# Darstellungsformen komplexer Zahlen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/komplexe-zahlen/darstellungsformen-komplexer-zahlen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/complex-number-form/de.mdx Kartesische, polare und exponentielle Form komplexer Zahlen sowie die sichere Umrechnung zwischen diesen Darstellungen. --- ## Kartesische Form (rechteckig) Eine komplexe Zahl hat die Form $$z = x + iy$$, wobei $$x$$ der Realteil und $$y$$ der Imaginärteil ist. Diese Form $$z = x + iy$$ wird als **kartesische Form** oder rechteckige Form bezeichnet. Visible text: Eine komplexe Zahl hat die Form , wobei der Realteil und der Imaginärteil ist. Diese Form wird als **kartesische Form** oder rechteckige Form bezeichnet. ```math z = x + iy ``` - $$x = \text{Re}(z)$$ (Realteil) - $$y = \text{Im}(z)$$ (Imaginärteil) Visible text: - (Realteil) - (Imaginärteil) Die komplexe Zahl $$z = x + iy$$ kann auch als geordnetes Paar $$(x, y)$$ aufgefasst werden. Die zugehörige Koordinatenebene heißt **komplexe Ebene** oder Argand-Diagramm. Visible text: Die komplexe Zahl kann auch als geordnetes Paar aufgefasst werden. Die zugehörige Koordinatenebene heißt **komplexe Ebene** oder Argand-Diagramm. - Die horizontale Achse ($$x$$-Achse) stellt den **Realteil** dar. - Die vertikale Achse ($$y$$-Achse) stellt den **Imaginärteil** dar. Visible text: - Die horizontale Achse (-Achse) stellt den **Realteil** dar. - Die vertikale Achse (-Achse) stellt den **Imaginärteil** dar. ### Visualisierung auf der komplexen Ebene Jede komplexe Zahl $$z = x + iy$$ kann als Punkt $$(x, y)$$ in der komplexen Ebene eingetragen werden. Der Ortsvektor vom Ursprung $$(0, 0)$$ zu diesem Punkt stellt dieselbe Zahl geometrisch dar. Visible text: Jede komplexe Zahl kann als Punkt in der komplexen Ebene eingetragen werden. Der Ortsvektor vom Ursprung zu diesem Punkt stellt dieselbe Zahl geometrisch dar. Component: LineEquation Props: - title: Komplexe Zahlen auf der komplexen Ebene - description: Visualisierung mehrerer komplexer Zahlen als Punkte und Vektoren auf der komplexen Ebene. - cameraPosition: [0, 0, 10] - showZAxis: false - data: [ { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 2, z: 0 }, ], color: "#e11d48", labels: [{ text: $$z_1=3+2i$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: -1, y: -1, z: 0 }, ], color: "#059669", labels: [{ text: $$z_2=-1-i$$, at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 2, y: 0, z: 0 }, ], color: "#7c3aed", labels: [{ text: $$z_3=2$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 0, y: 1, z: 0 }, ], color: "#d97706", labels: [{ text: $$z_4=i$$, at: 1, offset: [-1, 0.5, 0] }], }, ] Visible text: [ { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 2, z: 0 }, ], color: "#e11d48", labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: -1, y: -1, z: 0 }, ], color: "#059669", labels: [{ text: , at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 2, y: 0, z: 0 }, ], color: "#7c3aed", labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }], }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 0, y: 1, z: 0 }, ], color: "#d97706", labels: [{ text: , at: 1, offset: [-1, 0.5, 0] }], }, ] ## Polarform Neben der kartesischen Form gibt es eine zweite wichtige Darstellung: die **Polarform**. Sie beschreibt eine komplexe Zahl durch: 1. **Betrag ($$r$$):** Der Abstand vom Ursprung $$(0, 0)$$ zum Punkt $$(x, y)$$ in der komplexen Ebene. Er ist stets nicht negativ. 2. **Argument ($$\theta$$):** Der Winkel, den die Linie vom Ursprung zum Punkt $$(x, y)$$ mit der positiven realen Achse bildet. Dieser Winkel wird normalerweise im Bogenmaß oder Grad gemessen. Visible text: 1. **Betrag ():** Der Abstand vom Ursprung zum Punkt in der komplexen Ebene. Er ist stets nicht negativ. 2. **Argument ():** Der Winkel, den die Linie vom Ursprung zum Punkt mit der positiven realen Achse bildet. Dieser Winkel wird normalerweise im Bogenmaß oder Grad gemessen. Für $$z=0$$ ist der Betrag $$0$$, aber keine Richtung festgelegt. Null besitzt deshalb kein Argument und muss in Polar- oder Exponentialform gesondert betrachtet werden. Visible text: Für ist der Betrag , aber keine Richtung festgelegt. Null besitzt deshalb kein Argument und muss in Polar- oder Exponentialform gesondert betrachtet werden. Die Beziehung zwischen der kartesischen Form ($$x, y$$) und der Polarform ($$r, \theta$$) lässt sich anhand der grundlegenden Trigonometrie erkennen: Visible text: Die Beziehung zwischen der kartesischen Form () und der Polarform () lässt sich anhand der grundlegenden Trigonometrie erkennen: Component: MathContainer Children: ```math x = r \cos \theta ``` ```math y = r \sin \theta ``` Daraus lassen sich $$r$$ und $$\theta$$ bestimmen, wenn $$x$$ und $$y$$ bekannt sind: Visible text: Daraus lassen sich und bestimmen, wenn und bekannt sind: Component: MathContainer Children: ```math r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ``` ```math \tan \theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0) ``` Beim Bestimmen von $$\theta$$ aus $$\tan \theta$$ muss auch der Quadrant des Punktes $$(x, y)$$ berücksichtigt werden, denn der Tangenswert allein legt den Winkel nicht eindeutig fest. Visible text: Beim Bestimmen von aus muss auch der Quadrant des Punktes berücksichtigt werden, denn der Tangenswert allein legt den Winkel nicht eindeutig fest. Durch Einsetzen von $$x$$ und $$y$$ in die kartesische Form erhalten wir die **Polarform**: Visible text: Durch Einsetzen von und in die kartesische Form erhalten wir die **Polarform**: Component: MathContainer Children: ```math z = x + iy = (r \cos \theta) + i(r \sin \theta) ``` ```math z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ``` Manchmal wird die Form $$(\cos \theta + i \sin \theta)$$ als $$\text{cis } \theta$$ abgekürzt. Visible text: Manchmal wird die Form als abgekürzt. ```math z = r \text{ cis} \theta ``` ### Beispiel: Umrechnung in die Polarform Gegeben sei $$z = 1 + i$$. Visible text: Gegeben sei . - Realteil $$x = 1$$. - Imaginärteil $$y = 1$$. Visible text: - Realteil . - Imaginärteil . Zuerst bestimmen wir $$r$$: Visible text: Zuerst bestimmen wir : ```math r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ``` Danach bestimmen wir $$\theta$$: Visible text: Danach bestimmen wir : ```math \tan \theta = \frac{1}{1} = 1 ``` Da $$x$$ und $$y$$ positiv sind, liegt der Punkt $$(1, 1)$$ im Quadranten $$I$$. Dort hat $$\tan$$ den Wert $$1$$. Im Quadranten $$I$$ gehört dazu der Winkel $$45^\circ$$ beziehungsweise $$\pi/4$$ im Bogenmaß. Visible text: Da und positiv sind, liegt der Punkt im Quadranten . Dort hat den Wert . Im Quadranten gehört dazu der Winkel beziehungsweise im Bogenmaß. Die Polarform ist also: ```math z = \sqrt{2} (\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) ``` ### Übung zur Polarform Gib die folgenden komplexen Zahlen in Polarform an: 1. $$z = 1 + i\sqrt{3}$$ 2. $$z = -i$$ Visible text: 1. 2. **Ausführliche Lösungen:** 1. Für $$z = 1 + i\sqrt{3}$$: - Hier sind $$x = 1$$ und $$y = \sqrt{3}$$. - Berechne den Betrag $$r$$: ```math r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 ``` - Bestimme das Argument $$\theta$$: ```math \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} ``` Da $$x$$ und $$y$$ positiv sind, gilt: Der Punkt $$(1, \sqrt{3})$$ liegt im Quadranten $$I$$ , daher ist $$\theta = 60^\circ$$. - Polarform: ```math z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) ``` 2. Für $$z = -i$$: - Hier sind $$x = 0$$ und $$y = -1$$. - Berechne den Betrag $$r$$: ```math r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1 ``` - Bestimme das Argument $$\theta$$: Der Punkt $$(0, -1)$$ liegt auf der negativen imaginären Achse. Sein Hauptargument ist daher $$\theta = -90^\circ$$. - Polarform mit dem Hauptargument: ```math z = 1(\cos (-90^\circ) + i \sin (-90^\circ)) ``` Der koterminale Winkel $$270^\circ$$ liefert die gleichwertige Form: ```math z = 1(\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ) ``` Visible text: 1. Für : - Hier sind und . - Berechne den Betrag : - Bestimme das Argument : Da und positiv sind, gilt: Der Punkt liegt im Quadranten , daher ist . - Polarform: 2. Für : - Hier sind und . - Berechne den Betrag : - Bestimme das Argument : Der Punkt liegt auf der negativen imaginären Achse. Sein Hauptargument ist daher . - Polarform mit dem Hauptargument: Der koterminale Winkel liefert die gleichwertige Form: ## Exponentielle Form Es gibt noch eine weitere wichtige Form: die **Exponentialform**. Aus **Eulers Formel** folgt: ```math e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta ``` Hier ist $$e \approx 2{,}71828\ldots$$ die Eulersche Zahl, die Basis des natürlichen Logarithmus. Visible text: Hier ist die Eulersche Zahl, die Basis des natürlichen Logarithmus. Wenn wir die Eulersche Formel in die Polarform $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$ einsetzen, erhalten wir die **Exponentialform**: Visible text: Wenn wir die Eulersche Formel in die Polarform einsetzen, erhalten wir die **Exponentialform**: ```math z = r e^{i\theta} ``` Für Faktoren ungleich null macht diese Form aus der Multiplikation das Multiplizieren der Beträge und Addieren der Argumente; bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert. ### Beispiel: Umrechnung in die Exponentialform Betrachten wir die beiden vorigen Beispiele: 1. Für $$z = 1 + i$$ haben wir bereits die Polarform $$\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)$$. - Betrag $$r = \sqrt{2}$$. - Argument $$\theta = 45^\circ = \pi/4$$ Bogenmaß. - Exponentialform: ```math z = r e^{i\theta} = \sqrt{2} e^{i \pi/4} ``` 2. Für $$z = \sqrt{2}(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ)$$: - Betrag $$r = \sqrt{2}$$. - Argument $$\theta = 315^\circ$$. Umrechnung ins Bogenmaß: ```math 315^\circ = 315 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7 \times 45 \times \pi}{4 \times 45} = \frac{7\pi}{4} ``` Gleichwertig kann der negative Winkel $$315^\circ - 360^\circ = -45^\circ = -\pi/4$$ verwendet werden. - Exponentialform mit einer der beiden Winkeldarstellungen: ```math z = \sqrt{2} e^{i 7\pi/4} ``` oder ```math z = \sqrt{2} e^{-i \pi/4} ``` Visible text: 1. Für haben wir bereits die Polarform . - Betrag . - Argument Bogenmaß. - Exponentialform: 2. Für : - Betrag . - Argument . Umrechnung ins Bogenmaß: Gleichwertig kann der negative Winkel verwendet werden. - Exponentialform mit einer der beiden Winkeldarstellungen: oder ### Übung zur Exponentialform Gib die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialform an. Verwende Winkel im Bogenmaß. 1. $$z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$$ 2. $$z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$$ Visible text: 1. 2. **Ausführliche Lösungen:** 1. Für $$z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$$: - Betrag $$r = 2$$. - Argument $$\theta = 60^\circ$$. Umrechnung ins Bogenmaß: ```math \theta = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} ``` - Exponentialform: ```math z = 2 e^{i \pi/3} ``` 2. Für $$z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$$: - Betrag $$r = 1$$, da vor $$\cos$$ und $$\sin$$ kein anderer Faktor steht. - Argument $$\theta = 15^\circ$$. Umrechnung ins Bogenmaß: ```math \theta = 15^\circ = 15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12} ``` - Exponentialform: ```math z = e^{i \pi/12} ``` Visible text: 1. Für : - Betrag . - Argument . Umrechnung ins Bogenmaß: - Exponentialform: 2. Für : - Betrag , da vor und kein anderer Faktor steht. - Argument . Umrechnung ins Bogenmaß: - Exponentialform: ## Eine geeignete Form wählen Die kartesische Form ist normalerweise die klarste Wahl für Addition und Subtraktion. Die Polar- oder Exponentialform erleichtert Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln, da Beträge und Argumente direkt kombiniert werden können. Für den Rückweg von der Polarform zur kartesischen Form werden Sinus und Cosinus ausgewertet. Zum Beispiel: ```math w=4\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)=-2\sqrt{3}+2i ``` Das Ändern der Form ist daher eine Entscheidung zur Problemlösung und kein separater Vorgang an der Zahl. ## Gleichheit zweier komplexer Zahlen Zwei komplexe Zahlen $$z_1 = x_1 + iy_1$$ und $$z_2 = x_2 + iy_2$$ sind genau dann **gleich**, wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen. Visible text: Zwei komplexe Zahlen und sind genau dann **gleich**, wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen. ```math z_1 = z_2 \quad \iff \quad x_1 = x_2 \text{und} y_1 = y_2 ``` ### Beispiel zur Gleichheit - $$z_1 = 3 - 2i$$ und $$z_2 = 4 + 2i$$ sind **unterschiedlich**. weil $$\text{Re}(z_1) = 3 \neq \text{Re}(z_2) = 4$$ (obwohl $$|\text{Im}(z_1)| = |-2| = 2 = |\text{Im}(z_2)| = |2|$$, unterscheiden sich ihre imaginären Vorzeichen). - $$z_1 = -1 + i$$ und $$z_2 = i - 1$$ sind **gleich**. weil $$\text{Re}(z_1) = -1 = \text{Re}(z_2) = -1$$ und $$\text{Im}(z_1) = 1 = \text{Im}(z_2) = 1$$. Visible text: - und sind **unterschiedlich**. weil (obwohl , unterscheiden sich ihre imaginären Vorzeichen). - und sind **gleich**. weil und . ### Übung zur Gleichheit Entscheide, ob die folgenden Paare komplexer Zahlen gleich oder verschieden sind: 1. $$z_1 = 4 - (-2i)$$ und $$z_2 = 4 + 2i$$ 2. $$z_1 = i$$ und $$z_2 = 1 - i$$ 3. $$z_1 = -1 + i$$ und $$z_2 = i + 1$$ Visible text: 1. und 2. und 3. und **Ausführliche Lösungen:** 1. $$z_1 = 4 - (-2i) = 4 + 2i$$. Somit ist $$z_1$$ **gleich** zu $$z_2 = 4 + 2i$$. 2. $$z_1 = 0 + 1i$$ und $$z_2 = 1 - 1i$$. Die Realteile sind unterschiedlich ($$0 \neq 1$$) und die Imaginärteile sind unterschiedlich ($$1 \neq -1$$). Somit ist $$z_1$$ **verschieden** von $$z_2$$. 3. $$z_1 = -1 + 1i$$ und $$z_2 = 1 + 1i$$. Die Realteile sind unterschiedlich ($$-1 \neq 1$$). Somit ist $$z_1$$ **verschieden** von $$z_2$$. Visible text: 1. . Somit ist **gleich** zu . 2. und . Die Realteile sind unterschiedlich () und die Imaginärteile sind unterschiedlich (). Somit ist **verschieden** von . 3. und . Die Realteile sind unterschiedlich (). Somit ist **verschieden** von . ## Übungen 1. **Richtig oder falsch.** Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl. 2. **Richtig oder falsch.** Die drei hier verwendeten Standardformen sind die kartesische, die exponentielle und die logarithmische Form. 3. **Richtig oder falsch.** Wenn die komplexe Zahl $$z = 1 - 3i$$ in die komplexe Ebene eingetragen wird, liegt sie im dritten Quadranten. 4. Gib die komplexe Zahl $$2+2i$$ in Polar- und Exponentialform an. 5. Bestimme $$x$$ und $$y$$ so, dass für $$z_1 = x + 3i$$ und $$z_2 = 3 - yi$$ die Gleichheit $$z_1 = z_2$$ gilt. 6. Löse die quadratische Gleichung $$x^2 - 2x + 6 = 0$$. 7. Bestimme die quadratische Gleichung mit den Lösungen $$x_1 = 1 + i$$ und $$x_2 = 1 - i$$. Visible text: 1. **Richtig oder falsch.** Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl. 2. **Richtig oder falsch.** Die drei hier verwendeten Standardformen sind die kartesische, die exponentielle und die logarithmische Form. 3. **Richtig oder falsch.** Wenn die komplexe Zahl in die komplexe Ebene eingetragen wird, liegt sie im dritten Quadranten. 4. Gib die komplexe Zahl in Polar- und Exponentialform an. 5. Bestimme und so, dass für und die Gleichheit gilt. 6. Löse die quadratische Gleichung . 7. Bestimme die quadratische Gleichung mit den Lösungen und . ### Ausführliche Lösungen 1. **Richtig.** Eine reelle Zahl $$a$$ kann als $$a + 0i$$ geschrieben werden. 2. **Falsch.** Die drei hier verwendeten Standardformen sind die kartesische, die polare und die exponentielle Form. Ein Logarithmus ist eine Operation auf einer komplexen Zahl und kein Ersatz für die in der Liste fehlende Polarform. 3. **Falsch.** $$z = 1 - 3i$$ hat einen positiven Realteil ($$x=1$$) und einen negativen Imaginärteil ($$y=-3$$). Der Punkt $$(1, -3)$$ liegt im **vierten Quadranten**. 4. Für $$z = 2 + 2i$$: - Berechne den Betrag $$r$$: ```math r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ``` - Berechne das Argument $$\theta$$: ```math \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1 ``` Da $$x=2$$ und $$y=2$$ beide positiv sind, liegt der Punkt im ersten Quadranten. Daher ist $$\theta = 45^\circ$$ beziehungsweise $$\pi/4$$ im Bogenmaß. - Polarform: ```math z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) ``` - Exponentialform: ```math z = r e^{i\theta} = 2\sqrt{2} e^{i \pi/4} ``` 5. Damit $$z_1 = x + 3i$$ gleich $$z_2 = 3 - yi$$ ist, müssen die Realteile gleich und die Imaginärteile gleich sein: - Realteil: $$x = 3$$ - Imaginärteil: $$3 = -y \implies y = -3$$ Also $$x=3$$ und $$y=-3$$. 6. Zum Lösen von $$x^2 - 2x + 6 = 0$$ verwenden wir die quadratische Lösungsformel: ```math x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} ``` Hier gilt $$a=1, b=-2, c=6$$: ```math x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} ``` ```math x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2} ``` ```math x = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{2} ``` ```math x = \frac{2 \pm i\sqrt{20}}{2} ``` ```math x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}i}{2} ``` ```math x = 1 \pm i\sqrt{5} ``` Die Lösungen sind $$x_1 = 1 + i\sqrt{5}$$ und $$x_2 = 1 - i\sqrt{5}$$ . 7. Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung $$x_1 = 1 + i$$ und $$x_2 = 1 - i$$ sind, kann die Gleichung aus $$(x - x_1)(x - x_2) = 0$$ oder $$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 x_2) = 0$$ gebildet werden. - Berechne die Summe der Lösungen: ```math x_1 + x_2 = (1+i) + (1-i) = 1 + i + 1 - i = 2 ``` - Berechne das Produkt der Lösungen: ```math x_1 x_2 = (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 ``` - Stelle daraus die quadratische Gleichung auf: ```math x^2 - (2)x + (2) = 0 ``` ```math x^2 - 2x + 2 = 0 ``` Visible text: 1. **Richtig.** Eine reelle Zahl kann als geschrieben werden. 2. **Falsch.** Die drei hier verwendeten Standardformen sind die kartesische, die polare und die exponentielle Form. Ein Logarithmus ist eine Operation auf einer komplexen Zahl und kein Ersatz für die in der Liste fehlende Polarform. 3. **Falsch.** hat einen positiven Realteil () und einen negativen Imaginärteil (). Der Punkt liegt im **vierten Quadranten**. 4. Für : - Berechne den Betrag : - Berechne das Argument : Da und beide positiv sind, liegt der Punkt im ersten Quadranten. Daher ist beziehungsweise im Bogenmaß. - Polarform: - Exponentialform: 5. Damit gleich ist, müssen die Realteile gleich und die Imaginärteile gleich sein: - Realteil: - Imaginärteil: Also und . 6. Zum Lösen von verwenden wir die quadratische Lösungsformel: Hier gilt : Die Lösungen sind und . 7. Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung und sind, kann die Gleichung aus oder gebildet werden. - Berechne die Summe der Lösungen: - Berechne das Produkt der Lösungen: - Stelle daraus die quadratische Gleichung auf: