# Newtonscher Binomialsatz > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kombinatorik/newtonscher-binomialsatz Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/combinatorics/binomial-newton/de.mdx Der binomische Lehrsatz entwickelt Potenzen einer Summe. Beispiele und Aufgaben zeigen, wie man bestimmte und konstante Terme über ihre Koeffizienten findet. --- ## Was besagt der binomische Lehrsatz? $$(x + y)^{10}$$ durch wiederholtes Ausmultiplizieren zu berechnen, wäre mühsam. Der **binomische Lehrsatz** schreibt $$(x + y)^n$$ direkt als Summe einfacherer Terme. Visible text: durch wiederholtes Ausmultiplizieren zu berechnen, wäre mühsam. Der **binomische Lehrsatz** schreibt direkt als Summe einfacherer Terme. Die Koeffizienten folgen einem festen Muster. Wer dieses Muster verstanden hat, kann dieselbe Formel für jede nichtnegative ganzzahlige Potenz verwenden. Für die ersten Potenzen sieht das Muster so aus: Component: MathContainer Children: ```math (x + y)^0 = 1 ``` ```math (x + y)^1 = x + y ``` ```math (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ``` ```math (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 ``` ```math (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 ``` Die Koeffizienten ändern sich mit der Potenz, ihre Positionen folgen jedoch immer derselben Regel. ## Allgemeine Formel und Binomialkoeffizienten Die allgemeine Formel lautet: ```math (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k ``` Dabei ist $$\binom{n}{k}$$ der **Binomialkoeffizient**, der mit der Formel berechnet wird: Visible text: Dabei ist der **Binomialkoeffizient**, der mit der Formel berechnet wird: ```math \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ``` Der Binomialkoeffizient wird als „$$n$$ über $$k$$“ gelesen. Er zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, $$k$$ Objekte aus $$n$$ Objekten auszuwählen. Visible text: Der Binomialkoeffizient wird als „ über “ gelesen. Er zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, Objekte aus Objekten auszuwählen. Ausgeschrieben hat die Entwicklung die Form: ```math (x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + \cdots + \binom{n}{n}y^n ``` Jeder Term der Entwicklung hat die Struktur $$\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$$. Die Exponenten von $$x$$ und $$y$$ ergeben zusammen stets $$n$$. Visible text: Jeder Term der Entwicklung hat die Struktur . Die Exponenten von und ergeben zusammen stets . ## Einen bestimmten Koeffizienten bestimmen Mit dem binomischen Lehrsatz lässt sich der Koeffizient eines bestimmten Terms bestimmen, ohne die gesamte Potenz auszumultiplizieren. Gesucht ist der Koeffizient von $$x^2$$ in der Entwicklung von $$(1 - x)^{2014}$$. Visible text: Gesucht ist der Koeffizient von in der Entwicklung von . Zuerst schreiben wir den Ausdruck mit $$a = 1$$, $$b = -x$$ und $$n = 2014$$ in der Standardform: Visible text: Zuerst schreiben wir den Ausdruck mit , und in der Standardform: ```math (1 + (-x))^{2014} = \sum_{k=0}^{2014} \binom{2014}{k} (1)^{2014-k} (-x)^k ``` Damit der Term $$x^2$$ enthält, muss $$k = 2$$ gelten: Visible text: Damit der Term enthält, muss gelten: ```math \binom{2014}{2} (1)^{2012} (-x)^2 = \binom{2014}{2} \cdot 1 \cdot x^2 = \binom{2014}{2} x^2 ``` Nun berechnen wir den Binomialkoeffizienten: Component: MathContainer Children: ```math \binom{2014}{2} = \frac{2014!}{2!(2014-2)!} = \frac{2014 \times 2013}{2 \times 1} ``` ```math = \frac{4{.}054{.}182}{2} = 2{.}027{.}091 ``` Der gesuchte Koeffizient von $$x^2$$ ist also $$2{.}027{.}091$$. Visible text: Der gesuchte Koeffizient von ist also . ## Den konstanten Term finden Ein konstanter Term enthält keine Variable. Wir suchen deshalb den Term, bei dem der Exponent jeder Variablen null ist. **Beispiel:** Bestimme den konstanten Term von $$\left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8$$. Visible text: **Beispiel:** Bestimme den konstanten Term von . Wir schreiben den Ausdruck mit $$a = 3x^3$$ und $$b = -\frac{2}{x}$$ in Binomialform: Visible text: Wir schreiben den Ausdruck mit und in Binomialform: ```math \left(3x^3 - \frac{2}{x}\right)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (3x^3)^{8-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k ``` Der allgemeine Term lautet: Component: MathContainer Children: ```math \binom{8}{k} (3x^3)^{8-k} \left(-\frac{2}{x}\right)^k = \binom{8}{k} \cdot (3)^{8-k} \cdot (x^3)^{8-k} \cdot (-2)^k \cdot (x^{-1})^k ``` ```math = \binom{8}{k} \cdot 3^{8-k} \cdot (-2)^k \cdot x^{3(8-k)} \cdot x^{-k} ``` ```math = \binom{8}{k} \cdot 3^{8-k} \cdot (-2)^k \cdot x^{24-3k-k} = \binom{8}{k} \cdot 3^{8-k} \cdot (-2)^k \cdot x^{24-4k} ``` Für den konstanten Term muss die Potenz von $$x$$ Null sein: Visible text: Für den konstanten Term muss die Potenz von Null sein: ```math 24 - 4k = 0 \Rightarrow 4k = 24 \Rightarrow k = 6 ``` Setzen wir $$k = 6$$ ein: Visible text: Setzen wir ein: Component: MathContainer Children: ```math \binom{8}{6} \cdot 3^{8-6} \cdot (-2)^6 \cdot x^0 = \binom{8}{6} \cdot 3^2 \cdot (-2)^6 ``` ```math = \frac{8!}{6! \cdot 2!} \cdot 9 \cdot 64 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \cdot 9 \cdot 64 ``` ```math = 28 \cdot 9 \cdot 64 = 252 \cdot 64 = 16{.}128 ``` Hier gilt $$(-2)^6 = 64$$: Eine negative Zahl mit geradem Exponenten ergibt einen positiven Wert, ebenso wie $$(+2)^6 = 64$$. Visible text: Hier gilt : Eine negative Zahl mit geradem Exponenten ergibt einen positiven Wert, ebenso wie . Der konstante Term ist somit $$16{.}128$$. Visible text: Der konstante Term ist somit . ## Problemlösungsstrategie Bei Aufgaben zum binomischen Lehrsatz helfen vier klare Schritte: 1. **Bestimme die Bestandteile** der Form $$(a + b)^n$$ und lies $$a$$, $$b$$ und $$n$$ sorgfältig ab. 2. **Kläre, was gesucht ist:** ein bestimmter Koeffizient, ein konstanter Term oder ein Term mit vorgegebenem Exponenten. 3. **Setze die allgemeine Termformel ein:** $$\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$. Bestimme anschließend den passenden Index aus der gesuchten Potenz. 4. **Rechne sorgfältig** und prüfe dabei Vorzeichen, Potenzen und den Binomialkoeffizienten. Visible text: 1. **Bestimme die Bestandteile** der Form und lies , und sorgfältig ab. 2. **Kläre, was gesucht ist:** ein bestimmter Koeffizient, ein konstanter Term oder ein Term mit vorgegebenem Exponenten. 3. **Setze die allgemeine Termformel ein:** . Bestimme anschließend den passenden Index aus der gesuchten Potenz. 4. **Rechne sorgfältig** und prüfe dabei Vorzeichen, Potenzen und den Binomialkoeffizienten. **Beispiel zur Strategie:** Bestimme den Koeffizienten von $$x^5$$ in der Entwicklung von $$(2x + 3)^8$$. Visible text: Bestimme den Koeffizienten von in der Entwicklung von . 1. **Bestandteile bestimmen** Aus $$(2x + 3)^8$$ erhalten wir: - $$a = 2x$$ - $$b = 3$$ - $$n = 8$$ 2. **Gesuchten Term bestimmen** Gesucht ist der Koeffizient des Terms mit $$x^5$$. 3. **Allgemeine Termformel verwenden** Allgemeiner Term: $$\binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k$$ Ausmultipliziert ergibt der allgemeine Term: ```math \binom{8}{k} (2x)^{8-k} (3)^k = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{8-k} \cdot 3^k = \binom{8}{k} \cdot 2^{8-k} \cdot 3^k \cdot x^{8-k} ``` Für $$x^5$$ muss $$8-k = 5$$ gelten. Daher ist $$k = 3$$. 4. **Koeffizienten berechnen** Wir setzen $$k = 3$$ ein: ```math \binom{8}{3} \cdot 2^{8-3} \cdot 3^3 \cdot x^5 = \binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot 3^3 \cdot x^5 ``` ```math = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5 ``` ```math = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5 ``` ```math = 56 \cdot 32 \cdot 27 \cdot x^5 ``` ```math = 1{.}792 \cdot 27 \cdot x^5 = 48{.}384x^5 ``` Der Koeffizient von $$x^5$$ ist $$48{.}384$$. Visible text: 1. **Bestandteile bestimmen** Aus erhalten wir: - - - 2. **Gesuchten Term bestimmen** Gesucht ist der Koeffizient des Terms mit . 3. **Allgemeine Termformel verwenden** Allgemeiner Term: Ausmultipliziert ergibt der allgemeine Term: Für muss gelten. Daher ist . 4. **Koeffizienten berechnen** Wir setzen ein: Der Koeffizient von ist . Zwei Kontrollen helfen, Rechenfehler zu finden: **Jeder Term der Entwicklung** hat den Gesamtgrad $$n$$, und die Binomialkoeffizienten sind symmetrisch: $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$. Visible text: Zwei Kontrollen helfen, Rechenfehler zu finden: **Jeder Term der Entwicklung** hat den Gesamtgrad , und die Binomialkoeffizienten sind symmetrisch: . ## Übungen 1. Bestimme den Koeffizienten von $$x^4$$ in der Entwicklung von $$(2x - 3)^7$$. 2. Berechne den konstanten Term von $$\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^9$$. 3. Bestimme in der Entwicklung von $$(1 + 2x)^{10}$$ den Term, der $$x^3$$ enthält. Visible text: 1. Bestimme den Koeffizienten von in der Entwicklung von . 2. Berechne den konstanten Term von . 3. Bestimme in der Entwicklung von den Term, der enthält. ### Lösungen 1. **Lösung:** Schreibe den Ausdruck mit $$a = 2x$$, $$b = -3$$ und $$n = 7$$ in Binomialform. Allgemeiner Term: $$\binom{7}{k} (2x)^{7-k} (-3)^k = \binom{7}{k} \cdot 2^{7-k} \cdot (-3)^k \cdot x^{7-k}$$ Für den Koeffizienten von $$x^4$$ muss $$7-k = 4$$ gelten. Somit ist $$k = 3$$. ```math \binom{7}{3} \cdot 2^{7-3} \cdot (-3)^3 = \binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-3)^3 ``` ```math = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot 16 \cdot (-27) ``` ```math = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \cdot 16 \cdot (-27) ``` ```math = 35 \cdot 16 \cdot (-27) = 560 \cdot (-27) = -15{.}120 ``` Der Koeffizient von $$x^4$$ ist $$-15{.}120$$. 2. **Lösung:** Schreibe den Ausdruck mit $$a = x^2$$, $$b = \frac{1}{x}$$ und $$n = 9$$ in Binomialform. ```math \text{Allgemeiner Term: } \binom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = \binom{9}{k} \cdot x^{2(9-k)} \cdot x^{-k} ``` ```math = \binom{9}{k} \cdot x^{18-2k} \cdot x^{-k} = \binom{9}{k} \cdot x^{18-2k-k} = \binom{9}{k} \cdot x^{18-3k} ``` Für den konstanten Term muss die Potenz von $$x$$ Null sein: $$18-3k = 0$$, also $$k = 6$$. ```math \binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 ``` Der konstante Term ist $$84$$. 3. **Lösung:** Schreibe den Ausdruck mit $$a = 1$$, $$b = 2x$$ und $$n = 10$$ in Binomialform. Allgemeiner Term: $$\binom{10}{k} (1)^{10-k} (2x)^k = \binom{10}{k} \cdot 2^k \cdot x^k$$ Für den Term mit $$x^3$$ gilt $$k = 3$$. ```math \binom{10}{3} \cdot 2^3 \cdot x^3 = 120 \cdot 8 \cdot x^3 = 960x^3 ``` Der gesuchte Term mit $$x^3$$ ist $$960x^3$$. Visible text: 1. **Lösung:** Schreibe den Ausdruck mit , und in Binomialform. Allgemeiner Term: Für den Koeffizienten von muss gelten. Somit ist . Der Koeffizient von ist . 2. **Lösung:** Schreibe den Ausdruck mit , und in Binomialform. Für den konstanten Term muss die Potenz von Null sein: , also . Der konstante Term ist . 3. **Lösung:** Schreibe den Ausdruck mit , und in Binomialform. Allgemeiner Term: Für den Term mit gilt . Der gesuchte Term mit ist .