# Kombination
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Nutze Kombinationen, um Auswahlen ohne Beachtung der Reihenfolge zu zählen, auch unter zusätzlichen Bedingungen.
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## Kombination verstehen
Stell dir vor, du wählst $$3 \text{ Freunde}$$ für eine Futsalmannschaft aus. Ana, Budi und Citra bilden unabhängig von der Reihenfolge immer dasselbe Team. Entscheidend ist, **wer** ausgewählt wird.
Visible text: Stell dir vor, du wählst für eine Futsalmannschaft aus. Ana, Budi und Citra bilden unabhängig von der Reihenfolge immer dasselbe Team. Entscheidend ist, **wer** ausgewählt wird.
Das ist der entscheidende Unterschied zwischen Kombinationen und Permutationen. Eine **Kombination** beschreibt eine Auswahl aus einer größeren Menge, bei der die **Reihenfolge keine Rolle spielt**.
Kombinationen begegnen uns zum Beispiel beim:
- Auswählen von Gerichten aus einer Speisekarte
- Zusammenstellen eines Teams
- Wählen von Schulfächern
- Kombinieren von Farben für einen Entwurf
Bei einer Permutation sind $$ABC$$ und $$BAC$$ verschiedene Anordnungen. Bei einer Kombination stehen beide für dieselbe Auswahl, weil sie dieselben Elemente enthalten.
Visible text: Bei einer Permutation sind und verschiedene Anordnungen. Bei einer Kombination stehen beide für dieselbe Auswahl, weil sie dieselben Elemente enthalten.
## Kombinationsformel
Für die Anzahl der Möglichkeiten, $$k$$ Objekte aus $$n$$ verfügbaren Objekten auszuwählen, gilt:
Visible text: Für die Anzahl der Möglichkeiten, Objekte aus verfügbaren Objekten auszuwählen, gilt:
```math
C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}
```
Dabei gilt:
- $$C(n,k)$$ oder $$\binom{n}{k}$$ bezeichnet die Auswahl von $$k$$ Objekten aus $$n$$ Objekten
- $$n$$ ist die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte
- $$k$$ ist die Anzahl der auszuwählenden Objekte
- $$n!$$ ist die Fakultät von $$n$$
Visible text: - oder bezeichnet die Auswahl von Objekten aus Objekten
- ist die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte
- ist die Anzahl der auszuwählenden Objekte
- ist die Fakultät von
**Warum unterscheidet sich diese Formel von der Permutation?**
Die Kombinationsformel entsteht, wenn die Anzahl der Permutationen durch $$k!$$ geteilt wird:
Visible text: Die Kombinationsformel entsteht, wenn die Anzahl der Permutationen durch geteilt wird:
```math
C(n,k) = \frac{P(n,k)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}
```
Wir teilen durch $$k!$$, weil sich dieselben $$k$$ Objekte in $$k!$$ Reihenfolgen anordnen lassen. Eine Kombination fasst all diese Anordnungen zu **einer Auswahl** zusammen.
Visible text: Wir teilen durch , weil sich dieselben Objekte in Reihenfolgen anordnen lassen. Eine Kombination fasst all diese Anordnungen zu **einer Auswahl** zusammen.
## Anwendungen in konkreten Situationen
**Bildung einer Sportmannschaft:**
Auf wie viele Arten lassen sich aus $$10 \text{ Lernenden}$$ $$5 \text{ Lernende}$$ für eine Basketballmannschaft auswählen?
Visible text: Auf wie viele Arten lassen sich aus für eine Basketballmannschaft auswählen?
Component: MathContainer
Children:
```math
C(10,5) = \frac{10!}{5! \times 5!}
```
```math
C(10,5) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{30\,240}{120} = 252 \text{ Möglichkeiten}
```
**Auswahl von Gerichten:**
Ein Restaurant bietet $$8$$ Gerichte an. Wie viele Möglichkeiten gibt es, davon $$3$$ auszuwählen?
Visible text: Ein Restaurant bietet Gerichte an. Wie viele Möglichkeiten gibt es, davon auszuwählen?
Component: MathContainer
Children:
```math
C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!}
```
```math
C(8,3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \text{ Kombinationen}
```
**Situationen mit besonderen Bedingungen:**
Manche Auswahlen müssen **zusätzliche Bedingungen** erfüllen. Aus $$12 \text{ Lernenden}$$ ($$7 \text{ Schüler}$$ und $$5 \text{ Schülerinnen}$$) sollen beispielsweise $$4 \text{ Lernende}$$ ausgewählt werden, darunter mindestens $$2 \text{ Schülerinnen}$$.
Visible text: Manche Auswahlen müssen **zusätzliche Bedingungen** erfüllen. Aus ( und ) sollen beispielsweise ausgewählt werden, darunter mindestens .
**Lösungsstrategie:**
1. **Erfasse alle Fälle**, die die Bedingung erfüllen
2. **Trenne die Fälle:** $$2 \text{ Schülerinnen} + 2 \text{ Schüler}$$, $$3 \text{ Schülerinnen} + 1 \text{ Schüler}$$ oder $$4 \text{ Schülerinnen}$$
3. **Addiere** die Anzahlen aller Fälle
Visible text: 1. **Erfasse alle Fälle**, die die Bedingung erfüllen
2. **Trenne die Fälle:** , oder
3. **Addiere** die Anzahlen aller Fälle
**Detaillierte Berechnungen:**
**Fall** $$1$$: $$2 \text{ Schülerinnen} + 2 \text{ Schüler}$$
Visible text: **Fall** :
Component: MathContainer
Children:
```math
C(5,2) \times C(7,2) = \frac{5!}{3! \times 2!} \times \frac{7!}{5! \times 2!}
```
```math
= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 10 \times 21 = 210
```
**Fall** $$2$$: $$3 \text{ Schülerinnen} + 1 \text{ Schüler}$$
Visible text: **Fall** :
Component: MathContainer
Children:
```math
C(5,3) \times C(7,1) = \frac{5!}{2! \times 3!} \times \frac{7!}{6! \times 1!}
```
```math
= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 7 = 10 \times 7 = 70
```
**Fall** $$3$$: $$4 \text{ Schülerinnen} + 0 \text{ Schüler}$$
Visible text: **Fall** :
Component: MathContainer
Children:
```math
C(5,4) = \frac{5!}{1! \times 4!} = \frac{5}{1} = 5
```
**Gesamt:** $$210 + 70 + 5 = 285$$ Möglichkeiten
Visible text: **Gesamt:** Möglichkeiten
## Übungsaufgaben
Bearbeite jede Aufgabe zunächst selbst. Entscheide zuerst, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt, und notiere danach alle gültigen Fälle ohne Überschneidungen.
1. Auf wie viele Arten kannst du aus $$8 \text{ verschiedenen Büchern}$$ $$3 \text{ Bücher}$$ für die Ferien auswählen?
2. Eine Futsalmannschaft hat $$12 \text{ Spieler}$$. Auf wie viele Arten kann sie $$5 \text{ Spieler}$$ für das Spielfeld auswählen?
3. In einer Schachtel liegen $$6 \text{ rote Kugeln}$$ und $$4 \text{ blaue Kugeln}$$. Auf wie viele Arten lassen sich $$5 \text{ Kugeln}$$ auswählen, wenn mindestens $$3 \text{ rote Kugeln}$$ dabei sein müssen?
4. Ein Schüler wählt $$4 \text{ Fächer}$$ aus $$10 \text{ verfügbaren Fächern}$$. Davon sind $$6 \text{ Fächer}$$ naturwissenschaftlich und $$4 \text{ Fächer}$$ geisteswissenschaftlich. Wie viele Auswahlen enthalten mindestens $$2 \text{ naturwissenschaftliche Fächer}$$?
Visible text: 1. Auf wie viele Arten kannst du aus für die Ferien auswählen?
2. Eine Futsalmannschaft hat . Auf wie viele Arten kann sie für das Spielfeld auswählen?
3. In einer Schachtel liegen und . Auf wie viele Arten lassen sich auswählen, wenn mindestens dabei sein müssen?
4. Ein Schüler wählt aus . Davon sind naturwissenschaftlich und geisteswissenschaftlich. Wie viele Auswahlen enthalten mindestens ?
### Ausführliche Lösungen
1. **Antwort: $$56 \text{ Möglichkeiten}$$**
Lösungsschritte:
Gegeben: $$n = 8$$ Bücher, davon werden $$k = 3$$ ausgewählt
Kombinationsformel:
```math
C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}
```
```math
C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56
```
Es gibt also $$56 \text{ Möglichkeiten}$$, $$3 \text{ Bücher}$$ aus $$8 \text{ verfügbaren Büchern}$$ auszuwählen.
2. **Antwort: $$792 \text{ Möglichkeiten}$$**
Lösungsschritte:
Gegeben: $$n = 12$$ Spieler, davon werden $$k = 5$$ ausgewählt
Kombinationsformel:
```math
C(12,5) = \frac{12!}{7! \times 5!}
```
```math
C(12,5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95\,040}{120} = 792
```
Die Futsalmannschaft kann $$5 \text{ Spieler}$$ aus $$12 \text{ Spielern}$$ auf $$792 \text{ verschiedene Arten}$$ auswählen.
3. **Antwort: $$186 \text{ Möglichkeiten}$$**
Lösungsschritte (**Fallunterscheidung**):
Insgesamt liegen $$6 \text{ rote} + 4 \text{ blaue}$$, also $$10 \text{ Kugeln}$$, in der Schachtel.
Gesucht sind $$5 \text{ Kugeln}$$ mit mindestens $$3$$ roten Kugeln.
**Detaillierte Berechnung für jeden Fall:**
**Fall** $$1$$: $$3 \text{ rote} + 2 \text{ blaue}$$
```math
C(6,3) \times C(4,2) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 20 \times 6 = 120
```
**Fall** $$2$$: $$4 \text{ rote} + 1 \text{ blaue}$$
```math
C(6,4) \times C(4,1) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60
```
**Fall** $$3$$: $$5 \text{ rote} + 0 \text{ blaue}$$
```math
C(6,5) \times C(4,0) = \frac{6!}{1! \times 5!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}
```
```math
= 6 \times 1 = 6
```
**Gesamt:** $$120 + 60 + 6 = 186$$
Es gibt $$186 \text{ Möglichkeiten}$$, $$5 \text{ Kugeln}$$ mit mindestens $$3$$ roten Kugeln auszuwählen.
4. **Antwort: $$185 \text{ Möglichkeiten}$$**
Lösungsschritte (**Fallunterscheidung**):
Naturwissenschaftliche Fächer: $$6$$, geisteswissenschaftliche Fächer: $$4$$
Ausgewählt werden $$4 \text{ Fächer}$$ mit mindestens $$2 \text{ naturwissenschaftlichen}$$.
**Detaillierte Berechnung für jeden Fall:**
**Fall** $$1$$: $$2 \text{ naturwissenschaftliche} + 2 \text{ geisteswissenschaftliche}$$
```math
C(6,2) \times C(4,2) = \frac{6!}{4! \times 2!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90
```
**Fall** $$2$$: $$3 \text{ naturwissenschaftliche} + 1 \text{ geisteswissenschaftliches}$$
```math
C(6,3) \times C(4,1) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 4 = 20 \times 4 = 80
```
**Fall** $$3$$: $$4 \text{ naturwissenschaftliche} + 0 \text{ geisteswissenschaftliche}$$
```math
C(6,4) \times C(4,0) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}
```
```math
= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 1 = 15 \times 1 = 15
```
**Gesamt:** $$90 + 80 + 15 = 185$$
Unter dieser Bedingung gibt es $$185 \text{ Möglichkeiten}$$, die Fächer auszuwählen.
Visible text: 1. **Antwort: **
Lösungsschritte:
Gegeben: Bücher, davon werden ausgewählt
Kombinationsformel:
Es gibt also , aus auszuwählen.
2. **Antwort: **
Lösungsschritte:
Gegeben: Spieler, davon werden ausgewählt
Kombinationsformel:
Die Futsalmannschaft kann aus auf auswählen.
3. **Antwort: **
Lösungsschritte (**Fallunterscheidung**):
Insgesamt liegen , also , in der Schachtel.
Gesucht sind mit mindestens roten Kugeln.
**Detaillierte Berechnung für jeden Fall:**
**Fall** :
**Fall** :
**Fall** :
**Gesamt:**
Es gibt , mit mindestens roten Kugeln auszuwählen.
4. **Antwort: **
Lösungsschritte (**Fallunterscheidung**):
Naturwissenschaftliche Fächer: , geisteswissenschaftliche Fächer:
Ausgewählt werden mit mindestens .
**Detaillierte Berechnung für jeden Fall:**
**Fall** :
**Fall** :
**Fall** :
**Gesamt:**
Unter dieser Bedingung gibt es , die Fächer auszuwählen.