# Addition komplexer Zahlen
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/addition-complex-numbers/de.mdx
Addiere komplexe Zahlen über Real- und Imaginärteil und deute die Summe mit der Parallelogrammregel in der komplexen Ebene.
---
## Addition zweier komplexer Zahlen
Wie addiert man zwei komplexe Zahlen?
Gegeben sind zwei komplexe Zahlen:
Component: MathContainer
Children:
```math
z_1 = x_1 + iy_1
```
```math
z_2 = x_2 + iy_2
```
Für die Summe $$z_1 + z_2$$ werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils miteinander addiert.
Visible text: Für die Summe werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils miteinander addiert.
```math
z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)
```
### Additionsbeispiel
Seien $$z_1 = 2 + 3i$$ und $$z_2 = 1 - i$$.
Visible text: Seien und .
- Der Realteil von $$z_1$$ ist $$2$$, der Realteil von $$z_2$$ ist $$1$$.
- Der Imaginärteil von $$z_1$$ ist $$3$$, der Imaginärteil von $$z_2$$ ist $$-1$$.
Visible text: - Der Realteil von ist , der Realteil von ist .
- Der Imaginärteil von ist , der Imaginärteil von ist .
Dann ist ihre Summe:
```math
z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(3 + (-1)) = 3 + i(2) = 3 + 2i
```
### Visualisierung der Addition
In der komplexen Ebene lässt sich die Addition mit der Parallelogrammregel deuten. Stellen wir $$z_1$$ und $$z_2$$ als Vektoren vom Ursprung $$(0, 0)$$ dar, dann bildet ihre Summe $$z_1 + z_2$$ die Diagonale des Parallelogramms, das $$z_1$$ und $$z_2$$ aufspannen.
Visible text: In der komplexen Ebene lässt sich die Addition mit der Parallelogrammregel deuten. Stellen wir und als Vektoren vom Ursprung dar, dann bildet ihre Summe die Diagonale des Parallelogramms, das und aufspannen.
Component: LineEquation
Props:
- title: Geometrische Addition komplexer Zahlen
- description: Die Vektoren $$z_1=2+3i$$ und{" "}
$$z_2=1-i$$ spannen ein Parallelogramm auf. Seine
Diagonale stellt ihre Summe dar.
Visible text: Die Vektoren und
spannen ein Parallelogramm auf. Seine
Diagonale stellt ihre Summe dar.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
// Vektor z1
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$z_1=2+3i$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Vektor z2
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
],
color: "#059669",
labels: [{ text: $$z_2=1-i$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Resultierender Vektor z1 + z2
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$z_1+z_2=3+2i$$, at: 1, offset: [2, -1, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Parallelogramm-Hilfslinie vom Ende von z1 zum Ende von z1+z2
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#059669",
},
// Parallelogramm-Hilfslinie vom Ende von z2 zum Ende von z1+z2
{
points: [
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
},
]
Visible text: [
// Vektor z1
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Vektor z2
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
],
color: "#059669",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Resultierender Vektor z1 + z2
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [2, -1, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Parallelogramm-Hilfslinie vom Ende von z1 zum Ende von z1+z2
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#059669",
},
// Parallelogramm-Hilfslinie vom Ende von z2 zum Ende von z1+z2
{
points: [
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
},
]
## Verwandte Rechenoperationen
Dieselbe Trennung von Real- und Imaginärteil hilft auch bei weiteren Rechenoperationen.
### Skalare Multiplikation
Bei der Multiplikation einer komplexen Zahl $$z = x + iy$$ mit einem reellen Skalar $$c$$ wird jeder der beiden Teile mit diesem Skalar multipliziert.
Visible text: Bei der Multiplikation einer komplexen Zahl mit einem reellen Skalar wird jeder der beiden Teile mit diesem Skalar multipliziert.
```math
cz = c(x + iy) = cx + i(cy)
```
Geometrisch wird der Vektor $$z$$ dadurch um den Faktor $$c$$ gestreckt oder gestaucht. Ist $$c$$ negativ, kehrt sich zusätzlich seine Richtung um.
Visible text: Geometrisch wird der Vektor dadurch um den Faktor gestreckt oder gestaucht. Ist negativ, kehrt sich zusätzlich seine Richtung um.
### Gegenzahl einer komplexen Zahl
Die Gegenzahl zu $$z = x + iy$$ ist $$-z$$. Sie entsteht durch Skalarmultiplikation mit $$c = -1$$.
Visible text: Die Gegenzahl zu ist . Sie entsteht durch Skalarmultiplikation mit .
```math
-z = -(x + iy) = -x + i(-y) = -x - iy
```
Der Vektor $$-z$$ hat dieselbe Länge wie $$z$$, zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung. Das entspricht einer Drehung um $$180^\circ$$.
Visible text: Der Vektor hat dieselbe Länge wie , zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung. Das entspricht einer Drehung um .
### Subtraktion zweier komplexer Zahlen
Wird $$z_2$$ von $$z_1$$ subtrahiert, entsteht $$z_1 - z_2$$. Das entspricht der Addition von $$z_1$$ mit der Gegenzahl von $$z_2$$, also $$z_1 + (-z_2)$$.
Visible text: Wird von subtrahiert, entsteht . Das entspricht der Addition von mit der Gegenzahl von , also .
```math
z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) = (x_1 + (-x_2)) + i(y_1 + (-y_2)) = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)
```
Damit werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils voneinander subtrahiert.
Geometrisch ist $$z_1 - z_2$$ der Vektor von der Spitze von $$z_2$$ zur Spitze von $$z_1$$.
Visible text: Geometrisch ist der Vektor von der Spitze von zur Spitze von .
### Beispiel für kombinierte Operationen
Gegeben sind:
Component: MathContainer
Children:
```math
z_1 = 2 + \frac{1}{2}i
```
```math
z_2 = -3 + \sqrt{2}i
```
Nun werden drei kombinierte Ausdrücke berechnet:
1. **$$2z_1$$ (Skalarmultiplikation):**
```math
2z_1 = 2(2 + \frac{1}{2}i) = 2(2) + i(2 \times \frac{1}{2}) = 4 + i
```
2. **$$z_1 + 3z_2$$ (Addition und Skalarmultiplikation):**
```math
z_1 + 3z_2 = (2 + \frac{1}{2}i) + 3(-3 + \sqrt{2}i)
```
```math
= (2 + \frac{1}{2}i) + (3(-3) + i(3\sqrt{2}))
```
```math
= (2 + \frac{1}{2}i) + (-9 + 3\sqrt{2}i)
```
```math
= (2 - 9) + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})
```
```math
= -7 + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})
```
3. **$$2z_1 - z_2$$ (Subtraktion und Skalarmultiplikation):**
```math
2z_1 - z_2 = (4 + i) - (-3 + \sqrt{2}i)
```
```math
= (4 - (-3)) + i(1 - \sqrt{2})
```
```math
= (4 + 3) + i(1 - \sqrt{2})
```
```math
= 7 + i(1 - \sqrt{2})
```
Visible text: 1. ** (Skalarmultiplikation):**
2. ** (Addition und Skalarmultiplikation):**
3. ** (Subtraktion und Skalarmultiplikation):**
## Übung
Gegeben sind $$z_1=1+2i$$ und $$z_2=3-i$$. Bestimme:
Visible text: Gegeben sind und . Bestimme:
1. $$z_1 + z_2$$
2. $$z_1 - z_2$$
3. Zeichne für $$z_3=z_1+z_2$$ die Vektoren $$z_1$$, $$z_2$$ und $$z_3$$ in die komplexe Ebene.
Visible text: 1.
2.
3. Zeichne für die Vektoren , und in die komplexe Ebene.
### Lösung
1. Für die Summe werden Real- und Imaginärteile addiert:
```math
z_1+z_2=(1+3)+i(2+(-1))=4+i
```
2. Für die Differenz werden die entsprechenden Teile subtrahiert:
```math
z_1-z_2=(1-3)+i(2-(-1))=-2+3i
```
3. Die Vektoren $$z_1$$ und $$z_2$$ spannen ein Parallelogramm auf. Seine Diagonale endet bei $$z_3=z_1+z_2=4+i$$:
Die Vektoren $$z_1$$ und $$z_2$$
bilden die Seiten des Parallelogramms. $$z_3=z_1+z_2$$
ist seine Diagonale.
}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
data={[
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$z_1=1+2i$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: -1, z: 0 },
],
color: "#059669",
labels: [{ text: $$z_2=3-i$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 1, z: 0 }, // z3 = z1 + z2
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$z_3=4+i$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Parallelogram helper lines
{
points: [
{ x: 1, y: 2, z: 0 }, // end of z1
{ x: 4, y: 1, z: 0 }, // end of z3
],
color: "#059669",
},
{
points: [
{ x: 3, y: -1, z: 0 }, // end of z2
{ x: 4, y: 1, z: 0 }, // end of z3
],
color: "#0284c7",
},
]}
/>
Visible text: 1. Für die Summe werden Real- und Imaginärteile addiert:
2. Für die Differenz werden die entsprechenden Teile subtrahiert:
3. Die Vektoren und spannen ein Parallelogramm auf. Seine Diagonale endet bei :
Die Vektoren und
bilden die Seiten des Parallelogramms.
ist seine Diagonale.
}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
data={[
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
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},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: -1, z: 0 },
],
color: "#059669",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 1, z: 0 }, // z3 = z1 + z2
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Parallelogram helper lines
{
points: [
{ x: 1, y: 2, z: 0 }, // end of z1
{ x: 4, y: 1, z: 0 }, // end of z3
],
color: "#059669",
},
{
points: [
{ x: 3, y: -1, z: 0 }, // end of z2
{ x: 4, y: 1, z: 0 }, // end of z3
],
color: "#0284c7",
},
]}
/>