# Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kombinatorik/bedingte-wahrscheinlichkeit Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/combinatorics/probability-of-independent-conditional-events/de.mdx Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen, Abhängigkeit von Unabhängigkeit unterscheiden und mehrstufige Ziehungen lösen. --- ## Grundlegende Konzepte verstehen Stellen Sie sich vor, Sie ziehen eine Karte aus einem Stapel und danach zieht ein Freund die nächste. Verändert Ihre Karte die Wahrscheinlichkeit seiner möglichen Karten? Ohne Zurücklegen ist das oft der Fall. Mit der **bedingten Wahrscheinlichkeit** berechnen wir die zweite Wahrscheinlichkeit anhand der Information aus der ersten Ziehung. Die **bedingte Wahrscheinlichkeit** von $$B$$ unter der Bedingung $$A$$ fragt: Welcher Anteil der Ergebnisse mit $$A$$ erfüllt zusätzlich $$B$$? Ändert sich die Antwort durch $$A$$, sind die Ereignisse abhängig. Bleibt sie gleich, sind sie unabhängig. Visible text: Die **bedingte Wahrscheinlichkeit** von unter der Bedingung fragt: Welcher Anteil der Ergebnisse mit erfüllt zusätzlich ? Ändert sich die Antwort durch , sind die Ereignisse abhängig. Bleibt sie gleich, sind sie unabhängig. Entscheidend ist, die möglichen Ergebnisse anhand der bereits bekannten **Bedingung** zu aktualisieren, bevor wir die nächste Wahrscheinlichkeit berechnen. ## Mathematische Formel und Notation Für Ereignisse $$A$$ und $$B$$ mit $$P(A) > 0$$ wird die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert durch: Visible text: Für Ereignisse und mit wird die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert durch: ```math P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} ``` dabei gilt: - $$P(B|A)$$ ist die Wahrscheinlichkeit von $$B$$ unter der Bedingung, dass $$A$$ eingetreten ist - $$P(A \cap B)$$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $$A$$ und $$B$$ gemeinsam eintreten - $$P(A)$$ ist die Wahrscheinlichkeit des bedingenden Ereignisses $$A$$ Visible text: - ist die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass eingetreten ist - ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass und gemeinsam eintreten - ist die Wahrscheinlichkeit des bedingenden Ereignisses Durch Neuordnung der Definition erhält man die allgemeine Multiplikationsregel: ```math P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) ``` Sind die Ereignisse unabhängig, ändert die Information über $$A$$ nichts an der Wahrscheinlichkeit von $$B$$: Visible text: Sind die Ereignisse unabhängig, ändert die Information über nichts an der Wahrscheinlichkeit von : ```math P(B|A) = P(B) ``` ## Anwendung beim Kartenziehen ### Szenario mit Ass und König Ein übliches Kartenspiel enthält $$52 \text{Karten}$$, darunter $$4 \text{Asse}$$ und $$4 \text{Könige}$$. Zwei Karten werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zuerst ein Ass und danach einen König? Visible text: Ein übliches Kartenspiel enthält , darunter und . Zwei Karten werden ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zuerst ein Ass und danach einen König? **Schritt-für-Schritt-Analyse:** Wir definieren: - Ereignis $$C$$: Bei der ersten Ziehung kommt ein Ass - Ereignis $$D$$: Bei der zweiten Ziehung kommt ein König Visible text: - Ereignis : Bei der ersten Ziehung kommt ein Ass - Ereignis : Bei der zweiten Ziehung kommt ein König Wahrscheinlichkeitsrechnung: Component: MathContainer Children: ```math P(C) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} ``` ```math P(D|C) = \frac{4}{51} ``` ```math P(C \cap D) = P(C) \times P(D|C) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663} ``` Nachdem ein Ass gezogen wurde, bleiben $$51 \text{Karten}$$ übrig. Alle $$4 \text{Könige}$$ sind noch vorhanden, daher beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, $$\frac{4}{51}$$. Visible text: Nachdem ein Ass gezogen wurde, bleiben übrig. Alle sind noch vorhanden, daher beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit, einen König zu ziehen, . ### Zwei Herzkarten nacheinander Beim Ziehen zweier Herzkarten verändert sich auch die Anzahl der günstigen Karten: - Erste Ziehung: $$P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$$ - Zweite Ziehung nach Erhalt eines Herzens: $$P(B|A) = \frac{12}{51}$$ Visible text: - Erste Ziehung: - Zweite Ziehung nach Erhalt eines Herzens: Die Wahrscheinlichkeit, bei beiden Ziehungen ein Herz zu ziehen, beträgt daher: ```math P(A \cap B) = \frac{13}{52} \times \frac{12}{51} = \frac{156}{2652} = \frac{1}{17} ``` ## Anwendung in der Managementauswahl Stellen Sie sich ein hypothetisches Unternehmen vor, das die Verteilung der Manager nach Geschlecht und Stellenebene überprüft. Seine Daten haben folgende Zusammensetzung: | Führungsposition | Männlich | Weiblich | Gesamt | |------------------|---------------|---------------|-------| | Senior (S) | $$78$$ | $$122$$ | $$200$$ | | Mitte (M) | $$78$$ | $$122$$ | $$200$$ | | Junior (J) | $$44$$ | $$156$$ | $$200$$ | | **Gesamt** | $$200$$ | $$400$$ | $$600$$ | Visible text: | Führungsposition | Männlich | Weiblich | Gesamt | |------------------|---------------|---------------|-------| | Senior (S) | | | | | Mitte (M) | | | | | Junior (J) | | | | | **Gesamt** | | | | Sei $$L$$ das Ereignis, dass eine ausgewählte Führungskraft männlich ist. Visible text: Sei das Ereignis, dass eine ausgewählte Führungskraft männlich ist. Das Unternehmen wählt nach dem Zufallsprinzip zwei ersatzlose Manager für ein Gremium aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausgewählten Manager männlich sind, beträgt: Component: MathContainer Children: ```math P(L_1) = \frac{200}{600} = \frac{1}{3} ``` ```math P(L_2|L_1) = \frac{199}{599} ``` ```math P(L_1 \cap L_2) = \frac{200}{600} \times \frac{199}{599} = \frac{1}{3} \times \frac{199}{599} = \frac{199}{1797} ``` Nach der Auswahl eines männlichen Managers bleiben insgesamt $$599$$ Manager mit $$199$$ männlichen Managern übrig, sodass die Wahrscheinlichkeit, einen zweiten männlichen Manager auszuwählen, auf $$\frac{199}{599}$$ sinkt. Visible text: Nach der Auswahl eines männlichen Managers bleiben insgesamt Manager mit männlichen Managern übrig, sodass die Wahrscheinlichkeit, einen zweiten männlichen Manager auszuwählen, auf sinkt. ## Problemlösungsstrategie ### Schritt für Schritt So lösen Sie Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit: 1. **Benenne die Ereignisse** der ersten und zweiten Stufe eindeutig 2. **Aktualisiere die Bedingungen**, nachdem das erste Ereignis eingetreten ist 3. **Berechne die Wahrscheinlichkeit** des ersten Ereignisses aus der Ausgangslage 4. **Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit** des zweiten Ereignisses aus der neuen Lage 5. **Multipliziere beide Wahrscheinlichkeiten**, um die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu erhalten ### Unabhängig oder abhängig? Bei **unabhängigen Ereignissen** ändert die Bedingung die nächste Wahrscheinlichkeit nicht. Bei **abhängigen Ereignissen** ändert das bekannte Ergebnis entweder die günstige Anzahl, die Gesamtanzahl oder beides. **Konkretes Beispiel: Zwei Asse ziehen** Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem üblichen Kartenspiel nacheinander zwei Asse zu ziehen ($$52 \text{Karten}$$, davon $$4$$ Asse). Visible text: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit dafür, aus einem üblichen Kartenspiel nacheinander zwei Asse zu ziehen (, davon Asse). 1. **Unabhängige Ziehungen (mit Zurücklegen):** Nach der ersten Ziehung wird die Karte zurückgelegt und der Stapel neu gemischt: ```math P(As_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} ``` ```math P(As_2) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} ``` ```math P(As_1 \cap As_2) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{169} ``` 2. **Abhängige Ziehungen (ohne Zurücklegen):** Die erste Karte wird nicht zurückgelegt: ```math P(As_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} ``` ```math P(As_2|As_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17} ``` ```math P(As_1 \cap As_2) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221} ``` Visible text: 1. **Unabhängige Ziehungen (mit Zurücklegen):** Nach der ersten Ziehung wird die Karte zurückgelegt und der Stapel neu gemischt: 2. **Abhängige Ziehungen (ohne Zurücklegen):** Die erste Karte wird nicht zurückgelegt: **Ergebnisvergleich:** - Mit Zurücklegen: $$\frac{1}{169} = 0{,}00592$$ - Ohne Zurücklegen: $$\frac{1}{221} = 0{,}00452$$ Visible text: - Mit Zurücklegen: - Ohne Zurücklegen: In diesem Beispiel ist das Ergebnis ohne Zurücklegen **kleiner**. Nach dem ersten Ass sinkt die Zahl der verbleibenden Asse von $$4$$ auf $$3$$, während die Gesamtzahl der Karten von $$52$$ auf $$51$$ fällt. Visible text: In diesem Beispiel ist das Ergebnis ohne Zurücklegen **kleiner**. Nach dem ersten Ass sinkt die Zahl der verbleibenden Asse von auf , während die Gesamtzahl der Karten von auf fällt. ## Übungen 1. Eine Schachtel enthält $$8 \text{rote Kugeln}$$ und $$12 \text{blaue Kugeln}$$. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot und danach Blau. 2. Ein Kartenspiel wird gemischt. Drei Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Ass, dann König, dann Dame? Visible text: 1. Eine Schachtel enthält und . Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zuerst Rot und danach Blau. 2. Ein Kartenspiel wird gemischt. Drei Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Ass, dann König, dann Dame? Bearbeiten Sie jede Aufgabe selbst, bevor Sie die ausführliche Lösung lesen. Notieren Sie bei jeder Ziehung die Anzahl der günstigen Karten und die neue Gesamtzahl, bevor Sie multiplizieren. ### Ausführliche Lösungen 1. **Lösung:** Sei $$A$$ das Ereignis „erste Kugel rot“ und $$B$$ das Ereignis „zweite Kugel blau“. Zu Beginn liegen $$8 + 12 = 20 \text{Kugeln}$$ in der Schachtel. ```math P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} ``` ```math P(B|A) = \frac{12}{19} ``` ```math P(A \cap B) = \frac{8}{20} \times \frac{12}{19} = \frac{2}{5} \times \frac{12}{19} = \frac{24}{95} ``` Nach einer roten Kugel bleiben insgesamt $$19 \text{Kugeln}$$ ($$8 - 1 = 7$$ rote und $$12$$ blaue). Die Zahl der blauen Kugeln bleibt $$12$$, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei der zweiten Ziehung $$\frac{12}{19}$$. 2. **Lösung:** Sei $$A$$ das Ereignis „zuerst Ass“, $$K$$ das Ereignis „danach König“ und $$Q$$ das Ereignis „zuletzt Dame“. Das Kartenspiel enthält $$52 \text{Karten}$$: $$4$$ Asse, $$4$$ Könige und $$4$$ Damen. ```math P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} ``` ```math P(K|A) = \frac{4}{51} ``` ```math P(Q|A \cap K) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25} ``` ```math P(A \cap K \cap Q) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} \times \frac{4}{50} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} \times \frac{2}{25} = \frac{8}{16575} ``` Bei jedem Ziehen sinkt die Gesamtzahl der Karten ($$52$$→$$51$$→$$50$$). Vom jeweils als Nächstes gesuchten Rang sind noch alle $$4$$ Karten vorhanden: Ein gezogenes Ass entfernt keinen König, und ein gezogener König entfernt keine Dame. Visible text: 1. **Lösung:** Sei das Ereignis „erste Kugel rot“ und das Ereignis „zweite Kugel blau“. Zu Beginn liegen in der Schachtel. Nach einer roten Kugel bleiben insgesamt ( rote und blaue). Die Zahl der blauen Kugeln bleibt , daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei der zweiten Ziehung . 2. **Lösung:** Sei das Ereignis „zuerst Ass“, das Ereignis „danach König“ und das Ereignis „zuletzt Dame“. Das Kartenspiel enthält : Asse, Könige und Damen. Bei jedem Ziehen sinkt die Gesamtzahl der Karten (→→). Vom jeweils als Nächstes gesuchten Rang sind noch alle Karten vorhanden: Ein gezogenes Ass entfernt keinen König, und ein gezogener König entfernt keine Dame.