# Integrale in Wirtschaft und Unternehmen
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Wende Integrale auf wirtschaftliche Situationen an und berechne Absatz, Umsatzänderungen, Produktionskosten und Konsumentenrente.
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## Anwendung von Integralen in der Wirtschaftswissenschaft
Viele wirtschaftliche Größen werden als Änderungsrate angegeben, etwa verkaufte Stück pro Monat oder zusätzliche Kosten pro produzierter Einheit. Ein Integral summiert solche kleinen Änderungen zu einer Gesamtgröße über einen Zeitraum oder eine Produktionsmenge.
Ist beispielsweise eine Absatzrate als Funktion der Zeit bekannt, liefert ihr Integral die insgesamt verkaufte Stückzahl im betrachteten Zeitraum.
Dieses Konzept ähnelt der Berechnung der Fläche unter einer Kurve, wobei die horizontale Achse die Zeit und die vertikale Achse die Änderungsrate einer Wirtschaftsgröße darstellt.
## Verkaufsanalyse mit Integralen
Ein Technologieunternehmen bringt ein neues Smartphone auf den Markt. Das Analyseteam modelliert die Absatzentwicklung nach der Markteinführung.
Die monatliche Absatzrate wird durch $$f(t) = 2000\sqrt{t + 1} + 800 \text{ Einheiten}$$ pro Monat beschrieben. Dabei ist $$t$$ die Zeit in Monaten seit der Markteinführung.
Visible text: Die monatliche Absatzrate wird durch pro Monat beschrieben. Dabei ist die Zeit in Monaten seit der Markteinführung.
Gesucht ist der **Gesamtabsatz** in den ersten $$3 \text{ Monaten}$$. Dazu integrieren wir die Absatzrate:
Visible text: Gesucht ist der **Gesamtabsatz** in den ersten . Dazu integrieren wir die Absatzrate:
```math
S = \int_{0}^{3} (2000\sqrt{t + 1} + 800) \, dt
```
Zunächst wird das Integral in zwei Summanden zerlegt:
Component: MathContainer
Children:
```math
S = \int_{0}^{3} 2000\sqrt{t + 1} \, dt + \int_{0}^{3} 800 \, dt
```
```math
S = 2000 \int_{0}^{3} (t + 1)^{1/2} \, dt + 800t \Big|_{0}^{3}
```
Für den Wurzelausdruck eignet sich die Substitution $$u = t + 1$$ mit $$du = dt$$. Die Integrationsgrenzen werden dabei ebenfalls in die neue Variable umgerechnet.
Visible text: Für den Wurzelausdruck eignet sich die Substitution mit . Die Integrationsgrenzen werden dabei ebenfalls in die neue Variable umgerechnet.
Component: MathContainer
Children:
```math
S = 2000 \int_{1}^{4} u^{1/2} \, du + 2400
```
```math
S = 2000 \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{4} + 2400
```
```math
S = \frac{4000}{3}(8 - 1) + 2400 = \frac{28000}{3} + \frac{7200}{3} = \frac{35200}{3}
```
Das kontinuierliche Modell liefert für die ersten $$3 \text{ Monate}$$ den Wert $$S = \frac{35200}{3} \approx 11733{,}33$$. Als ganze Geräte sind das ungefähr $$11733$$ Smartphones.
Visible text: Das kontinuierliche Modell liefert für die ersten den Wert . Als ganze Geräte sind das ungefähr Smartphones.
## Analyse des Umsatzwachstums
Betrachten wir nun ein anderes Beispiel. Angenommen, ein Technologie-Startup weist eine Umsatzwachstumsrate auf, die einem exponentiellen Muster von Tausend Dollar pro Monat folgt, wobei $$t$$ die Zeit in Monaten ist.
Visible text: Betrachten wir nun ein anderes Beispiel. Angenommen, ein Technologie-Startup weist eine Umsatzwachstumsrate auf, die einem exponentiellen Muster von Tausend Dollar pro Monat folgt, wobei die Zeit in Monaten ist.
Um die **gesamte Umsatzsteigerung** in den ersten $$6 \text{ Monaten}$$ zu berechnen, integrieren wir die Wachstumsrate:
Visible text: Um die **gesamte Umsatzsteigerung** in den ersten zu berechnen, integrieren wir die Wachstumsrate:
Component: MathContainer
Children:
```math
R = \int_{0}^{6} 5000e^{0{,}1t} \, dt
```
```math
R = 5000 \int_{0}^{6} e^{0{,}1t} \, dt
```
```math
R = 5000 \left[\frac{e^{0{,}1t}}{0{,}1}\right]_{0}^{6}
```
```math
R = 50000(e^{0{,}6} - 1)
```
Mit $$e^{0{,}6} \approx 1{,}822$$ beträgt die gesamte Umsatzsteigerung ungefähr $$50000 \times 0{,}822 = 41100$$ Tausend Dollar, also $$41{,}1 \text{ Millionen}$$ Dollar.
Visible text: Mit beträgt die gesamte Umsatzsteigerung ungefähr Tausend Dollar, also Dollar.
## Gesamtproduktionskosten
In der Wirtschaft müssen Unternehmen häufig die Produktionskosten schätzen. Angenommen, die Grenzkosten für die Herstellung eines Gutes betragen $$MC(x) = 0{,}3x^2 - 12x + 200$$ Tausend Dollar pro Einheit, wobei $$x$$ die Anzahl der produzierten Einheiten ist.
Visible text: In der Wirtschaft müssen Unternehmen häufig die Produktionskosten schätzen. Angenommen, die Grenzkosten für die Herstellung eines Gutes betragen Tausend Dollar pro Einheit, wobei die Anzahl der produzierten Einheiten ist.
Wenn das Unternehmen nun die **variablen Gesamtkosten** für die Produktion des ersten $$20 \text{Einheiten}$$ wissen möchte, integriert es einfach die Grenzkostenfunktion:
Visible text: Wenn das Unternehmen nun die **variablen Gesamtkosten** für die Produktion des ersten wissen möchte, integriert es einfach die Grenzkostenfunktion:
```math
VC = \int_{0}^{20} (0{,}3x^2 - 12x + 200) \, dx
```
Nach der Integration und Auswertung erhalten wir:
Component: MathContainer
Children:
```math
VC = \left[0{,}1x^3 - 6x^2 + 200x\right]_{0}^{20}
```
```math
VC = 800 - 2400 + 4000 = 2400
```
Unter der Annahme $$VC(0)=0$$ betragen die variablen Gesamtkosten für $$20 \text{ Einheiten}$$ somit $$2{,}4 \text{ Millionen}$$ Dollar. Fixkosten sind davon getrennt und in diesem Integral nicht enthalten.
Visible text: Unter der Annahme betragen die variablen Gesamtkosten für somit Dollar. Fixkosten sind davon getrennt und in diesem Integral nicht enthalten.
> In wirtschaftlichen Anwendungen wandeln Integrale Grenzgrößen oder Änderungsraten in Gesamtgrößen um. So wird aus Grenzkosten beispielsweise die Änderung der Gesamtkosten.
## Analyse der Konsumentenrente
Auch die Konsumentenrente lässt sich mit einem Integral bestimmen. Gegeben sind die Nachfragefunktion $$P = 100 - 0{,}5Q$$ und der Gleichgewichtspreis $$60 \text{ Dollar pro Einheit}$$. Die zugehörige Gleichgewichtsmenge auf dieser Nachfragekurve folgt aus:
Visible text: Auch die Konsumentenrente lässt sich mit einem Integral bestimmen. Gegeben sind die Nachfragefunktion und der Gleichgewichtspreis . Die zugehörige Gleichgewichtsmenge auf dieser Nachfragekurve folgt aus:
```math
60=100-0{,}5Q\qquad\Longrightarrow\qquad Q=80
```
Die Konsumentenrente summiert für die $$80$$ gehandelten Einheiten die Differenz zwischen der Zahlungsbereitschaft laut Nachfragekurve und dem tatsächlich gezahlten Marktpreis:
Visible text: Die Konsumentenrente summiert für die gehandelten Einheiten die Differenz zwischen der Zahlungsbereitschaft laut Nachfragekurve und dem tatsächlich gezahlten Marktpreis:
```math
CS = \int_{0}^{80} (100 - 0{,}5Q - 60) \, dQ = \int_{0}^{80} (40 - 0{,}5Q) \, dQ
```
Nach der Auswertung:
Component: MathContainer
Children:
```math
CS = \left[40Q - 0{,}25Q^2\right]_{0}^{80}
```
```math
CS = 3200 - 1600 = 1600
```
Die Konsumentenrente von $$1600 \text{ Dollar}$$ misst den gesamten monetären Vorteil der Käufer gegenüber dem Gleichgewichtspreis.
Visible text: Die Konsumentenrente von misst den gesamten monetären Vorteil der Käufer gegenüber dem Gleichgewichtspreis.
## Übungen
1. Ein Unternehmen hat die Absatzrate $$f(t) = 1000 + 500t \text{ Einheiten}$$ pro Monat. Berechne den Gesamtabsatz in den ersten $$6 \text{ Monate}$$.
2. Die Grenzkosten eines Produkts betragen $$MC(x) = 2x + 50$$ Tausend Dollar pro Einheit. Bestimme die variablen Gesamtkosten für $$25 \text{ Einheiten}$$.
3. Die Investitionswachstumsrate lautet Dollar pro Jahr. Berechne das gesamte Investitionswachstum in $$4 \text{ Jahren}$$.
Visible text: 1. Ein Unternehmen hat die Absatzrate pro Monat. Berechne den Gesamtabsatz in den ersten .
2. Die Grenzkosten eines Produkts betragen Tausend Dollar pro Einheit. Bestimme die variablen Gesamtkosten für .
3. Die Investitionswachstumsrate lautet Dollar pro Jahr. Berechne das gesamte Investitionswachstum in .
### Ausführliche Lösungen
1. **Berechnung des Gesamtabsatzes**
Da die Absatzrate gegeben ist, integrieren wir sie über die ersten sechs Monate:
```math
S = \int_{0}^{6} (1000 + 500t) \, dt
```
Das Ergebnis ist:
```math
S = \left[1000t + 250t^2\right]_{0}^{6}
```
```math
S = 6000 + 9000 = 15000
```
Der Gesamtabsatz in $$6 \text{ Monaten}$$ beträgt $$15{.}000 \text{ Einheiten}$$.
2. **Variable Kosten berechnen**
Die variablen Gesamtkosten sind das Integral der Grenzkostenfunktion:
```math
VC = \int_{0}^{25} (2x + 50) \, dx
```
Nach der Auswertung:
```math
VC = \left[x^2 + 50x\right]_{0}^{25}
```
```math
VC = 625 + 1250 = 1875
```
Die gesamten variablen Kosten betragen $$1{,}875$$ Tausend Dollar oder $$1{,}875 \text{ Millionen}$$ Dollar.
3. **Berechnung des Investitionswachstums**
Für Exponentialfunktionen integrieren wir:
```math
I = \int_{0}^{4} 2000e^{0{,}05t} \, dt
```
Das Ergebnis ist:
```math
I = 2000 \left[\frac{e^{0{,}05t}}{0{,}05}\right]_{0}^{4}
```
```math
I = 40000(e^{0{,}2} - 1) \approx 40000(0{,}2214) \approx 8856
```
Das gesamte Investitionswachstum in $$4 \text{ Jahren}$$ beträgt ungefähr $$8{,}86 \text{ Milliarden Dollar}$$.
Visible text: 1. **Berechnung des Gesamtabsatzes**
Da die Absatzrate gegeben ist, integrieren wir sie über die ersten sechs Monate:
Das Ergebnis ist:
Der Gesamtabsatz in beträgt .
2. **Variable Kosten berechnen**
Die variablen Gesamtkosten sind das Integral der Grenzkostenfunktion:
Nach der Auswertung:
Die gesamten variablen Kosten betragen Tausend Dollar oder Dollar.
3. **Berechnung des Investitionswachstums**
Für Exponentialfunktionen integrieren wir:
Das Ergebnis ist:
Das gesamte Investitionswachstum in beträgt ungefähr .