# Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/komplexe-zahlen/eigenschaften-der-multiplikation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/properties-multiplication-complex-numbers/de.mdx

Nutze Rechengesetze und den Kehrwert, um Ausdrücke mit komplexen Zahlen umzuformen und zu beweisen.

---

## Eigenschaften der Multiplikationsoperation

Die Multiplikation komplexer Zahlen folgt den vertrauten Kommutativ-, Assoziativ-, Identitäts- und Distributivgesetzen. Seien $$z_1, z_2,$$ und $$z_3$$ beliebige komplexe Zahlen.

Visible text: Die Multiplikation komplexer Zahlen folgt den vertrauten Kommutativ-, Assoziativ-, Identitäts- und Distributivgesetzen. Seien und beliebige komplexe Zahlen.

### Kommutative Eigenschaft

Die kommutative Eigenschaft bedeutet, dass die Reihenfolge bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.

```math
z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1
```

**Beispiel:**

Seien $$z_1 = 1+2i$$ und $$z_2 = 3-i$$.

Visible text: Seien und .

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times z_2 = (1+2i)(3-i) = 1(3-i) + 2i(3-i) = 3-i+6i-2i^2 = 3+5i-2(-1) = 5+5i
```

```math
z_2 \times z_1 = (3-i)(1+2i) = 3(1+2i) - i(1+2i) = 3+6i-i-2i^2 = 3+5i-2(-1) = 5+5i
```

Beide Produkte ergeben $$5+5i$$. Damit ist die Kommutativität in diesem Beispiel bestätigt.

Visible text: Beide Produkte ergeben . Damit ist die Kommutativität in diesem Beispiel bestätigt.

### Assoziative Eigenschaft

Die assoziative Eigenschaft besagt, dass bei der Multiplikation von drei oder mehr komplexen Zahlen die Gruppierung der Multiplikation das Ergebnis nicht verändert.

```math
(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)
```

**Beispiel:**

Seien $$z_1 = i$$, $$z_2 = 2$$ und $$z_3 = 3-i$$.

Visible text: Seien , und .

Component: MathContainer
Children:

```math
(z_1 \times z_2) \times z_3 = (i \times 2) \times (3-i) = 2i(3-i) = 6i - 2i^2 = 6i - 2(-1) = 2+6i
```

```math
z_1 \times (z_2 \times z_3) = i \times (2 \times (3-i)) = i \times (6-2i) = 6i - 2i^2 = 6i - 2(-1) = 2+6i
```

Beide Klammerungen ergeben $$2+6i$$. Damit ist die Assoziativität in diesem Beispiel bestätigt.

Visible text: Beide Klammerungen ergeben . Damit ist die Assoziativität in diesem Beispiel bestätigt.

### Multiplikative Identität

Die komplexe Zahl $$1 = 1+0i$$ ist das neutrale Element der Multiplikation. Eine Multiplikation mit $$1$$ lässt jede komplexe Zahl unverändert.

Visible text: Die komplexe Zahl ist das neutrale Element der Multiplikation. Eine Multiplikation mit lässt jede komplexe Zahl unverändert.

```math
z \times 1 = z = 1 \times z
```

**Beispiel:**

Sei $$z = 4-7i$$.

Visible text: Sei .

Component: MathContainer
Children:

```math
z \times 1 = (4-7i)(1+0i) = 4(1) - (-7)(0) + i(4(0) + (-7)(1)) = 4 - 7i = z
```

```math
1 \times z = (1+0i)(4-7i) = 1(4) - (0)(-7) + i(1(-7) + 0(4)) = 4 - 7i = z
```

### Distributivgesetz

Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation und Addition komplexer Zahlen.

```math
z_1 \times (z_2 + z_3) = (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)
```

**Beispiel:**

Sei $$z_1=2$$, $$z_2 = 1+i$$, $$z_3 = 3-2i$$.

Visible text: Sei , , .

**Linke Seite:** $$z_1 \times (z_2 + z_3)$$

Visible text: **Linke Seite:**

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times (z_2 + z_3) = 2 \times ((1+i) + (3-2i))
```

```math
= 2 \times (1+3 + i-2i)
```

```math
= 2 \times (4-i)
```

```math
= 8-2i
```

**Rechte Seite:** $$(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)$$

Visible text: **Rechte Seite:**

Component: MathContainer
Children:

```math
(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) = (2(1+i)) + (2(3-2i))
```

```math
= (2+2i) + (6-4i)
```

```math
= (2+6) + (2i-4i)
```

```math
= 8-2i
```

Beide Seiten ergeben $$8-2i$$. Damit ist das Distributivgesetz in diesem Beispiel bestätigt.

Visible text: Beide Seiten ergeben . Damit ist das Distributivgesetz in diesem Beispiel bestätigt.

## Beispielbeweis mithilfe von Eigenschaften

Mit denselben Gesetzen lassen sich algebraische Identitäten beweisen. Für beliebige $$z_1, z_2$$ wird $$(z_1 + z_2)^2$$ wie folgt ausmultipliziert:

Visible text: Mit denselben Gesetzen lassen sich algebraische Identitäten beweisen. Für beliebige wird wie folgt ausmultipliziert:

Component: MathContainer
Children:

```math
(z_1 + z_2)^2 = (z_1 + z_2)(z_1 + z_2) \quad \text{(Definition von Quadrat)}
```

```math
= z_1(z_1 + z_2) + z_2(z_1 + z_2) \quad \text{(Distributivgesetz)}
```

```math
= (z_1z_1 + z_1z_2) + (z_2z_1 + z_2z_2) \quad \text{(Distributivgesetz)}
```

```math
= z_1^2 + z_1z_2 + z_2z_1 + z_2^2 \quad \text{(Definition von Quadrat)}
```

```math
= z_1^2 + z_1z_2 + z_1z_2 + z_2^2 \quad \text{(Kommutative Eigenschaft:} z_2z_1 = z_1z_2)
```

```math
= z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2 \quad \text{(Kombination ähnlicher Begriffe)}
```

## Multiplikative Umkehrung

Jede von Null verschiedene komplexe Zahl $$z = x + iy \neq 0$$ hat eine multiplikative Umkehrung, die als $$z^{-1}$$ oder $$1/z$$ bezeichnet wird, so dass $$z \times z^{-1} = 1$$.

Visible text: Jede von Null verschiedene komplexe Zahl hat eine multiplikative Umkehrung, die als oder bezeichnet wird, so dass .

Sei $$z^{-1} = u + iv$$. Dann:

Visible text: Sei . Dann:

Component: MathContainer
Children:

```math
z \times z^{-1} = 1
```

```math
(x+iy)(u+iv) = 1 + 0i
```

```math
(xu - yv) + i(xv + uy) = 1 + 0i
```

Aus der Gleichheit zweier komplexer Zahlen folgt das Gleichungssystem:

1.  $$xu - yv = 1$$
2.  $$xv + uy = 0$$

Visible text: 1. 
2.

Um $$u$$ zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $$x$$ und die zweite mit $$y$$ und addieren anschließend:

Visible text: Um zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit und addieren anschließend:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2u-xyv=x
```

```math
xyv+y^2u=0
```

```math
(x^2+y^2)u=x
```

Um $$v$$ zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $$-y$$ und die zweite mit $$x$$ und addieren wieder. Wegen $$z\neq0$$ gilt $$x^2+y^2>0$$, sodass wir durch diesen Wert teilen dürfen:

Visible text: Um zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit und addieren wieder. Wegen gilt , sodass wir durch diesen Wert teilen dürfen:

Component: MathContainer
Children:

```math
-xyu+y^2v=-y
```

```math
x^2v+xyu=0
```

```math
(x^2+y^2)v=-y
```

Component: MathContainer
Children:

```math
u = \frac{x}{x^2+y^2}
```

```math
v = -\frac{y}{x^2+y^2}
```

Die multiplikative Umkehrung von $$z = x+iy$$ ist also:

Visible text: Die multiplikative Umkehrung von ist also:

```math
z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}
```

Da $$x^2+y^2 = |z|^2$$ und $$x-iy = \bar{z}$$ gilt, lässt sich der Kehrwert auch so schreiben:

Visible text: Da und gilt, lässt sich der Kehrwert auch so schreiben:

```math
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}
```