# Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse
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Vereinigung und Schnitt unterscheiden, Abhängigkeiten erkennen und die passende Wahrscheinlichkeitsregel wählen.
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## Zusammengesetzte Ereignisse verstehen
Viele Wahrscheinlichkeitsfragen verbinden **zwei oder mehr Ereignisse**. Wir werfen etwa einen Würfel und eine Münze oder ziehen zwei Karten aus einem Stapel. Solche Situationen beschreiben zusammengesetzte Ereignisse.
Ein **zusammengesetztes Ereignis** verbindet zwei oder mehr einfache Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsmodell. Statt nur den Würfel oder nur die Münze zu betrachten, formulieren wir eine Bedingung für beide Ergebnisse.
Angenommen, du wirfst einen Würfel und eine Münze. Ein einfaches Ereignis betrachtet nur eines der beiden Ergebnisse. Ein zusammengesetztes Ereignis bezieht beide ein, zum Beispiel: „Der Würfel zeigt $$3$$ UND die Münze zeigt Zahl.“
Visible text: Angenommen, du wirfst einen Würfel und eine Münze. Ein einfaches Ereignis betrachtet nur eines der beiden Ergebnisse. Ein zusammengesetztes Ereignis bezieht beide ein, zum Beispiel: „Der Würfel zeigt UND die Münze zeigt Zahl.“
## Typen zusammengesetzter Ereignisse
### Sich ausschließende Ereignisse
Zwei Ereignisse **schließen sich gegenseitig aus**, wenn sie im selben Versuch nicht gemeinsam eintreten können. Tritt $$A$$ ein, kann $$B$$ nicht eintreten, und umgekehrt.
Visible text: Zwei Ereignisse **schließen sich gegenseitig aus**, wenn sie im selben Versuch nicht gemeinsam eintreten können. Tritt ein, kann nicht eintreten, und umgekehrt.
Ein einfaches Beispiel ist ein Würfelwurf. „Das Ergebnis ist gerade“ und „Das Ergebnis ist ungerade“ schließen sich gegenseitig aus, denn eine Zahl kann nicht beides sein.
Für zwei sich ausschließende Ereignisse gilt:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
```
**Berechnungsbeispiel:**
Ein Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder für $$1$$ oder $$3$$.
Visible text: Ein Würfel wird einmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl oder für oder .
**Lösung:**
Ergebnisraum: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
Visible text: Ergebnisraum:
- Ereignis $$A$$ (gerade Zahlen): $$A = \{2, 4, 6\}$$
- Ereignis $$B$$ (Zahlen $$1$$ oder $$3$$): $$B = \{1, 3\}$$
Visible text: - Ereignis (gerade Zahlen):
- Ereignis (Zahlen oder ):
Schnittmenge prüfen: $$A \cap B = \emptyset$$ (leere Menge)
Visible text: Schnittmenge prüfen: (leere Menge)
Da es keinen Schnittpunkt gibt, **schließen sich beide Ereignisse gegenseitig aus**.
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}
```
### Ereignisse mit Überschneidung
Ereignisse schließen sich **nicht gegenseitig aus**, wenn sie im selben Versuch gemeinsam eintreten können. Ihre Schnittmenge ist nicht leer.
Beispielsweise schließen sich „eine rote Karte ziehen“ und „ein Ass ziehen“ nicht gegenseitig aus. Das Herz-Ass und das Karo-Ass erfüllen beide Bedingungen.
Für Ereignisse mit Überschneidung gilt:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
```
Wir subtrahieren $$P(A \cap B)$$, weil die Ergebnisse der Schnittmenge einmal in $$P(A)$$ und ein zweites Mal in $$P(B)$$ gezählt wurden.
Visible text: Wir subtrahieren , weil die Ergebnisse der Schnittmenge einmal in und ein zweites Mal in gezählt wurden.
**Berechnungsbeispiel:**
Aus einem üblichen Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte zufällig gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte oder eine Bildkarte (Bube, Dame, König).
**Lösung:**
Gesamtzahl der Karten $$= 52$$
Visible text: Gesamtzahl der Karten
- Ereignis $$A$$ (rote Karten): $$26 \text{Karten}$$ ($$13 \text{Herz} + 13 \text{Karo}$$)
- Ereignis $$B$$ (Bildkarten): $$12 \text{Karten}$$ ($$4 \text{Buben} + 4 \text{Damen} + 4 \text{Könige}$$)
Visible text: - Ereignis (rote Karten): ()
- Ereignis (Bildkarten): ()
Schnittmenge (rote Bildkarten): $$6 \text{Karten}$$ (Bube, Dame und König in Herz und Karo)
Visible text: Schnittmenge (rote Bildkarten): (Bube, Dame und König in Herz und Karo)
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}
```
```math
P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}
```
```math
P(A \cap B) = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}
```
```math
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{13} - \frac{3}{26} = \frac{13}{26} + \frac{6}{26} - \frac{3}{26} = \frac{16}{26} = \frac{8}{13}
```
### Unabhängige Ereignisse
Zwei Ereignisse sind **unabhängig**, wenn die Erkenntnis, dass eines eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeitsverteilung des anderen nicht ändert. Unabhängigkeit betrifft Wahrscheinlichkeiten und nicht nur die Frage, ob zwei Ereignisse gleichzeitig stattfinden.
Ein einfaches Beispiel sind zwei faire Münzen. Die Information, dass die erste Münze Kopf zeigt, ändert nichts an der zweiten: Die Wahrscheinlichkeit für Zahl bleibt $$50\%$$.
Visible text: Ein einfaches Beispiel sind zwei faire Münzen. Die Information, dass die erste Münze Kopf zeigt, ändert nichts an der zweiten: Die Wahrscheinlichkeit für Zahl bleibt .
Für unabhängige Ereignisse gilt:
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
```
**Berechnungsbeispiel:**
Zwei faire Würfel werden geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Würfel $$3$$ und der zweite eine gerade Zahl zeigt.
Visible text: Zwei faire Würfel werden geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Würfel und der zweite eine gerade Zahl zeigt.
**Lösung:**
- Ereignis $$A$$ (Zahl $$3$$ auf dem ersten Würfel): $$1 \text{Möglichkeit}$$ von $$6$$
- Ereignis $$B$$ (gerade Zahl auf zweitem Würfel): $$\{2, 4, 6\} = 3 \text{Möglichkeiten}$$ von $$6$$
Visible text: - Ereignis (Zahl auf dem ersten Würfel): von
- Ereignis (gerade Zahl auf zweitem Würfel): von
Da das Ergebnis des ersten Würfels keinen Einfluss auf den zweiten Würfel hat, sind beide Ereignisse unabhängig voneinander.
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{1}{6}
```
```math
P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}
```
### Abhängige Ereignisse
Ereignisse sind **abhängig**, wenn das Ergebnis eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des nächsten verändert. Für die zweite Stufe gelten dann andere Bedingungen als zu Beginn.
Eine häufige Ursache ist das Ziehen **ohne Zurücklegen**. Das gezogene Objekt kommt nicht zurück. Dadurch ändern sich die Gesamtzahl der Objekte und möglicherweise auch die Anzahl der günstigen Objekte.
Formel für abhängige Ereignisse:
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)
```
Dabei bezeichnet $$P(B|A)$$ die Wahrscheinlichkeit von $$B$$ unter der Bedingung, dass $$A$$ bereits eingetreten ist.
Visible text: Dabei bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung, dass bereits eingetreten ist.
**Berechnungsbeispiel:**
In einer Schachtel liegen $$8 \text{blaue Kugeln}$$ und $$4 \text{gelbe Kugeln}$$. Zwei Kugeln werden zufällig **ohne Zurücklegen** gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide blau sind.
Visible text: In einer Schachtel liegen und . Zwei Kugeln werden zufällig **ohne Zurücklegen** gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide blau sind.
**Lösung:**
Zu Beginn liegen $$8 + 4 = 12 \text{Kugeln}$$ in der Schachtel.
Visible text: Zu Beginn liegen in der Schachtel.
- Ereignis $$A$$ (erste Kugel blau): $$8 \text{blaue Kugeln}$$ von insgesamt $$12 \text{Kugeln}$$
- Ereignis $$B$$ (zweite Kugel blau nach $$A$$): Nach $$1 \text{blauen Kugel}$$ bleiben $$7 \text{blaue Kugeln}$$ unter insgesamt $$11 \text{Kugeln}$$
Visible text: - Ereignis (erste Kugel blau): von insgesamt
- Ereignis (zweite Kugel blau nach ): Nach bleiben unter insgesamt
Da nicht zurückgelegt wird, ändern sich die Bedingungen nach der ersten Ziehung. Die Ereignisse sind daher abhängig.
Component: MathContainer
Children:
```math
P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
```
```math
P(B|A) = \frac{7}{11}
```
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{2}{3} \times \frac{7}{11} = \frac{14}{33}
```
## Anwendung in Berechnungen
### Vereinigung
Für „Ereignis $$A$$ **ODER** Ereignis $$B$$“ verwenden wir die Vereinigung. Das „oder“ ist einschließend: Mindestens eines der Ereignisse tritt ein, und eine Überschneidung gehört ebenfalls dazu.
Visible text: Für „Ereignis **ODER** Ereignis “ verwenden wir die Vereinigung. Das „oder“ ist einschließend: Mindestens eines der Ereignisse tritt ein, und eine Überschneidung gehört ebenfalls dazu.
Wenn wir beim Würfeln die Wahrscheinlichkeit ermitteln wollen, eine ungerade Zahl oder eine Primzahl zu erhalten, müssen wir überlegen, ob sich beide Ereignisse gegenseitig ausschließen oder nicht.
### Schnittmenge
Für „Ereignis $$A$$ **UND** Ereignis $$B$$“ verwenden wir die Schnittmenge. Jedes gezählte Ergebnis muss beide Bedingungen erfüllen.
Visible text: Für „Ereignis **UND** Ereignis “ verwenden wir die Schnittmenge. Jedes gezählte Ergebnis muss beide Bedingungen erfüllen.
Wenn wir im Zusammenhang mit dem Kartenziehen nach der Wahrscheinlichkeit suchen, „eine rote Karte UND eine Karte mit gerader Zahl zu ziehen“, müssen wir Karten zählen, die beide Kriterien erfüllen.
## Problemlösungsstrategie
Beginne ein Problem mit zusammengesetzten Ereignissen, indem du **die Beziehung zwischen den Ereignissen bestimmst**. Schlüsselwörter helfen, entscheidend ist aber der zugrunde liegende Zufallsmechanismus:
1. **„oder“** weist auf eine Vereinigung hin
2. **„und“** weist auf eine Schnittmenge hin
3. **„ohne Ersatz“** weist auf abhängige Ereignisse hin
4. **„mit Zurücklegen“** bewahrt oft die Unabhängigkeit, aber prüfe trotzdem, ob ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen wirklich nicht verändert
Prüfe anschließend, ob beide Ereignisse gemeinsam eintreten können. Wähle erst dann die Formel und kontrolliere, ob eine Überschneidung doppelt gezählt würde.
## Übungen
Bearbeite jede Aufgabe selbst, bevor du die ausführliche Lösung liest. Benenne die Ereignisse, entscheide zwischen Vereinigung und Schnittmenge und begründe, ob sie sich ausschließen, unabhängig oder abhängig sind.
1. Bestimme bei einem Würfelwurf die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine ungerade Zahl.
2. Eine Schachtel enthält $$6 \text{rote Kugeln}$$ und $$4 \text{weiße Kugeln}$$. Zwei Kugeln werden zufällig ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide rot sind.
3. Zwei Würfel werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihre Summe $$7$$ oder $$11$$ beträgt.
4. Aus einem üblichen Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder eine schwarze Karte.
Visible text: 1. Bestimme bei einem Würfelwurf die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl oder eine ungerade Zahl.
2. Eine Schachtel enthält und . Zwei Kugeln werden zufällig ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide rot sind.
3. Zwei Würfel werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihre Summe oder beträgt.
4. Aus einem üblichen Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte zufällig gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein Ass oder eine schwarze Karte.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösung:**
Ergebnisraum: $$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$, also $$n(S) = 6$$
- Ereignis $$A$$ (Primzahlen): $$A = \{2, 3, 5\}$$, also $$n(A) = 3$$
- Ereignis $$B$$ (ungerade Zahlen): $$B = \{1, 3, 5\}$$, also $$n(B) = 3$$
Schnittmenge von $$A$$ und $$B$$: $$A \cap B = \{3, 5\}$$, also $$n(A \cap B) = 2$$
Weil die Schnittmenge nicht leer ist, schließen sich die Ereignisse nicht aus. Wir verwenden daher die allgemeine Additionsregel:
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
```
```math
P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
```
```math
P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
```
```math
P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
```
2. **Lösung:**
Insgesamt liegen $$6 + 4 = 10 \text{Kugeln}$$ in der Schachtel.
- Ereignis $$A$$ (erste Kugel rot): $$6 \text{rote Kugeln}$$ von insgesamt $$10 \text{Kugeln}$$
- Ereignis $$B$$ (zweite Kugel rot nach $$A$$): Nach $$1 \text{roten Kugel}$$ bleiben $$5 \text{rote Kugeln}$$ unter insgesamt $$9 \text{Kugeln}$$
Da **ohne Zurücklegen** gezogen wird, ändern sich die Bedingungen nach der ersten Ziehung. Die Ereignisse sind abhängig.
```math
P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
```
```math
P(B|A) = \frac{5}{9}
```
```math
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}
```
3. **Lösung:**
Es gibt insgesamt $$6 \times 6 = 36$$ geordnete Würfelpaare.
- Ereignis $$A$$ (Summe ist $$7$$): $$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$$ → $$6 \text{Wege}$$
- Ereignis $$B$$ (Summe ist $$11$$): $$(5,6), (6,5)$$ → $$2 \text{Wege}$$
Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, da die Würfelsumme nicht gleichzeitig $$7$$ und $$11$$ sein kann.
```math
P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
```
```math
P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}
```
```math
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} + \frac{1}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}
```
4. **Lösung:**
Gesamtzahl der Karten $$= 52$$
- Ereignis $$A$$ (Asskarten): $$4 \text{Asse}$$
- Ereignis $$B$$ (schwarze Karten): $$26 \text{Karten}$$ (Pik und Kreuz)
Schnittmenge (schwarze Asse): Pik-Ass und Kreuz-Ass ergeben $$2 \text{Karten}$$
```math
P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}
```
```math
P(B) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}
```
```math
P(A \cap B) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}
```
```math
P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{2} - \frac{1}{26} = \frac{2}{26} + \frac{13}{26} - \frac{1}{26} = \frac{14}{26} = \frac{7}{13}
```
Visible text: 1. **Lösung:**
Ergebnisraum: , also
- Ereignis (Primzahlen): , also
- Ereignis (ungerade Zahlen): , also
Schnittmenge von und : , also
Weil die Schnittmenge nicht leer ist, schließen sich die Ereignisse nicht aus. Wir verwenden daher die allgemeine Additionsregel:
2. **Lösung:**
Insgesamt liegen in der Schachtel.
- Ereignis (erste Kugel rot): von insgesamt
- Ereignis (zweite Kugel rot nach ): Nach bleiben unter insgesamt
Da **ohne Zurücklegen** gezogen wird, ändern sich die Bedingungen nach der ersten Ziehung. Die Ereignisse sind abhängig.
3. **Lösung:**
Es gibt insgesamt geordnete Würfelpaare.
- Ereignis (Summe ist ): →
- Ereignis (Summe ist ): →
Beide Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, da die Würfelsumme nicht gleichzeitig und sein kann.
4. **Lösung:**
Gesamtzahl der Karten
- Ereignis (Asskarten):
- Ereignis (schwarze Karten): (Pik und Kreuz)
Schnittmenge (schwarze Asse): Pik-Ass und Kreuz-Ass ergeben