# Betrag und Argument komplexer Zahlen
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Berechne Betrag und Argument einer komplexen Zahl, wende die Quadrantenregeln an und wechsle zwischen kartesischer und polarer Form.
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## Was sind Betrag und Argument?
Eine komplexe Zahl $$z = x + iy$$ kann als Punkt $$(x, y)$$ auf der komplexen Ebene (ähnlich der kartesischen Ebene) dargestellt werden. Abgesehen davon, dass es sich um einen Punkt handelt, können wir ihn auch als **Vektor** betrachten, der vom Ursprung $$(0, 0)$$ bis zum Punkt $$(x, y)$$ beginnt.
Visible text: Eine komplexe Zahl kann als Punkt auf der komplexen Ebene (ähnlich der kartesischen Ebene) dargestellt werden. Abgesehen davon, dass es sich um einen Punkt handelt, können wir ihn auch als **Vektor** betrachten, der vom Ursprung bis zum Punkt beginnt.
Dieser Vektor hat eine **Länge** und eine **Richtung**. Die Länge heißt **Betrag**, die Richtung wird durch das **Argument** beschrieben.
## Betrag einer komplexen Zahl
Der **Betrag** einer komplexen Zahl $$z = x + iy$$, geschrieben als $$|z|$$, ist der **Abstand** vom Ursprung $$(0,0)$$ zum Punkt $$(x, y)$$ in der komplexen Ebene. Er ist zugleich die **Länge des Vektors**, der $$z$$ darstellt.
Visible text: Der **Betrag** einer komplexen Zahl , geschrieben als , ist der **Abstand** vom Ursprung zum Punkt in der komplexen Ebene. Er ist zugleich die **Länge des Vektors**, der darstellt.
Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung des Betrags
- description: Der Betrag $$|z|$$ ist die Länge des Vektors vom
Ursprung zum Punkt $$z$$. Er entspricht der Hypotenuse
eines rechtwinkligen Dreiecks.
Visible text: Der Betrag ist die Länge des Vektors vom
Ursprung zum Punkt . Er entspricht der Hypotenuse
eines rechtwinkligen Dreiecks.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
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{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 4, z: 0 },
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{ text: $$z=3+4i$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] },
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text: $$|z|$$,
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},
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},
// Hilfslinien für x und y
{
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{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
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Visible text: [
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{ x: 0, y: 0, z: 0 },
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},
// Hilfslinien für x und y
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{ x: 0, y: 0, z: 0 },
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]
Zur Berechnung des Betrags verwenden wir den Satz des Pythagoras. Die Kathetenlängen sind durch den Realteil $$x$$ und den Imaginärteil $$y$$ gegeben; der Betrag $$|z|$$ ist die Hypotenusenlänge.
Visible text: Zur Berechnung des Betrags verwenden wir den Satz des Pythagoras. Die Kathetenlängen sind durch den Realteil und den Imaginärteil gegeben; der Betrag ist die Hypotenusenlänge.
**Definition des Betrags:**
Der Betrag der komplexen Zahl $$z = x + iy$$ ist:
Visible text: Der Betrag der komplexen Zahl ist:
```math
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}
```
Als Länge ist der Betrag stets **nicht negativ**.
### Berechnung des Betrags
1. **Bestimme den Betrag von $$z_1 = 3 + 4i$$** mit $$x=3, y=4$$
```math
|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
```
2. **Bestimme den Betrag von $$z_2 = -1 - 2i$$** mit $$x=-1, y=-2$$
```math
|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
```
3. **Bestimme den Betrag von $$z_3 = 5$$** mit $$x=5, y=0$$
```math
|z_3| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5
```
Der Betrag einer reellen Zahl stimmt mit ihrem Absolutwert überein.
4. **Bestimme den Betrag von $$z_4 = -2i$$** mit $$x=0, y=-2$$
```math
|z_4| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2
```
Visible text: 1. **Bestimme den Betrag von ** mit
2. **Bestimme den Betrag von ** mit
3. **Bestimme den Betrag von ** mit
Der Betrag einer reellen Zahl stimmt mit ihrem Absolutwert überein.
4. **Bestimme den Betrag von ** mit
## Argument einer komplexen Zahl
Das **Argument** einer von Null verschiedenen komplexen Zahl $$z = x + iy$$, geschrieben als $$\arg(z)$$ oder $$\theta$$, ist der **Winkel**, den der Vektor $$z$$ mit der **positiven reellen Achse** auf der komplexen Ebene bildet. Dieser Winkel wird normalerweise im Bogenmaß oder Grad gemessen.
Visible text: Das **Argument** einer von Null verschiedenen komplexen Zahl , geschrieben als oder , ist der **Winkel**, den der Vektor mit der **positiven reellen Achse** auf der komplexen Ebene bildet. Dieser Winkel wird normalerweise im Bogenmaß oder Grad gemessen.
Aus der Trigonometrie am selben rechtwinkligen Dreieck folgen die Beziehungen:
Component: MathContainer
Children:
```math
x = |z| \cos \theta
```
```math
y = |z| \sin \theta
```
```math
\tan \theta = \frac{y}{x} \quad (\text{wenn} x \neq 0)
```
Wenn $$x$$ und $$y$$ beide ungleich null sind, berechnen wir zuerst den positiven Bezugswinkel:
Visible text: Wenn und beide ungleich null sind, berechnen wir zuerst den positiven Bezugswinkel:
```math
\alpha = \arctan\left(\left|\frac{y}{x}\right|\right), \qquad 0^\circ < \alpha < 90^\circ
```
Die Vorzeichen von $$x$$ und $$y$$ bestimmen den Quadranten. Damit wird der Bezugswinkel in das Hauptargument im Intervall $$(-180^\circ, 180^\circ]$$ überführt:
Visible text: Die Vorzeichen von und bestimmen den Quadranten. Damit wird der Bezugswinkel in das Hauptargument im Intervall überführt:
- **Quadrant $$I$$** ($$x>0, y>0$$):
```math
\text{Arg}(z) = \alpha
```
- **Quadrant $$II$$** ($$x<0, y>0$$):
```math
\text{Arg}(z) = 180^\circ - \alpha
```
- **Quadrant $$III$$** ($$x<0, y<0$$):
```math
\text{Arg}(z) = -180^\circ + \alpha
```
- **Quadrant $$IV$$** ($$x>0, y<0$$):
```math
\text{Arg}(z) = -\alpha
```
Visible text: - **Quadrant ** ():
- **Quadrant ** ():
- **Quadrant ** ():
- **Quadrant ** ():
Punkte auf einer Achse benötigen keinen Quotienten $$y/x$$. Ihre Richtung lässt sich direkt ablesen:
Visible text: Punkte auf einer Achse benötigen keinen Quotienten . Ihre Richtung lässt sich direkt ablesen:
Component: MathContainer
Children:
```math
x>0,\ y=0 \Rightarrow \text{Arg}(z)=0^\circ
```
```math
x=0,\ y>0 \Rightarrow \text{Arg}(z)=90^\circ
```
```math
x<0,\ y=0 \Rightarrow \text{Arg}(z)=180^\circ
```
```math
x=0,\ y<0 \Rightarrow \text{Arg}(z)=-90^\circ
```
### Berechnung des Arguments
1. **Bestimme das Hauptargument von $$z_1 = 1 + i$$**
Der Punkt $$(1, 1)$$ liegt im Quadranten $$I$$.
```math
\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1
```
```math
\theta = \arctan(1) = 45^\circ \text{oder} \frac{\pi}{4} \text{Bogenmaß}
```
2. **Bestimme das Hauptargument von $$z_2 = -\sqrt{3} + i$$**
Der Punkt $$(-\sqrt{3}, 1)$$ liegt im Quadranten $$II$$.
```math
\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}}
```
```math
\text{Basiswinkel} = \arctan\left(\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ
```
```math
\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \text{oder} \frac{5\pi}{6} \text{Bogenmaß}
```
Der Quadrant $$II$$ liegt oberhalb der negativen reellen Achse. Deshalb wird der Bezugswinkel von $$180^\circ$$ abgezogen.
3. **Bestimme das Hauptargument von $$z_3 = -1 - i\sqrt{3}$$**
Der Punkt $$(-1, -\sqrt{3})$$ liegt im Quadranten $$III$$.
```math
\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}
```
```math
\text{Basiswinkel} = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ
```
```math
\text{Arg}(z_3) = -180^\circ + 60^\circ = -120^\circ = -\frac{2\pi}{3}
```
Der Quadrant $$III$$ liegt unterhalb der negativen reellen Achse. Deshalb ist das Hauptargument negativ.
4. **Bestimme das Hauptargument von $$z_4 = 3 - 3i$$**
Der Punkt $$(3, -3)$$ liegt im Quadranten $$IV$$.
```math
\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-3}{3} = -1
```
```math
\text{Basiswinkel} = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = 45^\circ
```
```math
\text{Arg}(z_4) = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}
```
Der Quadrant $$IV$$ liegt unterhalb der positiven reellen Achse. Deshalb ist das Hauptargument negativ.
Visible text: 1. **Bestimme das Hauptargument von **
Der Punkt liegt im Quadranten .
2. **Bestimme das Hauptargument von **
Der Punkt liegt im Quadranten .
Der Quadrant liegt oberhalb der negativen reellen Achse. Deshalb wird der Bezugswinkel von abgezogen.
3. **Bestimme das Hauptargument von **
Der Punkt liegt im Quadranten .
Der Quadrant liegt unterhalb der negativen reellen Achse. Deshalb ist das Hauptargument negativ.
4. **Bestimme das Hauptargument von **
Der Punkt liegt im Quadranten .
Der Quadrant liegt unterhalb der positiven reellen Achse. Deshalb ist das Hauptargument negativ.
## Übung
Bestimme Betrag und Hauptargument (in Grad) der folgenden komplexen Zahlen:
1. $$z_a = 2 + 2i$$
2. $$z_b = -4$$
3. $$z_c = -i$$
Visible text: 1.
2.
3.
### Ausführliche Lösungen
1. **Für $$z_a = 2 + 2i$$:**
$$x=2, y=2$$ (Quadrant $$I$$), Betrag:
```math
|z_a| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
```
Argument:
```math
\tan \theta = \frac{2}{2} = 1 \implies \theta = \arctan(1) = 45^\circ
```
2. **Für $$z_b = -4$$:**
$$z_b = -4 + 0i$$. $$x=-4, y=0$$ (Negativ
reelle Achse), Betrag:
```math
|z_b| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4
```
Argument: Der Punkt liegt auf der negativen reellen Achse.
```math
\theta = 180^\circ
```
3. **Für $$z_c = -i$$:**
$$z_c = 0 - 1i$$. $$x=0, y=-1$$ (Negativ
imaginäre Achse), Betrag:
```math
|z_c| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1
```
Argument: Der Punkt liegt auf der negativen imaginären Achse.
```math
\text{Arg}(z_c) = -90^\circ
```
Visible text: 1. **Für :**
(Quadrant ), Betrag:
Argument:
2. **Für :**
. (Negativ
reelle Achse), Betrag:
Argument: Der Punkt liegt auf der negativen reellen Achse.
3. **Für :**
. (Negativ
imaginäre Achse), Betrag:
Argument: Der Punkt liegt auf der negativen imaginären Achse.