# Riemann-Summe > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/integralrechnung/riemann-summen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/integral/riemann-sum/de.mdx Nähere Integrale mit Riemann-Summen an und verstehe Partitionen, Stützstellen und die zugehörigen Rechteckbeiträge anhand vollständiger Beispiele. --- ## Die Grundidee der Riemannschen Summen Stell dir ein Grundstück vor, das auf einer Seite von einer unregelmäßigen Kurve begrenzt wird. Wie lässt sich seine Fläche bestimmen? Eine praktische Näherung besteht darin, das Gebiet in gleich breite rechteckige Streifen zu zerlegen, die Flächen der Streifen zu berechnen und anschließend zu addieren. Das ist die Grundidee einer **Riemann-Summe**. Sie nähert eine **vorzeichenbehaftete Akkumulation** an, indem das Intervall in Teilintervalle zerlegt und die zugehörigen Rechteckbeiträge addiert werden. Ist die Funktion nicht negativ, entspricht diese Akkumulation der Fläche unter dem Graphen. Für eine Riemann-integrierbare Funktion konvergieren die Summen gegen das bestimmte Integral, wenn die Breite des größten Teilintervalls gegen null geht. Bei gleich breiten Teilintervallen verkleinert eine größere Rechteckzahl diese Breite, auch wenn nicht jeder einzelne Schritt zwingend eine bessere Näherung liefert. ## Zentrale Bestandteile Um eine Riemann-Summe aufzustellen, müssen wir ihre Hauptkomponenten verstehen: - **Intervall $$[a, b]$$**: Dies ist die linke und rechte Grenze der Region, deren Fläche wir berechnen möchten. - **Partitionen ($$n$$)**: Dies ist die Anzahl der Rechtecke, die wir zum Teilen der Region verwenden. - **Teilintervallbreite ($$\Delta x$$)**: Dies ist die Breite jedes Rechtecks. Wenn wir das Intervall gleichmäßig teilen, wird seine Breite nach der Formel berechnet: ```math \Delta x = \frac{b-a}{n} ``` - **Stützstelle ($$x_i^*$$)**: Das ist ein Punkt im jeweiligen Teilintervall. Der Funktionswert $$f(x_i^*)$$ bestimmt die Höhe des zugehörigen Rechtecks. Häufig wählt man den linken oder rechten Randpunkt oder den Mittelpunkt des Teilintervalls. Visible text: - **Intervall **: Dies ist die linke und rechte Grenze der Region, deren Fläche wir berechnen möchten. - **Partitionen ()**: Dies ist die Anzahl der Rechtecke, die wir zum Teilen der Region verwenden. - **Teilintervallbreite ()**: Dies ist die Breite jedes Rechtecks. Wenn wir das Intervall gleichmäßig teilen, wird seine Breite nach der Formel berechnet: - **Stützstelle ()**: Das ist ein Punkt im jeweiligen Teilintervall. Der Funktionswert bestimmt die Höhe des zugehörigen Rechtecks. Häufig wählt man den linken oder rechten Randpunkt oder den Mittelpunkt des Teilintervalls. ## Die Riemannsche Summenformel Wenn wir alle diese Komponenten kombinieren, erhalten wir die allgemeine Formel für eine Riemann-Summe: ```math R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x ``` Die Sigma-Notation ($$\sum$$) bedeutet einfach „alle Flächen der Rechtecke zusammenfassen“, wobei die Fläche jedes Rechtecks seiner **Höhe** ($$f(x_i^*)$$) mal seiner **Breite** ($$\Delta x$$) entspricht. Visible text: Die Sigma-Notation () bedeutet einfach „alle Flächen der Rechtecke zusammenfassen“, wobei die Fläche jedes Rechtecks seiner **Höhe** () mal seiner **Breite** () entspricht. ## Visuelles Berechnungsbeispiel Wenden wir dieses Konzept auf ein Beispiel an. **Aufgabe:** Bestimme die Riemann-Summe für die Funktion $$f(x) = x$$ im Intervall $$[0, 7]$$. Zerlege das Intervall dazu in $$7$$ gleich lange Teilintervalle und verwende jeweils den **linken Randpunkt** als Stützstelle. Visible text: **Aufgabe:** Bestimme die Riemann-Summe für die Funktion im Intervall . Zerlege das Intervall dazu in gleich lange Teilintervalle und verwende jeweils den **linken Randpunkt** als Stützstelle. Component: LineEquation Props: - title: Visualisierung der Riemann-Summe - description: Graph der Funktion $$f(x)=x$$ mit $$7$$ Rechtecken, deren Höhen am linken Randpunkt bestimmt werden. Visible text: Graph der Funktion mit Rechtecken, deren Höhen am linken Randpunkt bestimmt werden. - showZAxis: false - data: [ { points: Array.from({ length: 8 }).map((_, i) => ({ x: i, y: i, z: 0 })), color: "#9333ea", showPoints: false, labels: [{ text: $$f(x)=x$$, at: 4, offset: [-1, 0.5, 0] }], }, ...Array.from({ length: 7 }).map((_, i) => { const x_left = i; const x_right = i + 1; const y_height = x_left; // f(x) = x, daher stammt die Höhe vom linken Randpunkt return { points: [ {x: x_left, y: 0, z: 0}, {x: x_right, y: 0, z: 0}, {x: x_right, y: y_height, z: 0}, {x: x_left, y: y_height, z: 0}, {x: x_left, y: 0, z: 0}, ], color: "#0284c7", smooth: false, showPoints: false, } }) ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 8 }).map((_, i) => ({ x: i, y: i, z: 0 })), color: "#9333ea", showPoints: false, labels: [{ text: , at: 4, offset: [-1, 0.5, 0] }], }, ...Array.from({ length: 7 }).map((_, i) => { const x_left = i; const x_right = i + 1; const y_height = x_left; // f(x) = x, daher stammt die Höhe vom linken Randpunkt return { points: [ {x: x_left, y: 0, z: 0}, {x: x_right, y: 0, z: 0}, {x: x_right, y: y_height, z: 0}, {x: x_left, y: y_height, z: 0}, {x: x_left, y: 0, z: 0}, ], color: "#0284c7", smooth: false, showPoints: false, } }) ] **Lösung:** 1. **Komponenten identifizieren:** - Funktion: $$f(x) = x$$ - Intervall: $$a=0, b=7$$ - Anzahl der Partitionen: $$n=7$$ 2. **Teilintervallbreite berechnen ($$\Delta x$$):** ```math \Delta x = \frac{7 - 0}{7} = 1 ``` Jedes Rechteck hat eine Breite von $$1$$. 3. **Stützstellen bestimmen (linker Randpunkt):** Unsere Teilintervalle sind: ```math [0,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], [5,6], [6,7] ``` Bei der Methode mit linken Randpunkten wählen wir den Wert von $$x$$ an der linken Grenze jedes Teilintervalls als Stützstelle: ```math x_1=0, x_2=1, x_3=2, x_4=3, x_5=4, x_6=5, x_7=6 ``` 4. **Höhe jedes Rechtecks berechnen:** Die Höhe jedes Rechtecks ist der Funktionswert von $$f(x) = x$$ an der gewählten Stützstelle: ```math f(x_1) = f(0) = 0 ``` ```math f(x_2) = f(1) = 1 ``` ```math f(x_3) = f(2) = 2 ``` ```math f(x_4) = f(3) = 3 ``` ```math f(x_5) = f(4) = 4 ``` ```math f(x_6) = f(5) = 5 ``` ```math f(x_7) = f(6) = 6 ``` 5. **Riemann-Summe berechnen:** Nun addieren wir die Flächen aller Rechtecke. Jeder Beitrag ist Höhe mal Breite: ```math R_7 = \sum_{i=1}^{7} f(x_i^*) \Delta x ``` ```math = [f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)] \cdot 1 ``` ```math = (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \cdot 1 ``` ```math = 21 ``` Somit beträgt die geschätzte Fläche unter der Kurve $$f(x)=x$$ von $$0$$ bis $$7$$ $$21$$. Visible text: 1. **Komponenten identifizieren:** - Funktion: - Intervall: - Anzahl der Partitionen: 2. **Teilintervallbreite berechnen ():** Jedes Rechteck hat eine Breite von . 3. **Stützstellen bestimmen (linker Randpunkt):** Unsere Teilintervalle sind: Bei der Methode mit linken Randpunkten wählen wir den Wert von an der linken Grenze jedes Teilintervalls als Stützstelle: 4. **Höhe jedes Rechtecks berechnen:** Die Höhe jedes Rechtecks ist der Funktionswert von an der gewählten Stützstelle: 5. **Riemann-Summe berechnen:** Nun addieren wir die Flächen aller Rechtecke. Jeder Beitrag ist Höhe mal Breite: Somit beträgt die geschätzte Fläche unter der Kurve von bis . > Auf $$[0,7]$$ ist $$f(x)=x$$ nicht negativ und streng monoton steigend. Deshalb liegen die Rechtecke mit linken Randpunkten unter dem Graphen und unterschätzen die tatsächliche Fläche. Rechtecke mit rechten Randpunkten überschätzen sie dagegen. Visible text: > Auf ist nicht negativ und streng monoton steigend. Deshalb liegen die Rechtecke mit linken Randpunkten unter dem Graphen und unterschätzen die tatsächliche Fläche. Rechtecke mit rechten Randpunkten überschätzen sie dagegen. ## Übungen 1. Berechne die Riemann-Summe für die Funktion $$f(x) = x^2 + 1$$ im Intervall $$[0, 4]$$ mit $$4$$ gleich breiten Teilintervallen und dem **rechten Randpunkt** als Stützstelle. Visible text: 1. Berechne die Riemann-Summe für die Funktion im Intervall mit gleich breiten Teilintervallen und dem **rechten Randpunkt** als Stützstelle. ### Ausführliche Lösung 1. Wir berechnen die Riemann-Summe für $$f(x) = x^2+1$$ auf $$[0,4]$$ mit $$n=4$$. Graph der Funktion $$f(x)=x^2+1$$ mit $$4$$ Rechtecken, deren Höhen am rechten Randpunkt bestimmt werden.} cameraPosition={[10, 10, 10]} showZAxis={false} data={[ { points: Array.from({ length: 41 }).map((_, i) => { const x = i * 0.1; const y = x * x + 1; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#d97706", showPoints: false, labels: [{ text: $$f(x)=x^2+1$$, at: 20, offset: [2, -1, 0] }], }, ...Array.from({ length: 4 }).map((_, i) => { const x_left = i; const x_right = i + 1; const y_height = x_right * x_right + 1; // f(x) = x² + 1, rechter Randpunkt return { points: [ {x: x_left, y: 0, z: 0}, {x: x_right, y: 0, z: 0}, {x: x_right, y: y_height, z: 0}, {x: x_left, y: y_height, z: 0}, {x: x_left, y: 0, z: 0}, ], color: "#0891b2", smooth: false, showPoints: false, } }) ]} /> **Schritt** $$1$$: Hauptkomponenten bestimmen. - Funktion: $$f(x) = x^2 + 1$$ - Intervall: $$a=0, b=4$$ - Anzahl der Partitionen: $$n=4$$ - Stützstelle: Rechter Randpunkt **Schritt** $$2$$: Teilintervallbreite berechnen. ```math \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{4-0}{4} = 1 ``` **Schritt** $$3$$: Rechte Randpunkte als Stützstellen bestimmen. Die Teilintervalle sind: ```math [0,1], [1,2], [2,3], [3,4] ``` Für die Methode des rechten Endpunkts nehmen wir den Wert von $$x$$ von der rechten Seite jedes Teilintervalls: ```math x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4 ``` **Schritt** $$4$$: Höhe jedes Rechtecks berechnen. Die Höhe jedes Rechtecks ist der Funktionswert von $$f(x) = x^2 + 1$$ am rechten Randpunkt: ```math f(x_1) = f(1) = 1^2 + 1 = 2 ``` ```math f(x_2) = f(2) = 2^2 + 1 = 5 ``` ```math f(x_3) = f(3) = 3^2 + 1 = 10 ``` ```math f(x_4) = f(4) = 4^2 + 1 = 17 ``` **Schritt** $$5$$: Gesamte Riemann-Summe berechnen. Jetzt summieren wir die Flächen aller Rechtecke ($$\text{Höhe} \times \text{Breite}$$): ```math R_4 = \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) \Delta x ``` ```math = [f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] \cdot 1 ``` ```math = (2 + 5 + 10 + 17) \cdot 1 ``` ```math = 34 ``` Somit ist die Riemann-Summe für die Funktion $$34$$. Visible text: 1. Wir berechnen die Riemann-Summe für auf mit . Graph der Funktion mit Rechtecken, deren Höhen am rechten Randpunkt bestimmt werden.} cameraPosition={[10, 10, 10]} showZAxis={false} data={[ { points: Array.from({ length: 41 }).map((_, i) => { const x = i * 0.1; const y = x * x + 1; return { x, y, z: 0 }; }), color: "#d97706", showPoints: false, labels: [{ text: , at: 20, offset: [2, -1, 0] }], }, ...Array.from({ length: 4 }).map((_, i) => { const x_left = i; const x_right = i + 1; const y_height = x_right * x_right + 1; // f(x) = x² + 1, rechter Randpunkt return { points: [ {x: x_left, y: 0, z: 0}, {x: x_right, y: 0, z: 0}, {x: x_right, y: y_height, z: 0}, {x: x_left, y: y_height, z: 0}, {x: x_left, y: 0, z: 0}, ], color: "#0891b2", smooth: false, showPoints: false, } }) ]} /> **Schritt** : Hauptkomponenten bestimmen. - Funktion: - Intervall: - Anzahl der Partitionen: - Stützstelle: Rechter Randpunkt **Schritt** : Teilintervallbreite berechnen. **Schritt** : Rechte Randpunkte als Stützstellen bestimmen. Die Teilintervalle sind: Für die Methode des rechten Endpunkts nehmen wir den Wert von von der rechten Seite jedes Teilintervalls: **Schritt** : Höhe jedes Rechtecks berechnen. Die Höhe jedes Rechtecks ist der Funktionswert von am rechten Randpunkt: **Schritt** : Gesamte Riemann-Summe berechnen. Jetzt summieren wir die Flächen aller Rechtecke (): Somit ist die Riemann-Summe für die Funktion .