# Permutationen mit identischen Objekten
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Sind einige Objekte nicht unterscheidbar, zählt die Multinomialformel nur die sichtbaren Anordnungen. Beispiele mit Buchstaben, Farben und Ziffern zeigen den vollständigen Rechenweg.
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## Warum identische Objekte die Anzahl ändern
Eine **Permutation mit identischen Objekten** zählt Anordnungen, bei denen sich einige Objekte nicht voneinander unterscheiden lassen. Ihre Anzahl ist kleiner als bei einer gewöhnlichen Permutation, denn **der Austausch identischer Objekte erzeugt keine neue Anordnung**.
Das Wort „MAMA“ zeigt den Grund. Es besteht aus $$4$$ Buchstaben, aber die beiden $$M$$ sind ebenso wenig unterscheidbar wie die beiden $$A$$. Würden wir die Kopien vorübergehend beschriften, zählte ein Tausch der Beschriftungen als neue Permutation, obwohl das sichtbare Wort unverändert bliebe.
Visible text: Das Wort „MAMA“ zeigt den Grund. Es besteht aus Buchstaben, aber die beiden sind ebenso wenig unterscheidbar wie die beiden . Würden wir die Kopien vorübergehend beschriften, zählte ein Tausch der Beschriftungen als neue Permutation, obwohl das sichtbare Wort unverändert bliebe.
## Formel für Permutationen mit identischen Objekten
Sind $$n$$ Objekte in Gruppen identischer Objekte aufgeteilt, ergibt sich **die Anzahl der verschiedenen Anordnungen** aus:
Visible text: Sind Objekte in Gruppen identischer Objekte aufgeteilt, ergibt sich **die Anzahl der verschiedenen Anordnungen** aus:
Component: MathContainer
Children:
```math
P = \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times r_3! \times \cdots \times r_k!}
```
**Erklärung:**
- $$n$$ = Gesamtzahl der Objekte
- $$r_1, r_2, r_3, \ldots, r_k$$ = Anzahl identischer Objekte in jeder Gruppe
- $$k$$ = Anzahl der Gruppen identischer Objekte
- Die Häufigkeiten umfassen jedes Objekt, also $$r_1 + r_2 + \cdots + r_k = n$$
Visible text: - = Gesamtzahl der Objekte
- = Anzahl identischer Objekte in jeder Gruppe
- = Anzahl der Gruppen identischer Objekte
- Die Häufigkeiten umfassen jedes Objekt, also
**So bestimmen wir die Gruppen:** Wir zählen, wie oft jedes unterschiedliche Objekt vorkommt. Die Division durch $$r_i!$$ entfernt dann die mehrfach gezählten Beschriftungen innerhalb der jeweiligen Gruppe.
Visible text: **So bestimmen wir die Gruppen:** Wir zählen, wie oft jedes unterschiedliche Objekt vorkommt. Die Division durch entfernt dann die mehrfach gezählten Beschriftungen innerhalb der jeweiligen Gruppe.
## Anwendung auf Wörter und Buchstaben
### Beispielwort KALIMANTAN
Am Wort „KALIMANTAN“ lässt sich der Rechenweg vollständig verfolgen.
**Buchstaben erfassen:**
Zuerst schreiben wir alle Buchstaben auf: K-A-L-I-M-A-N-T-A-N
Gesamtzahl der Buchstaben: $$10$$
Visible text: Gesamtzahl der Buchstaben:
Häufigkeiten: $$K$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor, $$A$$ kommt $$3 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$2, 6, 9$$), $$L$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor, $$I$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor, $$M$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor, $$N$$ kommt $$2 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$7, 10$$) und $$T$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor.
Visible text: Häufigkeiten: kommt vor, kommt vor (Positionen ), kommt vor, kommt vor, kommt vor, kommt vor (Positionen ) und kommt vor.
**Berechnung:**
Component: MathContainer
Children:
```math
P = \frac{10!}{1! \times 3! \times 1! \times 1! \times 1! \times 2! \times 1!}
```
```math
= \frac{10!}{3! \times 2!}
```
Zuerst kürzen wir die gemeinsamen Faktoren:
Component: MathContainer
Children:
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2}
```
Nun rechnen wir schrittweise:
- Zuerst teilen wir $$10$$ durch $$2$$: $$\frac{10}{2} = 5$$
- Es bleibt: $$5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$$
- $$= 5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 302\,400$$
Visible text: - Zuerst teilen wir durch :
- Es bleibt:
-
### Beispielwort PALAPA
Das Wort „PALAPA“ hat $$6$$ Buchstaben:
Wir schreiben sie der Reihe nach auf: P-A-L-A-P-A
Visible text: Das Wort „PALAPA“ hat Buchstaben:
Wir schreiben sie der Reihe nach auf: P-A-L-A-P-A
**Häufigkeiten:** $$P$$ kommt $$2 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$1, 5$$), $$A$$ kommt $$3 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$2, 4, 6$$) und $$L$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor.
Visible text: **Häufigkeiten:** kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ) und kommt vor.
Die benötigten Fakultäten sind:
- $$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$
- $$2! = 2 \times 1 = 2$$
- $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$
Visible text: -
-
-
Die Berechnung lautet also:
Component: MathContainer
Children:
```math
P = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2 \times 1}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}
```
Wir vereinfachen, indem wir $$6$$ durch $$2$$ teilen:
Visible text: Wir vereinfachen, indem wir durch teilen:
- $$\frac{6}{2} = 3$$
- Damit erhalten wir $$3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ Anordnungen}$$.
Visible text: -
- Damit erhalten wir .
## Systematische Berechnungsschritte
Für Aufgaben mit identischen Objekten hilft dieses feste Vorgehen:
1. **Gesamtzahl bestimmen**: Lies den Wert von $$n$$ ab.
2. **Identische Objekte gruppieren**: Fasse gleiche Objekte zusammen.
3. **Häufigkeiten zählen**: Bestimme, wie oft jedes Objekt vorkommt.
4. **Formel einsetzen**: Übertrage die Häufigkeiten in die Permutationsformel.
5. **Fakultäten berechnen**: Kürze zuerst und rechne dann sorgfältig aus.
Visible text: 1. **Gesamtzahl bestimmen**: Lies den Wert von ab.
2. **Identische Objekte gruppieren**: Fasse gleiche Objekte zusammen.
3. **Häufigkeiten zählen**: Bestimme, wie oft jedes Objekt vorkommt.
4. **Formel einsetzen**: Übertrage die Häufigkeiten in die Permutationsformel.
5. **Fakultäten berechnen**: Kürze zuerst und rechne dann sorgfältig aus.
### Wort BANANA
Nun wenden wir die Schritte auf das Wort „BANANA“ an:
1. **Gesamtzahl der Objekte**
Wir schreiben die Buchstaben der Reihe nach auf: B-A-N-A-N-A
Gesamtzahl der Buchstaben: $$n = 6$$
2. **Identische Objekte gruppieren**
Gleiche Buchstaben gehören in dieselbe Gruppe:
- B-Gruppe: B
- A-Gruppe: A, A, A
- N-Gruppe: N, N
3. **Häufigkeiten zählen**
Nun zählen wir jede Gruppe:
- $$B$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor.
- $$A$$ kommt $$3 \text{ Mal}$$ vor.
- $$N$$ kommt $$2 \text{ Mal}$$ vor.
4. **Formel anwenden**
Wir setzen die Häufigkeiten in die Formel ein:
```math
P = \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times r_3!}
```
```math
P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}
```
5. **Fakultät berechnen**
Zuerst vereinfachen wir den Bruch:
```math
P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{1! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}
```
Nach dem Kürzen rechnen wir aus:
- Wir teilen $$6$$ durch $$2$$: $$\frac{6}{2} = 3$$
- Es bleibt: $$3 \times 5 \times 4 = 60$$
Visible text: 1. **Gesamtzahl der Objekte**
Wir schreiben die Buchstaben der Reihe nach auf: B-A-N-A-N-A
Gesamtzahl der Buchstaben:
2. **Identische Objekte gruppieren**
Gleiche Buchstaben gehören in dieselbe Gruppe:
- B-Gruppe: B
- A-Gruppe: A, A, A
- N-Gruppe: N, N
3. **Häufigkeiten zählen**
Nun zählen wir jede Gruppe:
- kommt vor.
- kommt vor.
- kommt vor.
4. **Formel anwenden**
Wir setzen die Häufigkeiten in die Formel ein:
5. **Fakultät berechnen**
Zuerst vereinfachen wir den Bruch:
Nach dem Kürzen rechnen wir aus:
- Wir teilen durch :
- Es bleibt:
Das Wort „BANANA“ besitzt also **$$60$$ verschiedene Anordnungen**.
Visible text: Das Wort „BANANA“ besitzt also ** verschiedene Anordnungen**.
## Unterschied zur gewöhnlichen Permutation
**Gewöhnliche Permutation**: Alle Objekte sind verschieden; die Formel lautet $$n!$$.
Visible text: **Gewöhnliche Permutation**: Alle Objekte sind verschieden; die Formel lautet .
**Permutation mit identischen Objekten**: Gleiche Objekte erzeugen keine neue sichtbare Anordnung; die Formel lautet:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{n!}{r_1! \times r_2! \times \cdots \times r_k!}
```
**Vergleichsbeispiel:**
Die verschiedenen Buchstaben A, B, C, D lassen sich auf $$4! = 24 \text{ Arten}$$ anordnen.
Visible text: Die verschiedenen Buchstaben A, B, C, D lassen sich auf anordnen.
Bei den Buchstaben $$A, A, B, C$$ sind zwei Objekte identisch:
Visible text: Bei den Buchstaben sind zwei Objekte identisch:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \text{ Anordnungen}
```
Identische Objekte **verringern** die Anzahl, weil ihr Austausch keine neue sichtbare Anordnung erzeugt.
## Übungen
1. Wie viele Buchstabenanordnungen können aus dem Wort „MATEMATIKA“ gebildet werden?
2. Ein Blumenladen ordnet $$8$$ Rosen in einer Reihe. Nur die Farbe zählt: $$3$$ sind rot, $$3$$ sind weiß und $$2$$ sind gelb. Wie viele Farbanordnungen sind möglich?
3. Wie viele Zahlen lassen sich aus den Ziffern $$1, 1, 2, 2, 2, 3$$ als $$6$$-stellige Zahlen bilden?
4. Wie viele verschiedene Buchstabenanordnungen hat das Wort „INDONESIA“?
Visible text: 1. Wie viele Buchstabenanordnungen können aus dem Wort „MATEMATIKA“ gebildet werden?
2. Ein Blumenladen ordnet Rosen in einer Reihe. Nur die Farbe zählt: sind rot, sind weiß und sind gelb. Wie viele Farbanordnungen sind möglich?
3. Wie viele Zahlen lassen sich aus den Ziffern als -stellige Zahlen bilden?
4. Wie viele verschiedene Buchstabenanordnungen hat das Wort „INDONESIA“?
### Lösungen
1. Das Wort „MATEMATIKA“ hat $$10$$ Buchstaben
**Buchstaben nacheinander:** M-A-T-E-M-A-T-I-K-A
**Häufigkeiten:** $$M$$ kommt $$2 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$1, 5$$), $$A$$ kommt $$3 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$2, 6, 10$$), $$T$$ kommt $$2 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$3, 7$$), $$E$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor, $$I$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor und $$K$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
```math
P = \frac{10!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2! \times 2!}
```
```math
= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{4}
```
Danach rechnen wir aus:
- Das Produkt ist $$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 604\,800$$.
- Durch $$4$$ geteilt ergibt das $$\frac{604\,800}{4} = 151\,200 \text{ Anordnungen}$$.
2. Es gibt $$8$$ Farbpositionen: Rot kommt $$3$$-mal vor, Weiß $$3$$-mal und Gelb $$2$$-mal.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
```math
P = \frac{8!}{3! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3! \times 2!}
```
```math
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{3! \times 2!}
```
```math
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 2}
```
```math
= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{12}
```
Danach rechnen wir weiter:
- Wir kürzen $$6$$ gegen $$12$$: $$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$.
- Es bleibt: $$8 \times 7 \times \frac{1}{2} \times 5 \times 4$$.
- $$= 4 \times 7 \times 5 \times 4 = 560 \text{ Anordnungen}$$
3. Ziffern $$1, 1, 2, 2, 2, 3$$ (insgesamt $$6$$ Ziffern)
**Häufigkeiten:** Die Ziffer $$1$$ kommt $$2 \text{ Mal}$$ vor, die Ziffer $$2$$ kommt $$3 \text{ Mal}$$ vor und die Ziffer $$3$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
```math
P = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2!}
```
```math
= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}
```
Danach rechnen wir aus:
- Wir teilen $$6$$ durch $$2$$: $$\frac{6}{2} = 3$$.
- Damit erhalten wir $$3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ Zahlen}$$.
4. Das Wort „INDONESIA“ hat $$9$$ Buchstaben
**Buchstaben nacheinander:** I-N-D-O-N-E-S-I-A
**Häufigkeiten:** $$I$$ kommt $$2 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$1, 8$$), $$N$$ kommt $$2 \text{ Mal}$$ vor (Positionen $$2, 5$$), $$D$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor, $$O$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor, $$E$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor, $$S$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor und $$A$$ kommt $$1 \text{ Mal}$$ vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
```math
P = \frac{9!}{2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!}
```
```math
= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2! \times 2!}
```
```math
= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2!}
```
```math
= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2}
```
Danach rechnen wir aus:
- Wir teilen durch $$2$$: $$\frac{8}{2} = 4$$.
- Es bleibt: $$9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3$$.
- $$= 9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 90\,720 \text{ Anordnungen}$$
Visible text: 1. Das Wort „MATEMATIKA“ hat Buchstaben
**Buchstaben nacheinander:** M-A-T-E-M-A-T-I-K-A
**Häufigkeiten:** kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor, kommt vor und kommt vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
- Das Produkt ist .
- Durch geteilt ergibt das .
2. Es gibt Farbpositionen: Rot kommt -mal vor, Weiß -mal und Gelb -mal.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir weiter:
- Wir kürzen gegen : .
- Es bleibt: .
-
3. Ziffern (insgesamt Ziffern)
**Häufigkeiten:** Die Ziffer kommt vor, die Ziffer kommt vor und die Ziffer kommt vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
- Wir teilen durch : .
- Damit erhalten wir .
4. Das Wort „INDONESIA“ hat Buchstaben
**Buchstaben nacheinander:** I-N-D-O-N-E-S-I-A
**Häufigkeiten:** kommt vor (Positionen ), kommt vor (Positionen ), kommt vor, kommt vor, kommt vor, kommt vor und kommt vor.
Wir kürzen zunächst die gemeinsamen Faktoren:
Danach rechnen wir aus:
- Wir teilen durch : .
- Es bleibt: .
-