# Kreispermutation > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kombinatorik/kreispermutation Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/combinatorics/circular-permutation/de.mdx Kreispermutationen zählen relative Reihenfolgen. Beispiele erklären gleiche Rotationen, unterschiedliche Spiegelbilder und Anordnungen mit Zusatzbedingungen. --- ## Was ist eine Kreispermutation? Wenn an einem runden Tisch jede Person einen Platz im Uhrzeigersinn weiterrückt, bleiben die Sitznachbarn gleich. Eine **Kreispermutation** zählt deshalb die relative Reihenfolge und nicht die Bezeichnung einzelner Plätze. Das unterscheidet sie von einer linearen Permutation. In einer Reihe sind der erste und der letzte Platz eindeutig; im Kreis gibt es keinen ausgezeichneten Startpunkt. Jedes Objekt kann daher als Bezugspunkt dienen. Lineare Reihenfolgen, die sich nur durch eine Drehung unterscheiden, beschreiben **dieselbe Anordnung im Kreis**. ## Formel der Kreispermutation Für $$n$$ verschiedene Objekte gilt: Visible text: Für verschiedene Objekte gilt: ```math P_n = (n-1)! ``` Dabei gilt: - $$P_n$$ = Anzahl der Kreispermutationen von $$n$$ Objekten - $$n$$ = Anzahl der anzuordnenden Objekte - $$(n-1)!$$ = Fakultät von $$(n-1)$$ Visible text: - = Anzahl der Kreispermutationen von Objekten - = Anzahl der anzuordnenden Objekte - = Fakultät von **Warum ist die Formel $$(n-1)!$$ und nicht $$n!$$?** Visible text: **Warum ist die Formel und nicht ?** Eine gemeinsame Drehung aller Objekte erzeugt keine neue Anordnung. Das lässt sich an einem runden Tisch leicht erkennen. Angenommen, $$3$$ Kinder, $$A$$, $$B$$ und $$C$$, sitzen um einen runden Tisch. Die Reihenfolgen $$ABC$$, $$BCA$$ und $$CAB$$ sind **dieselbe Anordnung**, denn sie gehen durch Drehung ineinander über und ihre relativen Positionen bleiben gleich. Visible text: Angenommen, Kinder, , und , sitzen um einen runden Tisch. Die Reihenfolgen , und sind **dieselbe Anordnung**, denn sie gehen durch Drehung ineinander über und ihre relativen Positionen bleiben gleich. So entsteht die Formel: 1. Fixiere ein Objekt als **Bezugspunkt**, zum Beispiel Kind A. 2. Ordne alle übrigen Objekte relativ zu diesem Bezugspunkt an. 3. Es bleiben $$n-1$$ Objekte zum Anordnen. 4. Dafür gibt es $$(n-1)!$$ Möglichkeiten. Visible text: 1. Fixiere ein Objekt als **Bezugspunkt**, zum Beispiel Kind A. 2. Ordne alle übrigen Objekte relativ zu diesem Bezugspunkt an. 3. Es bleiben Objekte zum Anordnen. 4. Dafür gibt es Möglichkeiten. Für $$3$$ Kinder ergibt sich $$P_3 = (3-1)! = 2! = 2 \times 1 = 2 \text{ Anordnungen}$$. Visible text: Für Kinder ergibt sich . Die Formel $$(n-1)!$$ fasst gedrehte Anordnungen zusammen, zählt Spiegelbilder aber weiterhin getrennt. Das passt zu Personen, die zur Tischmitte schauen, denn eine gespiegelte Reihenfolge vertauscht die linken und rechten Nachbarn. Ein Armband lässt sich dagegen umdrehen. Bei $$n\geq3$$ verschiedenen Perlen bildet jede Kreisreihenfolge mit einem anderen Spiegelbild ein Paar. Daher bleiben $$\frac{(n-1)!}{2}$$ Anordnungen. Visible text: Die Formel fasst gedrehte Anordnungen zusammen, zählt Spiegelbilder aber weiterhin getrennt. Das passt zu Personen, die zur Tischmitte schauen, denn eine gespiegelte Reihenfolge vertauscht die linken und rechten Nachbarn. Ein Armband lässt sich dagegen umdrehen. Bei verschiedenen Perlen bildet jede Kreisreihenfolge mit einem anderen Spiegelbild ein Paar. Daher bleiben Anordnungen. ## Anwendungen Kreispermutationen treten in unterschiedlichen Situationen auf: **Sitzordnung am runden Tisch:** Fünf Lernende sitzen für eine Diskussion an einem runden Tisch. Die Anzahl der Sitzordnungen beträgt: ```math P_5 = (5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ Anordnungen} ``` **Traditionelle Spiele:** Acht Kinder stellen sich für ein Spiel im Kreis auf. Die Anzahl der verschiedenen Formationen ist: ```math P_8 = (8-1)! = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5\,040 \text{ Anordnungen} ``` **Situationen mit besonderen Bedingungen:** Bei **Zusatzbedingungen**, etwa wenn bestimmte Objekte nebeneinanderliegen müssen, hilft die **Blockmethode**: Beispiel: $$4$$ Ehepaare sitzen im Kreis, wobei die beiden Personen jedes Paares nebeneinandersitzen müssen. Visible text: Beispiel: Ehepaare sitzen im Kreis, wobei die beiden Personen jedes Paares nebeneinandersitzen müssen. **Lösungsstrategie:** 1. **Fasse** jedes Paar zu einem Block zusammen: $$4 \text{ Blöcke}$$. 2. **Ordne die Blöcke** im Kreis an: $$(4-1)! = 3! = 6 \text{ Anordnungen}$$. 3. **Vertausche die Plätze** innerhalb jedes Paares: $$2! \text{ Möglichkeiten}$$ pro Paar. 4. **Multipliziere:** $$3! \times (2!)^4 = 6 \times 2^4 = 6 \times 16 = 96 \text{ Anordnungen}$$. Visible text: 1. **Fasse** jedes Paar zu einem Block zusammen: . 2. **Ordne die Blöcke** im Kreis an: . 3. **Vertausche die Plätze** innerhalb jedes Paares: pro Paar. 4. **Multipliziere:** . ## Übungsaufgaben 1. Es gibt $$6$$ Freunde, die am Lagerfeuer sitzen. Auf wie viele Arten können sie sitzen? 2. Aus $$8$$ Perlen in verschiedenen Farben wird ein Armband gefertigt. Wenn Drehungen und umgedrehte Spiegelbilder als dasselbe Armband gelten, wie viele Anordnungen sind dann möglich? 3. $$5$$ Ehepaare sitzen an einem runden Tisch. Die beiden Personen jedes Paares sollen nebeneinandersitzen. Wie viele Sitzordnungen sind möglich? 4. $$7$$ Lernende stellen sich im Kreis auf. Zwei bestimmte Personen dürfen nicht nebeneinanderstehen. Wie viele Anordnungen sind möglich? Visible text: 1. Es gibt Freunde, die am Lagerfeuer sitzen. Auf wie viele Arten können sie sitzen? 2. Aus Perlen in verschiedenen Farben wird ein Armband gefertigt. Wenn Drehungen und umgedrehte Spiegelbilder als dasselbe Armband gelten, wie viele Anordnungen sind dann möglich? 3. Ehepaare sitzen an einem runden Tisch. Die beiden Personen jedes Paares sollen nebeneinandersitzen. Wie viele Sitzordnungen sind möglich? 4. Lernende stellen sich im Kreis auf. Zwei bestimmte Personen dürfen nicht nebeneinanderstehen. Wie viele Anordnungen sind möglich? ### Lösungen 1. **Antwort: $$120 \text{Wege}$$** Rechenweg: - Gegeben: $$n = 6 \text{ Personen}$$ - Formel der Kreispermutation: $$P_n = (n-1)!$$ - $$P_6 = (6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$ Die $$6 \text{ Personen}$$ können also in $$120$$ verschiedenen Sitzordnungen am Lagerfeuer sitzen. 2. **Antwort: $$2\,520 \text{Wege}$$** Rechenweg: - Zunächst zählen gedrehte Anordnungen als gleich: $$P_8 = (8-1)! = 7!$$ - $$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5\,040$$ - Durch Umdrehen des Armbands wird jede Reihenfolge im Uhrzeigersinn mit ihrem Spiegelbild gegen den Uhrzeigersinn identisch. - Da alle Perlen verschieden sind, bilden diese Anordnungen Paare. Deshalb teilen wir durch $$2$$. - $$\frac{5\,040}{2} = 2\,520$$ Es gibt $$2\,520$$ verschiedene Armbänder. 3. **Antwort: $$768 \text{Wege}$$** Rechenweg: - Gegeben: $$5$$ Ehepaare, also $$10 \text{ Personen}$$; jedes Paar soll zusammensitzen. - **Blockmethode:** Jedes Paar bildet einen Block: $$5 \text{ Blöcke}$$. - Kreispermutation der $$5 \text{ Blöcke}$$: $$(5-1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$. - Innerhalb jedes Paares sind $$2! = 2 \text{ Anordnungen}$$ möglich. - Gesamt: $$24 \times 2^5 = 24 \times 32 = 768$$ Damit erfüllen $$768$$ Sitzordnungen die Bedingung. 4. **Antwort: $$480 \text{Wege}$$** Rechenweg mit der **Komplementmethode**: - Ohne Einschränkung gibt es $$(7-1)! = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$ Anordnungen. - Für die unerwünschten Fälle fassen wir die $$2 \text{ Lernenden}$$ zu einem Block zusammen. - Damit liegen $$6$$ Blöcke im Kreis. Sie lassen sich auf $$(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$ Arten anordnen. - Die $$2 \text{ Lernenden}$$ im Block können ihre Plätze tauschen. Das ergibt $$2! = 2$$ innere Anordnungen. - Gesamtzahl benachbarter Anordnungen: $$120 \times 2 = 240$$ - **Gesuchte Anordnungen:** $$720 - 240 = 480$$ Somit gibt es $$480 \text{ Anordnungen}$$, bei denen die beiden Lernenden nicht nebeneinanderstehen. Visible text: 1. **Antwort: ** Rechenweg: - Gegeben: - Formel der Kreispermutation: - Die können also in verschiedenen Sitzordnungen am Lagerfeuer sitzen. 2. **Antwort: ** Rechenweg: - Zunächst zählen gedrehte Anordnungen als gleich: - - Durch Umdrehen des Armbands wird jede Reihenfolge im Uhrzeigersinn mit ihrem Spiegelbild gegen den Uhrzeigersinn identisch. - Da alle Perlen verschieden sind, bilden diese Anordnungen Paare. Deshalb teilen wir durch . - Es gibt verschiedene Armbänder. 3. **Antwort: ** Rechenweg: - Gegeben: Ehepaare, also ; jedes Paar soll zusammensitzen. - **Blockmethode:** Jedes Paar bildet einen Block: . - Kreispermutation der : . - Innerhalb jedes Paares sind möglich. - Gesamt: Damit erfüllen Sitzordnungen die Bedingung. 4. **Antwort: ** Rechenweg mit der **Komplementmethode**: - Ohne Einschränkung gibt es Anordnungen. - Für die unerwünschten Fälle fassen wir die zu einem Block zusammen. - Damit liegen Blöcke im Kreis. Sie lassen sich auf Arten anordnen. - Die im Block können ihre Plätze tauschen. Das ergibt innere Anordnungen. - Gesamtzahl benachbarter Anordnungen: - **Gesuchte Anordnungen:** Somit gibt es , bei denen die beiden Lernenden nicht nebeneinanderstehen.