# Eigenschaften des Hauptarguments komplexer Zahlen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/komplexe-zahlen/eigenschaften-des-hauptarguments Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/properties-principal-argument-complex-numbers/de.mdx Lerne die wichtigsten Regeln für Argumente bei der Multiplikation und Division komplexer Zahlen in Polarform kennen, einschließlich Bereichsanpassung und gelöster Übungsaufgaben. --- ## Argumente bei Produkten und Quotienten Bei der Multiplikation werden Richtungen durch die Summe ihrer Winkel verknüpft. Bei der Division werden die Winkel voneinander abgezogen. Seien $$z_1$$ und $$z_2$$ zwei komplexe Zahlen ungleich null in Polarform: Visible text: Bei der Multiplikation werden Richtungen durch die Summe ihrer Winkel verknüpft. Bei der Division werden die Winkel voneinander abgezogen. Seien und zwei komplexe Zahlen ungleich null in Polarform: Component: MathContainer Children: ```math z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) ``` ```math z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) ``` Dabei ist $$\theta_1$$ ein Argument von $$z_1$$ und $$\theta_2$$ ein Argument von $$z_2$$. Visible text: Dabei ist ein Argument von und ein Argument von . ### Argument des Produkts Das Argument des Produkts zweier komplexer Zahlen ($$z_1 \times z_2$$) ist die **Summe** der Argumente der einzelnen komplexen Zahlen. Visible text: Das Argument des Produkts zweier komplexer Zahlen () ist die **Summe** der Argumente der einzelnen komplexen Zahlen. Die folgende Gleichheit ist modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen: ```math \arg(z_1 z_2) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi} ``` Das heißt, wenn $$\theta_1$$ ein Argument von $$z_1$$ und $$\theta_2$$ ein Argument von $$z_2$$ ist, Visible text: Das heißt, wenn ein Argument von und ein Argument von ist, dann ist $$\theta_1 + \theta_2$$ eines der Argumente von $$z_1 z_2$$. Visible text: dann ist eines der Argumente von . **Um das Hauptargument $$\text{Arg}(z_1 z_2)$$ zu finden:** Visible text: **Um das Hauptargument zu finden:** 1. Berechne $$\text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2)$$. 2. Liegt das Ergebnis bereits in $$(-180^\circ, 180^\circ]$$ beziehungsweise $$(-\pi, \pi]$$, ist es das Hauptargument. 3. Andernfalls addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in diesem Intervall liegt. Visible text: 1. Berechne . 2. Liegt das Ergebnis bereits in beziehungsweise , ist es das Hauptargument. 3. Andernfalls addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in diesem Intervall liegt. ### Argument des Quotienten Das Argument des Quotienten zweier komplexer Zahlen ($$\frac{z_1}{z_2}$$, mit $$z_2 \neq 0$$) ist die **Differenz** zwischen dem Argument der komplexen Zahl des Zählers ($$z_1$$) und dem Argument der komplexen Zahl des Nenners ($$z_2$$). Visible text: Das Argument des Quotienten zweier komplexer Zahlen (, mit ) ist die **Differenz** zwischen dem Argument der komplexen Zahl des Zählers () und dem Argument der komplexen Zahl des Nenners (). Auch hier ist die Gleichheit modulo einer vollen Umdrehung zu verstehen: ```math \arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi} ``` Das heißt, wenn $$\theta_1$$ ein Argument von $$z_1$$ und $$\theta_2$$ ein Argument von $$z_2$$ ist, Visible text: Das heißt, wenn ein Argument von und ein Argument von ist, dann ist $$\theta_1 - \theta_2$$ eines der Argumente von $$\frac{z_1}{z_2}$$. Visible text: dann ist eines der Argumente von . **So bestimmst du das Hauptargument $$\text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right)$$:** Visible text: **So bestimmst du das Hauptargument :** 1. Berechne $$\text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2)$$. 2. Liegt das Ergebnis bereits in $$(-180^\circ, 180^\circ]$$ beziehungsweise $$(-\pi, \pi]$$, ist es das Hauptargument. 3. Andernfalls addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in diesem Intervall liegt. Visible text: 1. Berechne . 2. Liegt das Ergebnis bereits in beziehungsweise , ist es das Hauptargument. 3. Andernfalls addiere oder subtrahiere volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in diesem Intervall liegt. ## Argumenteigenschaften verwenden Gegeben sind zwei komplexe Zahlen: Component: MathContainer Children: ```math z_1 = 2(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ) ``` ```math z_2 = 3(\cos 95^\circ + i\sin 95^\circ) ``` Bestimme das Hauptargument von $$z_1 \times z_2$$ und $$\frac{z_1}{z_2}$$. Visible text: Bestimme das Hauptargument von und . **Lösung:** Die beiden Hauptargumente lauten: Component: MathContainer Children: ```math \text{Arg}(z_1) = 45^\circ ``` ```math \text{Arg}(z_2) = 95^\circ ``` 1. **Argument des Produkts ($$z_1 \times z_2$$):** Summe der Hauptargumente: ```math \text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2) = 45^\circ + 95^\circ = 140^\circ ``` Da $$140^\circ$$ bereits in $$(-180^\circ, 180^\circ]$$ liegt, gilt: ```math \text{Arg}(z_1 \times z_2) = 140^\circ ``` Die Menge aller Argumente ist $$\{140^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$$ 2. **Quotientenargument ($$\frac{z_1}{z_2}$$):** Differenz der Hauptargumente: ```math \text{Arg}(z_1) - \text{Arg}(z_2) = 45^\circ - 95^\circ = -50^\circ ``` Da $$-50^\circ$$ bereits in $$(-180^\circ, 180^\circ]$$ liegt, gilt: ```math \text{Arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = -50^\circ ``` Die Menge aller Argumente ist $$\{-50^\circ + k \cdot 360^\circ : k \in \mathbb{Z}\}$$. Visible text: 1. **Argument des Produkts ():** Summe der Hauptargumente: Da bereits in liegt, gilt: Die Menge aller Argumente ist 2. **Quotientenargument ():** Differenz der Hauptargumente: Da bereits in liegt, gilt: Die Menge aller Argumente ist . ## Übung Gegeben seien $$z_a = 4(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$$ und $$z_b = 2(\cos 50^\circ + i\sin 50^\circ)$$. Bestimme: Visible text: Gegeben seien und . Bestimme: 1. $$\text{Arg}(z_a \times z_b)$$ 2. $$\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right)$$ Visible text: 1. 2. ### Ausführliche Lösung Gegeben seien $$\text{Arg}(z_a) = 120^\circ$$ und $$\text{Arg}(z_b) = 50^\circ$$. Visible text: Gegeben seien und . Die positiven Beträge ändern die Richtung der beiden komplexen Zahlen nicht. Für die Rechnung werden deshalb nur die beiden Argumente benötigt. 1. **Produktargument:** ```math \text{Arg}(z_a) + \text{Arg}(z_b) = 120^\circ + 50^\circ = 170^\circ ``` Aus $$170^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$$ folgt $$\text{Arg}(z_a z_b) = 170^\circ$$. 2. **Quotientenargument:** ```math \text{Arg}(z_a) - \text{Arg}(z_b) = 120^\circ - 50^\circ = 70^\circ ``` Aus $$70^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$$ folgt $$\text{Arg}\left(\frac{z_a}{z_b}\right) = 70^\circ$$. Visible text: 1. **Produktargument:** Aus folgt . 2. **Quotientenargument:** Aus folgt .