# Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kombinatorik/unvereinbare-ereignisse Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/combinatorics/probability-of-mutually-exclusive-events/de.mdx Disjunkte Ereignisse erkennen, von unabhängigen Ereignissen unterscheiden und ihre Wahrscheinlichkeiten ohne Doppelzählung addieren. --- ## Disjunkte Ereignisse verstehen Manche Ereignisse können **nicht im selben Versuch gemeinsam eintreten**. Bei einem einzelnen Münzwurf erscheint zum Beispiel entweder Kopf oder Zahl, niemals beides zugleich. Solche Ereignisse heißen disjunkt oder sich gegenseitig ausschließend. **Disjunkte Ereignisse** können innerhalb desselben Zufallsversuchs nicht gemeinsam eintreten. Tritt eines ein, ist das andere in diesem Versuch ausgeschlossen. Ziehst du eine Karte aus einem üblichen Kartenspiel, kann sie nicht zugleich rot und schwarz sein. Die beiden Farbereignisse sind disjunkt, weil keine Karte beide Bedingungen erfüllt. ## Merkmale disjunkter Ereignisse ### Leere Schnittmenge Disjunkte Ereignisse haben **keine gemeinsamen Ergebnisse**. Sind $$A$$ und $$B$$ disjunkt, dann gilt: Visible text: Disjunkte Ereignisse haben **keine gemeinsamen Ergebnisse**. Sind und disjunkt, dann gilt: ```math A \cap B = \emptyset ``` Das Symbol $$\emptyset$$ weist auf eine leere Menge hin, was bedeutet, dass es keine gemeinsamen Elemente zwischen den beiden Ereignissen gibt. Visible text: Das Symbol weist auf eine leere Menge hin, was bedeutet, dass es keine gemeinsamen Elemente zwischen den beiden Ereignissen gibt. ### Einfache Beispiele Diese Ereignispaare schließen sich jeweils aus: - bei einem Würfelwurf: gerade Zahl und ungerade Zahl - beim Ziehen einer Karte: Ass und König - für dieselbe Person in einem Rennen: erster und zweiter Platz ### Disjunkte Ereignisse erkennen Frage: „Kann ein einziges Ergebnis beide Bedingungen erfüllen?“ Lautet die Antwort nein, sind die Ereignisse disjunkt. ## Additionsregel für disjunkte Ereignisse Da disjunkte Ereignisse keine Schnittmenge haben, vereinfacht sich die **Additionsregel** zu: ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) ``` Die Wahrscheinlichkeit für $$A$$ oder $$B$$ ist dann die Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten. Visible text: Die Wahrscheinlichkeit für oder ist dann die Summe der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten. Disjunkt bedeutet **nicht** unabhängig. Gelten $$P(A) > 0$$ und $$P(B) > 0$$, macht die Information, dass $$A$$ eingetreten ist, $$B$$ unmöglich. Daher ist $$P(A \cap B) = 0$$. Unabhängigkeit würde dagegen $$P(A \cap B) = P(A)P(B) > 0$$ verlangen. Visible text: Disjunkt bedeutet **nicht** unabhängig. Gelten und , macht die Information, dass eingetreten ist, unmöglich. Daher ist . Unabhängigkeit würde dagegen verlangen. ### Warum diese Formel funktioniert Für disjunkte Ereignisse gilt $$P(A \cap B) = 0$$. Die allgemeine Additionsregel zieht die Schnittmenge ab: Visible text: Für disjunkte Ereignisse gilt . Die allgemeine Additionsregel zieht die Schnittmenge ab: ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ``` Setzen wir die leere Schnittmenge ein, erhalten wir: ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B) ``` ## Anwendung in Berechnungen ### Ein Würfelwurf Ein Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine Zahl größer als $$4$$. Visible text: Ein Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine Zahl größer als . **Lösung:** Ergebnisraum: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ Visible text: Ergebnisraum: - Ereignis $$A$$ (Primzahl): $$A = \{2, 3, 5\}$$ - Ereignis $$B$$ ($$\text{Zahl} > 4$$): $$B = \{5, 6\}$$ Visible text: - Ereignis (Primzahl): - Ereignis (): Schnittmenge prüfen: $$A \cap B = \{5\}$$ Visible text: Schnittmenge prüfen: Die Zahl $$5$$ liegt in beiden Ereignissen. Sie sind also **nicht disjunkt**. Die ursprüngliche Frage lässt sich dennoch beantworten, allerdings muss die Überschneidung abgezogen werden: Visible text: Die Zahl liegt in beiden Ereignissen. Sie sind also **nicht disjunkt**. Die ursprüngliche Frage lässt sich dennoch beantworten, allerdings muss die Überschneidung abgezogen werden: Component: MathContainer Children: ```math P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) ``` ```math P(A \cup B)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} ``` Das nächste Beispiel zeigt, wann die kürzere Additionsregel für disjunkte Ereignisse gilt. **Disjunktes Vergleichsbeispiel:** - Ereignis $$A$$ (ungerade Zahl): $$A = \{1, 3, 5\}$$ - Ereignis $$C$$ (gerade Zahl): $$C = \{2, 4, 6\}$$ Visible text: - Ereignis (ungerade Zahl): - Ereignis (gerade Zahl): Schnittmenge prüfen: $$A \cap C = \emptyset$$ Visible text: Schnittmenge prüfen: Da die Schnittmenge leer ist, sind die Ereignisse **disjunkt**. Component: MathContainer Children: ```math P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ``` ```math P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ``` ```math P(A \cup C) = P(A) + P(C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ``` Dieses Ergebnis ist sinnvoll, da beim Würfeln auf jeden Fall entweder eine ungerade oder eine gerade Zahl erscheint (alle Möglichkeiten sind abgedeckt). ### Zwei Würfel werfen Zwei Würfel werden geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe $$5$$ oder die Summe $$7$$. Visible text: Zwei Würfel werden geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe oder die Summe . **Lösung:** Zum besseren Verständnis schauen wir uns in der folgenden Tabelle alle möglichen Ergebnisse des Würfelns mit zwei Würfeln an: | Würfel $$1$$ \\ Würfel $$2$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | $$6$$ | |----|---|---|---|---|---|---| | $$1$$ | $$(1,1)$$ | $$(1,2)$$ | $$(1,3)$$ | $$(1,4)$$ | $$(1,5)$$ | $$(1,6)$$ | | $$2$$ | $$(2,1)$$ | $$(2,2)$$ | $$(2,3)$$ | $$(2,4)$$ | $$(2,5)$$ | $$(2,6)$$ | | $$3$$ | $$(3,1)$$ | $$(3,2)$$ | $$(3,3)$$ | $$(3,4)$$ | $$(3,5)$$ | $$(3,6)$$ | | $$4$$ | $$(4,1)$$ | $$(4,2)$$ | $$(4,3)$$ | $$(4,4)$$ | $$(4,5)$$ | $$(4,6)$$ | | $$5$$ | $$(5,1)$$ | $$(5,2)$$ | $$(5,3)$$ | $$(5,4)$$ | $$(5,5)$$ | $$(5,6)$$ | | $$6$$ | $$(6,1)$$ | $$(6,2)$$ | $$(6,3)$$ | $$(6,4)$$ | $$(6,5)$$ | $$(6,6)$$ | Visible text: | Würfel \\ Würfel | | | | | | | |----|---|---|---|---|---|---| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Es gibt insgesamt $$6 \times 6 = 36$$ geordnete Paare. Visible text: Es gibt insgesamt geordnete Paare. **Ereignisidentifikation:** **Ereignis $$A$$** ($$\text{Summe} = 5$$): Visible text: **Ereignis ** (): Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe $$5$$ ergeben: Visible text: Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe ergeben: - $$(1,4): 1 + 4 = 5$$ - $$(2,3): 2 + 3 = 5$$ - $$(3,2): 3 + 2 = 5$$ - $$(4,1): 4 + 1 = 5$$ Visible text: - - - - Es gibt also **$$4 \text{Wege}$$**, um die Summe $$5$$ zu erhalten. Visible text: Es gibt also ****, um die Summe zu erhalten. **Ereignis $$B$$** ($$\text{Summe} = 7$$): Visible text: **Ereignis ** (): Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe $$7$$ ergeben: Visible text: Aus der obigen Tabelle sind die Paare, die die Summe ergeben: - $$(1,6): 1 + 6 = 7$$ - $$(2,5): 2 + 5 = 7$$ - $$(3,4): 3 + 4 = 7$$ - $$(4,3): 4 + 3 = 7$$ - $$(5,2): 5 + 2 = 7$$ - $$(6,1): 6 + 1 = 7$$ Visible text: - - - - - - Es gibt also **$$6 \text{Wege}$$**, um die Summe $$7$$ zu erhalten. Visible text: Es gibt also ****, um die Summe zu erhalten. **Schnittmenge prüfen:** Eine Würfelsumme kann nicht zugleich $$5$$ und $$7$$ sein, also $$A \cap B = \emptyset$$. Visible text: **Schnittmenge prüfen:** Eine Würfelsumme kann nicht zugleich und sein, also . Beide Ereignisse sind **disjunkt**. Component: MathContainer Children: ```math P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} ``` ```math P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} ``` ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} ``` **Brüche addieren:** Um $$\frac{1}{9} + \frac{1}{6}$$ zu addieren, benötigen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von $$9$$ und $$6$$. Visible text: Um zu addieren, benötigen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von und . $$\operatorname{lcm}(9, 6) = 18$$, also: Visible text: , also: Component: MathContainer Children: ```math \frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18} ``` ```math \frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18} ``` ```math P(A \cup B) = \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18} ``` ## Problemlösungsstrategie ### Systematische Schritte Bei Aufgaben zu disjunkten Ereignissen gehst du so vor: 1. **Bestimme den Ergebnisraum** und die Anzahl aller möglichen Ergebnisse 2. **Definiere die Ereignisse** eindeutig 3. **Prüfe ihre Schnittmenge** 4. **Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten** 5. **Wende die Formel an** $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ Visible text: 1. **Bestimme den Ergebnisraum** und die Anzahl aller möglichen Ergebnisse 2. **Definiere die Ereignisse** eindeutig 3. **Prüfe ihre Schnittmenge** 4. **Berechne die Einzelwahrscheinlichkeiten** 5. **Wende die Formel an** ### Praktische Tipps Hilfreiche Kontrollen: - **Visualisiere** die Ereignisse bei Bedarf mit einem Diagramm oder einer Tabelle - **Prüfe den Wertebereich**: Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $$0$$ und $$1$$ - **Lies „oder“ einschließend**, sofern die Aufgabe nichts anderes sagt Visible text: - **Visualisiere** die Ereignisse bei Bedarf mit einem Diagramm oder einer Tabelle - **Prüfe den Wertebereich**: Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen und - **Lies „oder“ einschließend**, sofern die Aufgabe nichts anderes sagt ### Vorsicht vor Ereignissen, die sich scheinbar gegenseitig ausschließen Manche Ereignisse wirken **auf den ersten Blick** disjunkt, sind es aber **tatsächlich nicht**: **Beispiel $$1$$: Würfeln** Visible text: **Beispiel : Würfeln** - Ereignis $$A$$: Das Erhalten einer Primzahl ist $$\{2, 3, 5\}$$ - Ereignis $$B$$: Das Erhalten einer ungeraden Zahl ist $$\{1, 3, 5\}$$ Visible text: - Ereignis : Das Erhalten einer Primzahl ist - Ereignis : Das Erhalten einer ungeraden Zahl ist **Häufiger Fehler**: „Primzahl und ungerade Zahl sind verschiedene Begriffe, also sind die Ereignisse disjunkt.“ **Tatsächlich**: $$A \cap B = \{3, 5\} \ne \emptyset$$, also **nicht disjunkt** Visible text: **Häufiger Fehler**: „Primzahl und ungerade Zahl sind verschiedene Begriffe, also sind die Ereignisse disjunkt.“ **Tatsächlich**: , also **nicht disjunkt** **Beispiel $$2$$: Kartenziehen** Visible text: **Beispiel : Kartenziehen** - Ereignis $$A$$: Ziehen einer roten Karte - Ereignis $$B$$: Ein Ass ziehen Visible text: - Ereignis : Ziehen einer roten Karte - Ereignis : Ein Ass ziehen **Häufiger Fehler**: „Farbe und Kartenwert sind verschiedene Merkmale, also sind die Ereignisse disjunkt.“ **Tatsächlich**: Herz-Ass und Karo-Ass sind rot und zugleich Asse, also sind die Ereignisse **nicht disjunkt**. **Beispiel $$3$$: Zwei Schülerkriterien** Visible text: **Beispiel : Zwei Schülerkriterien** - Ereignis $$A$$: Lernende mit einer Körpergröße von $$>160 \text{ cm}$$ - Ereignis $$B$$: Schüler, deren Punktzahl über $$80$$ liegt Visible text: - Ereignis : Lernende mit einer Körpergröße von - Ereignis : Schüler, deren Punktzahl über liegt **Häufiger Fehler**: „Größe und Testergebnis sind unterschiedliche Merkmale, daher schließen sich die Ereignisse gegenseitig aus.“ **Tatsächlich**: Eine Person kann beide Kriterien erfüllen, also sind die Ereignisse **nicht disjunkt**. **Prüfstrategie:** 1. **Frage**: „Kann ein Ergebnis beide Kriterien erfüllen?“ 2. **Bilde die Schnittmenge** der beiden Ereignisse 3. **Ist sie nicht leer**, sind die Ereignisse **nicht disjunkt** 4. **Ist sie leer**, sind die Ereignisse **disjunkt** ## Übungen Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Schreibe beide Mengen auf und prüfe ihre Schnittmenge, bevor du die Additionsregel auswählst. 1. Ein Würfel wird einmal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl kleiner als $$3$$ oder größer als $$5$$. 2. Aus einem üblichen Kartenspiel wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder einen König. 3. Zwei Münzen werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau $$1$$-mal Zahl oder genau $$2$$-mal Kopf. 4. In einer Schachtel liegen $$10 \text{Kugeln}$$ mit den Nummern $$1$$ bis $$10$$. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder eine ungerade Primzahl. Visible text: 1. Ein Würfel wird einmal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl kleiner als oder größer als . 2. Aus einem üblichen Kartenspiel wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder einen König. 3. Zwei Münzen werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für genau -mal Zahl oder genau -mal Kopf. 4. In einer Schachtel liegen mit den Nummern bis . Eine Kugel wird zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder eine ungerade Primzahl. ### Ausführliche Lösungen 1. **Lösung:** Ergebnisraum: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$, also $$n(S) = 6$$ - Ereignis $$A$$ ($$\text{Zahl} < 3$$): $$A = \{1, 2\}$$, also $$n(A) = 2$$ - Ereignis $$B$$ ($$\text{Zahl} > 5$$): $$B = \{6\}$$, also $$n(B) = 1$$ Schnittmenge prüfen: $$A \cap B = \emptyset$$ (keine Zahl erfüllt gleichzeitig $$x < 3$$ und $$x > 5$$) Da die Ereignisse disjunkt sind, verwenden wir die Additionsregel: ```math P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ``` ```math P(B) = \frac{1}{6} ``` ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ``` 2. **Lösung:** Die Gesamtzahl der Karten beträgt $$52$$ - Ereignis $$A$$ (Ass-Karte): $$4 \text{Asse}$$ - Ereignis $$B$$ (Königskarte): $$4 \text{Könige}$$ Schnittmenge prüfen: Keine Karte ist zugleich Ass und König, also $$A \cap B = \emptyset$$ Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus. ```math P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} ``` ```math P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} ``` ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13} ``` 3. **Lösung:** Verwende $$0$$ für Kopf und $$1$$ für Zahl. Der Ergebnisraum ist $$\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}$$ und enthält $$4$$ Ergebnisse. - Ereignis $$A$$ (genau einmal Zahl): $$\{(0,1), (1,0)\}$$, also $$n(A) = 2$$ - Ereignis $$B$$ (genau zweimal Kopf): $$\{(0,0)\}$$, also $$n(B) = 1$$ Schnittmenge prüfen: $$A \cap B = \emptyset$$ (genau einmal Zahl und genau zweimal Kopf können nicht zugleich eintreten) ```math P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ``` ```math P(B) = \frac{1}{4} ``` ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ``` 4. **Lösung:** Eine ungerade Primzahl ist eine Primzahl, die auch ungerade ist. Primzahlen aus $$1\text{-}10$$ sind $$\{2, 3, 5, 7\}$$, ungerade Primzahlen sind also $$\{3, 5, 7\}$$. Ergebnisraum: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$$, also $$n(S) = 10$$ - Ereignis $$A$$ (gerade Zahl): $$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$$, also $$n(A) = 5$$ - Ereignis $$B$$ (ungerade Primzahl): $$B = \{3, 5, 7\}$$, also $$n(B) = 3$$ Schnittmenge prüfen: $$A \cap B = \emptyset$$ (keine Zahl ist zugleich gerade und eine ungerade Primzahl) ```math P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} ``` ```math P(B) = \frac{3}{10} ``` ```math P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} ``` **Brüche addieren:** Um $$\frac{1}{2} + \frac{3}{10}$$ zu addieren, müssen wir die Nenner ausgleichen. $$\operatorname{lcm}(2, 10) = 10$$, also: ```math \frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} ``` ```math P(A \cup B) = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} ``` Visible text: 1. **Lösung:** Ergebnisraum: , also - Ereignis (): , also - Ereignis (): , also Schnittmenge prüfen: (keine Zahl erfüllt gleichzeitig und ) Da die Ereignisse disjunkt sind, verwenden wir die Additionsregel: 2. **Lösung:** Die Gesamtzahl der Karten beträgt - Ereignis (Ass-Karte): - Ereignis (Königskarte): Schnittmenge prüfen: Keine Karte ist zugleich Ass und König, also Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus. 3. **Lösung:** Verwende für Kopf und für Zahl. Der Ergebnisraum ist und enthält Ergebnisse. - Ereignis (genau einmal Zahl): , also - Ereignis (genau zweimal Kopf): , also Schnittmenge prüfen: (genau einmal Zahl und genau zweimal Kopf können nicht zugleich eintreten) 4. **Lösung:** Eine ungerade Primzahl ist eine Primzahl, die auch ungerade ist. Primzahlen aus sind , ungerade Primzahlen sind also . Ergebnisraum: , also - Ereignis (gerade Zahl): , also - Ereignis (ungerade Primzahl): , also Schnittmenge prüfen: (keine Zahl ist zugleich gerade und eine ungerade Primzahl) **Brüche addieren:** Um zu addieren, müssen wir die Nenner ausgleichen. , also: