpunkt liegt an der Position $$\frac{7}{3} \text{Meter}$$ vom Ende entfernt. Visible text: 1. **Berechnung der Arbeit mit variabler Kraft** Die geleistete Arbeit beträgt Joule. 2. **Berechnung der Federenergie** Die in der Feder gespeicherte potenzielle Energie beträgt: Die gespeicherte potentielle Energie beträgt Joule. 3. **Berechnung der Drahtmasse und des Massenschwerpunktes** Gesamtmasse: Schwerpunkt: Die Gesamtmasse des Drahtes beträgt und sein Massenschwerpunkt liegt an der Position vom Ende entfernt.