# Eigenschaften des Betrags komplexer Zahlen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/komplexe-zahlen/eigenschaften-des-betrags Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/properties-modulus-complex-numbers/de.mdx Regeln für Beträge von Produkten, Quotienten und Konjugierten sowie Dreiecksungleichungen mit Beweisen und vollständigen Beispielen. --- ## Rechenregeln für den Betrag Seien $$z_1$$ und $$z_2$$ komplexe Zahlen. Visible text: Seien und komplexe Zahlen. ### Betrag einer Zahl, ihres Negativen und ihres Konjugierten Der Betrag einer komplexen Zahl bleibt unverändert, wenn die Zahl negiert oder konjugiert wird. ```math |z_1| = |-z_1| = |\bar{z_1}| ``` **Erklärung:** Für $$z_1 = x + iy$$ gilt $$-z_1 = -x - iy$$ und $$\bar{z_1} = x - iy$$. Visible text: Für gilt und . - $$|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ - $$|-z_1| = \sqrt{(-x)^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$$ - $$|\bar{z_1}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Visible text: - - - Alle drei ergeben den gleichen Wert. ### Betrag einer Differenz Der Betrag einer Differenz ändert sich nicht, wenn die Reihenfolge der beiden komplexen Zahlen vertauscht wird. ```math |z_1 - z_2| = |z_2 - z_1| ``` **Erklärung:** Das folgt direkt aus der ersten Regel, denn $$z_1 - z_2 = -(z_2 - z_1)$$. Daher: Visible text: Das folgt direkt aus der ersten Regel, denn . Daher: ```math |z_1 - z_2| = |-(z_2 - z_1)| = |z_2 - z_1| ``` ### Quadrat des Betrags Das Quadrat des Betrags einer komplexen Zahl ist das Produkt der Zahl mit ihrem Konjugierten. ```math |z_1|^2 = z_1 \times \bar{z_1} ``` **Erklärung:** Wenn $$z_1 = x + iy$$, dann $$\bar{z_1} = x - iy$$. Visible text: Wenn , dann . ```math z_1 \times \bar{z_1} = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2y^2 = x^2 - (-1)y^2 = x^2 + y^2 ``` Außerdem ist $$|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2}$$, also $$|z_1|^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 = x^2 + y^2$$. Visible text: Außerdem ist , also . Somit sind beide Seiten gleich. ### Betrag eines Produkts Der Betrag eines Produkts ist das Produkt der beiden Beträge. ```math |z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| ``` Der Zusammenhang lässt sich zeigen, indem das Produkt mit seinem Konjugierten multipliziert wird: Component: MathContainer Children: ```math |z_1z_2|^2=(z_1z_2)\overline{(z_1z_2)} ``` ```math =z_1\bar{z_1}\,z_2\bar{z_2} ``` ```math =|z_1|^2|z_2|^2 ``` Da beide Beträge nicht negativ sind, liefert das Ziehen der Quadratwurzel die Produktregel. ### Betrag eines Quotienten Der Betrag eines Quotienten ist der Quotient der beiden Beträge, sofern der Nenner nicht null ist. ```math \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad \text{für} z_2 \neq 0 ``` Die Quotientenregel folgt aus der Produktregel, weil $$z_1=(z_1/z_2)z_2$$ für $$z_2\neq0$$ gilt. Visible text: Die Quotientenregel folgt aus der Produktregel, weil für gilt. ### Dreiecksungleichung Der Betrag einer Summe ist höchstens so groß wie die Summe der beiden Beträge. ```math |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| ``` **Erklärung:** Geometrisch werden die Vektoren $$z_1$$ und $$z_2$$ aneinandergelegt. Der direkte Vektor vom Anfangs- zum Endpunkt ist $$z_1 + z_2$$; seine Länge kann die Summe $$|z_1| + |z_2|$$ der beiden anderen Seitenlängen nicht überschreiten. Visible text: Geometrisch werden die Vektoren und aneinandergelegt. Der direkte Vektor vom Anfangs- zum Endpunkt ist ; seine Länge kann die Summe der beiden anderen Seitenlängen nicht überschreiten. ### Umgekehrte Dreiecksungleichung Die Differenz der beiden Beträge kann nicht größer sein als der Abstand zwischen den Zahlen selbst. ```math \bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1-z_2| ``` Diese Ungleichung liefert eine Untergrenze für einen Abstand oder eine Summe. Ersetzt man beispielsweise $$z_2$$ durch $$-z_2$$, folgt $$\bigl||z_1|-|z_2|\bigr| \leq |z_1+z_2|$$. Visible text: Diese Ungleichung liefert eine Untergrenze für einen Abstand oder eine Summe. Ersetzt man beispielsweise durch , folgt . ## Anwendung der Betragsregeln Gegeben ist die komplexe Zahl $$z = \frac{1 - 2i}{3 + 4i}$$. Gesucht ist $$|z|$$. Visible text: Gegeben ist die komplexe Zahl . Gesucht ist . **Lösung:** Wir schreiben $$z = \frac{z_1}{z_2}$$ mit $$z_1 = 1 - 2i$$ und $$z_2 = 3 + 4i$$. Visible text: Wir schreiben mit und . Mit der Regel für den **Betrag eines Quotienten** gilt: ```math |z| = \left| \frac{1 - 2i}{3 + 4i} \right| = \frac{|1 - 2i|}{|3 + 4i|} ``` Nun berechnen wir die Beträge von $$z_1$$ und $$z_2$$: Visible text: Nun berechnen wir die Beträge von und : Component: MathContainer Children: ```math |z_1| = |1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} ``` ```math |z_2| = |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ``` Daher: ```math |z| = \frac{\sqrt{5}}{5} ``` Dieser Weg ist kürzer, als den Bruch zunächst mit dem Konjugierten des Nenners zu erweitern und erst anschließend den Betrag zu berechnen. ## Übungen 1. Für $$z_1 = 6 + 8i$$ und $$z_2 = 3 - i$$: Berechne $$|z_1 \times z_2|$$ mithilfe der Betragsregeln. 2. Für $$z = 5 - 12i$$: Zeige, dass $$|z|^2 = z \times \bar{z}$$ gilt. 3. Für $$|z_1|=3$$ und $$|z_2|=5$$: Bestimme die möglichen Grenzen für $$|z_1+z_2|$$. Visible text: 1. Für und : Berechne mithilfe der Betragsregeln. 2. Für : Zeige, dass gilt. 3. Für und : Bestimme die möglichen Grenzen für . ### Lösungen 1. Wir verwenden die Eigenschaft $$|z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2|$$. Zuerst berechnen wir beide Beträge: ```math |z_1| = |6 + 8i| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 ``` ```math |z_2| = |3 - i| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} ``` Dann folgt: ```math |z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = 10 \times \sqrt{10} = 10\sqrt{10} ``` 2. Gegeben ist $$z = 5 - 12i$$. Für die linke Seite $$|z|^2$$ erhalten wir: ```math |z| = |5 - 12i| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 ``` ```math |z|^2 = 13^2 = 169 ``` Für die rechte Seite $$z \times \bar{z}$$ benötigen wir zunächst das Konjugierte: Das Konjugat von $$z$$ ist $$\bar{z} = 5 + 12i$$. ```math z \times \bar{z} = (5 - 12i)(5 + 12i) = 5^2 - (12i)^2 = 25 - 144i^2 = 25 - 144(-1) = 25 + 144 = 169 ``` Da die linke Seite $$169$$ und die rechte Seite $$169$$ ergeben, ist $$|z|^2 = z \times \bar{z}$$ für dieses Beispiel bestätigt. 3. Die gewöhnliche und die umgekehrte Dreiecksungleichung liefern eine obere und eine untere Grenze: ```math \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2| ``` Setzt man die bekannten Beträge ein, erhält man $$2\leq|z_1+z_2|\leq8$$. Der genaue Wert hängt vom Winkel zwischen den beiden komplexen Zahlen ab. Visible text: 1. Wir verwenden die Eigenschaft . Zuerst berechnen wir beide Beträge: Dann folgt: 2. Gegeben ist . Für die linke Seite erhalten wir: Für die rechte Seite benötigen wir zunächst das Konjugierte: Das Konjugat von ist . Da die linke Seite und die rechte Seite ergeben, ist für dieses Beispiel bestätigt. 3. Die gewöhnliche und die umgekehrte Dreiecksungleichung liefern eine obere und eine untere Grenze: Setzt man die bekannten Beträge ein, erhält man . Der genaue Wert hängt vom Winkel zwischen den beiden komplexen Zahlen ab.