# Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kombinatorik/wahrscheinlichkeit-eines-ereignisses Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/combinatorics/probability-of-an-event/de.mdx Ein Ereignis im Ergebnisraum beschreiben, seine Wahrscheinlichkeit berechnen und das Ergebnis sinnvoll deuten. --- ## Wahrscheinlichkeit verstehen Wird es heute regnen? Gewinnt eine Mannschaft ihr nächstes Spiel? Beides ist ungewiss. Mit einer **Wahrscheinlichkeit** können wir diese Unsicherheit trotzdem genau beschreiben. Die **Wahrscheinlichkeit** eines Ereignisses liegt zwischen $$0$$ und $$1$$: Visible text: Die **Wahrscheinlichkeit** eines Ereignisses liegt zwischen und : - Wahrscheinlichkeit $$0$$ bedeutet, dass das Ereignis **unmöglich** ist - Wahrscheinlichkeit $$1$$ bedeutet, dass das Ereignis **sicher** ist - Wahrscheinlichkeit $$0{,}5$$ bedeutet, dass das Ereignis und sein Komplement **gleich wahrscheinlich** sind Visible text: - Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass das Ereignis **unmöglich** ist - Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass das Ereignis **sicher** ist - Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass das Ereignis und sein Komplement **gleich wahrscheinlich** sind Eine Wahrscheinlichkeit sagt kein einzelnes Ergebnis sicher voraus. Sie hilft uns vielmehr, viele Wiederholungen einzuschätzen und Entscheidungen zu treffen, bei denen die Unsicherheit sichtbar bleibt. ## Ergebnisraum und Ereignis Bevor wir eine Wahrscheinlichkeit berechnen, brauchen wir zwei Begriffe: Der **Ergebnisraum (S)** ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Werden zum Beispiel zwei Würfel geworfen, ist jedes Ergebnis ein geordnetes Paar von Augenzahlen. Ein **Ereignis (A)** ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Es enthält genau die Ergebnisse, die wir untersuchen möchten. **Konkretes Beispiel:** Bei zwei Münzwürfen verwenden wir die üblichen Kürzel $$H$$ für Kopf und $$T$$ für Zahl. Der Ergebnisraum ist $$\{HH, HT, TH, TT\}$$. Das Ereignis „mindestens einmal Zahl“ lautet $$A = \{HT, TH, TT\}$$. Visible text: **Konkretes Beispiel:** Bei zwei Münzwürfen verwenden wir die üblichen Kürzel für Kopf und für Zahl. Der Ergebnisraum ist . Das Ereignis „mindestens einmal Zahl“ lautet . ## Wahrscheinlichkeitsformel Für ein Ereignis mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen verwenden wir die **klassische Wahrscheinlichkeitsformel**: ```math P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} ``` dabei gilt: - $$P(A)$$ = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $$A$$ - $$n(A)$$ = Anzahl der günstigen Ergebnisse im Ereignis $$A$$ - $$n(S)$$ = Anzahl aller möglichen Ergebnisse im Ergebnisraum Visible text: - = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses - = Anzahl der günstigen Ergebnisse im Ereignis - = Anzahl aller möglichen Ergebnisse im Ergebnisraum **Wichtige Bedingung:** Diese Zählformel gilt nur, wenn alle Ergebnisse im Stichprobenraum **gleich wahrscheinlich** sind. **Grundlegende Eigenschaften:** - $$0 \leq P(A) \leq 1$$ (jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen $$0$$ und $$1$$) - , wobei das **Gegenereignis** zu $$A$$ bezeichnet Visible text: - (jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen und ) - , wobei das **Gegenereignis** zu bezeichnet **Gegenereignis:** Das Gegenereignis zu $$A$$ enthält jedes Ergebnis des Ergebnisraums, das **nicht** zu $$A$$ gehört. Bedeutet $$A$$ etwa „eine gerade Zahl würfeln“, so steht für „eine ungerade Zahl würfeln“. Visible text: **Gegenereignis:** Das Gegenereignis zu enthält jedes Ergebnis des Ergebnisraums, das **nicht** zu gehört. Bedeutet etwa „eine gerade Zahl würfeln“, so steht für „eine ungerade Zahl würfeln“. ## Durchgerechnete Beispiele **Zwei Würfel untersuchen:** Zwei faire Würfel liefern $$6 \times 6 = 36$$ gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe $$9$$. Visible text: Zwei faire Würfel liefern gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe . **Systematische Lösung:** 1. Zuerst sammeln wir alle Möglichkeiten für die Summe $$9$$: - Erster Würfel $$3$$, zweiter Würfel $$6$$: $$(3,6)$$ - Erster Würfel $$4$$, zweiter Würfel $$5$$: $$(4,5)$$ - Erster Würfel $$5$$, zweiter Würfel $$4$$: $$(5,4)$$ - Erster Würfel $$6$$, zweiter Würfel $$3$$: $$(6,3)$$ 2. Damit gibt es $$n(A) = 4$$ günstige Ergebnisse. 3. Nun setzen wir die beiden Anzahlen in die Formel ein: ```math P(\text{Summe} = 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111 ``` Visible text: 1. Zuerst sammeln wir alle Möglichkeiten für die Summe : - Erster Würfel , zweiter Würfel : - Erster Würfel , zweiter Würfel : - Erster Würfel , zweiter Würfel : - Erster Würfel , zweiter Würfel : 2. Damit gibt es günstige Ergebnisse. 3. Nun setzen wir die beiden Anzahlen in die Formel ein: **Wahrscheinlichkeitsbasierte Marketingstrategie:** Ein Getränkeunternehmen legt manchen Getränkekartons Gewinncoupons bei. Aus bisherigen Daten wird die Wahrscheinlichkeit, in einem gekauften Karton einen Gewinn zu finden, auf $$\frac{3}{32}$$ geschätzt. Visible text: Ein Getränkeunternehmen legt manchen Getränkekartons Gewinncoupons bei. Aus bisherigen Daten wird die Wahrscheinlichkeit, in einem gekauften Karton einen Gewinn zu finden, auf geschätzt. **Praktische Interpretation:** Bei sehr vielen Käufen ist im Mittel in etwa $$3$$ von $$32$$ Kartons ein Gewinn zu erwarten. Diese Schätzung kann dem Unternehmen helfen: Visible text: **Praktische Interpretation:** Bei sehr vielen Käufen ist im Mittel in etwa von Kartons ein Gewinn zu erwarten. Diese Schätzung kann dem Unternehmen helfen: - das Werbebudget zu planen - die Reaktion der Kundschaft abzuschätzen - realistische Verkaufsziele festzulegen **Würfelsummen vergleichen:** Bei zwei fairen Würfeln hat die Summe $$7$$ mehr günstige geordnete Paare als jede andere Summe: Visible text: Bei zwei fairen Würfeln hat die Summe mehr günstige geordnete Paare als jede andere Summe: Möglichkeiten für die Summe $$7$$: $$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 6 \text{Wege}$$ Visible text: Möglichkeiten für die Summe : ```math P(\text{Summe} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 ``` Das ist die größte Wahrscheinlichkeit unter allen möglichen Summen. Trotzdem muss der nächste Wurf nicht $$7$$ ergeben. Die Rechnung beschreibt das langfristige Modell, nicht den nächsten Einzelfall. Visible text: Das ist die größte Wahrscheinlichkeit unter allen möglichen Summen. Trotzdem muss der nächste Wurf nicht ergeben. Die Rechnung beschreibt das langfristige Modell, nicht den nächsten Einzelfall. ## Übungsaufgaben Versuchen Sie jede Aufgabe selbst, bevor Sie die ausführliche Lösung lesen. Notieren Sie zuerst den Ergebnisraum und das Ereignis. Setzen Sie erst danach Zahlen in die Formel ein. 1. Bestimme beim Werfen zweier Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Summe. 2. Eine Schachtel enthält $$5 \text{rote Kugeln}$$, $$3 \text{blaue Kugeln}$$ und $$2 \text{grüne Kugeln}$$. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht rot ist. 3. Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zweimal Zahl zu erhalten. 4. Eine Qualitätskontrolle findet genau $$50$$ fehlerhafte Produkte in einer Charge von $$1000 \text{Einheiten}$$. Wie groß ist bei einer gleichverteilten Zufallsauswahl die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Produkt? Visible text: 1. Bestimme beim Werfen zweier Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Summe. 2. Eine Schachtel enthält , und . Eine Kugel wird zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht rot ist. 3. Drei faire Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zweimal Zahl zu erhalten. 4. Eine Qualitätskontrolle findet genau fehlerhafte Produkte in einer Charge von . Wie groß ist bei einer gleichverteilten Zufallsauswahl die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Produkt? ### Ausführliche Lösungen 1. **Antwort: $$\frac{1}{2}$$** **Schrittweise Lösung:** Der Ergebnisraum beim Werfen zweier Würfel hat $$n(S) = 36$$ Ergebnisse. **Identifizieren Sie alle geraden Summen und Möglichkeiten, sie zu erhalten:** - Summe $$2$$: $$(1,1)$$ → $$1$$ Weg - Summe $$4$$: $$(1,3), (2,2), (3,1)$$ → $$3 \text{Wege}$$ - Summe $$6$$: $$(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$$ → $$5 \text{Wege}$$ - Summe $$8$$: $$(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$$ → $$5 \text{Wege}$$ - Summe $$10$$: $$(4,6), (5,5), (6,4)$$ → $$3 \text{Wege}$$ - Summe $$12$$: $$(6,6)$$ → $$1$$ Weg **Günstige Ergebnisse insgesamt:** $$n(A) = 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$$ **Wahrscheinlichkeitsberechnung:** ```math P(\text{gerade Summe}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0{,}5 ``` 2. **Antwort: $$\frac{1}{2}$$** **Lösungsschritte:** **Gesamtzahl der Kugeln:** $$5 + 3 + 2 = 10$$ Kugeln **Nicht rote Kugeln:** $$3 \text{blau} + 2 \text{grün} = 5$$ Kugeln **Wahrscheinlichkeitsberechnung:** ```math P(\text{nicht rot}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0{,}5 ``` 3. **Antwort: $$\frac{3}{8}$$** **Lösungsschritte:** **Ergebnisraum für drei Münzwürfe:** $$\{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$$ **Gesamtmöglichkeiten:** $$n(S) = 2^3 = 8$$ **Ereignis „genau zweimal Zahl“:** $$\{HTT, THT, TTH\}$$ **Anzahl der günstigen Ergebnisse:** $$n(A) = 3$$ **Wahrscheinlichkeitsberechnung:** ```math P(\text{genau 2-mal Zahl}) = \frac{3}{8} = 0{,}375 ``` 4. **Antwort: $$\frac{19}{20}$$ oder $$95\%$$** **Lösungsschritte:** **Gesamtmenge:** $$1000 \text{Einheiten}$$ **Fehlerhafte Produkte:** $$5\% \times 1000 = 50 \text{Einheiten}$$ **Fehlerfreie Produkte:** $$1000 - 50 = 950 \text{Einheiten}$$ **Wahrscheinlichkeitsberechnung:** ```math P(\text{nicht defekt}) = \frac{950}{1000} = \frac{19}{20} = 0{,}95 = 95\% ``` **Interpretation:** Ein zufällig gekauftes Exemplar ist mit einer Wahrscheinlichkeit von $$95\%$$ fehlerfrei. Das ist eine Aussage über das Zufallsmodell, keine Garantie für einen einzelnen Kauf. Visible text: 1. **Antwort: ** **Schrittweise Lösung:** Der Ergebnisraum beim Werfen zweier Würfel hat Ergebnisse. **Identifizieren Sie alle geraden Summen und Möglichkeiten, sie zu erhalten:** - Summe : → Weg - Summe : → - Summe : → - Summe : → - Summe : → - Summe : → Weg **Günstige Ergebnisse insgesamt:** **Wahrscheinlichkeitsberechnung:** 2. **Antwort: ** **Lösungsschritte:** **Gesamtzahl der Kugeln:** Kugeln **Nicht rote Kugeln:** Kugeln **Wahrscheinlichkeitsberechnung:** 3. **Antwort: ** **Lösungsschritte:** **Ergebnisraum für drei Münzwürfe:** **Gesamtmöglichkeiten:** **Ereignis „genau zweimal Zahl“:** **Anzahl der günstigen Ergebnisse:** **Wahrscheinlichkeitsberechnung:** 4. **Antwort: oder ** **Lösungsschritte:** **Gesamtmenge:** **Fehlerhafte Produkte:** **Fehlerfreie Produkte:** **Wahrscheinlichkeitsberechnung:** **Interpretation:** Ein zufällig gekauftes Exemplar ist mit einer Wahrscheinlichkeit von fehlerfrei. Das ist eine Aussage über das Zufallsmodell, keine Garantie für einen einzelnen Kauf.