# Komplexe Zahlen verstehen

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Verstehe, warum komplexe Zahlen die reellen Zahlen erweitern, wie die imaginäre Einheit funktioniert und wie Real- und Imaginärteil bestimmt werden.

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## Die Notwendigkeit komplexer Zahlen

Betrachte die quadratische Gleichung $$x^2 - 1 = 0$$. Durch Faktorisieren erhält man $$(x-1)(x+1) = 0$$. Ihre beiden Lösungen $$x=1$$ und $$x=-1$$ sind reelle Zahlen.

Visible text: Betrachte die quadratische Gleichung . Durch Faktorisieren erhält man . Ihre beiden Lösungen und sind reelle Zahlen.

Bei $$x^2 + 1 = 0$$ ist das anders. Die Gleichung verlangt $$x^2 = -1$$, doch das Quadrat jeder reellen Zahl ist nichtnegativ. Deshalb besitzt sie keine reelle Lösung.

Visible text: Bei ist das anders. Die Gleichung verlangt , doch das Quadrat jeder reellen Zahl ist nichtnegativ. Deshalb besitzt sie keine reelle Lösung.

Die komplexen Zahlen erweitern das reelle Zahlensystem, sodass auch solche Gleichungen lösbar werden.

## Imaginäre Zahlen

Die **imaginäre Einheit** wird mit $$i$$ bezeichnet und durch die Gleichung

Visible text: Die **imaginäre Einheit** wird mit bezeichnet und durch die Gleichung

```math
i^2 = -1
```

definiert. Mit der Konvention der Hauptwurzel schreibt man dafür auch

```math
\sqrt{-1}=i
```

Für eine nichtnegative reelle Zahl $$a$$ ist die Hauptwurzel von $$-a$$ gleich $$i\sqrt{a}$$. Zum Beispiel:

Visible text: Für eine nichtnegative reelle Zahl ist die Hauptwurzel von gleich . Zum Beispiel:

Component: MathContainer
Children:

```math
\sqrt{-4} = i\sqrt{4} = 2i
```

```math
\sqrt{-9} = i\sqrt{9} = 3i
```

Zahlen wie $$2i$$ und $$3i$$ werden **rein imaginäre Zahlen** genannt.

Visible text: Zahlen wie und werden **rein imaginäre Zahlen** genannt.

## Allgemeine Form

Komplexe Zahlen werden im Allgemeinen in der Form $$z = a + bi$$ geschrieben, wobei:

Visible text: Komplexe Zahlen werden im Allgemeinen in der Form geschrieben, wobei:

- $$a=\operatorname{Re}(z)$$ ist der **Realteil**.
- $$b=\operatorname{Im}(z)$$ ist der **Imaginärteil**.
- $$i$$ ist die imaginäre Einheit ($$\sqrt{-1}$$
  ).

Visible text: - ist der **Realteil**.
- ist der **Imaginärteil**.
- ist die imaginäre Einheit (
 ).

Sowohl $$a$$ als auch $$b$$ sind reelle Zahlen. Der Ausdruck $$bi$$ ist der imaginäre Term, sein Koeffizient $$b$$ ist der Imaginärteil.

Visible text: Sowohl als auch sind reelle Zahlen. Der Ausdruck ist der imaginäre Term, sein Koeffizient ist der Imaginärteil.

### Beispiele

Betrachten wir einige Beispiele und bestimmen wir jeweils Real- und Imaginärteil:

1.  **$$2 + 3i$$**

    - Realteil ($$a$$): $$2$$
    - Imaginärteil ($$b$$): $$3$$

2.  **$$5 - 4i$$**
    Dies ist dasselbe wie $$5 + (-4)i$$.

    - Realteil ($$a$$): $$5$$
    - Imaginärteil ($$b$$): $$-4$$

3.  **$$\sqrt{2}$$**
    Dies ist eine gewöhnliche reelle Zahl, kann aber auch als komplexe Zahl mit einem Imaginärteil von $$0$$ betrachtet werden. Seine Form ist $$\sqrt{2} + 0i$$.

    - Realteil ($$a$$): $$\sqrt{2}$$
    - Imaginärteil ($$b$$): $$0$$

4.  **$$-7i$$**
    Dies ist eine rein imaginäre Zahl. Seine Form ist $$0 + (-7)i$$.
    - Realteil ($$a$$): $$0$$
    - Imaginärteil ($$b$$): $$-7$$

Visible text: 1. ****

 - Realteil (): 
 - Imaginärteil (): 

2. ****
 Dies ist dasselbe wie .

 - Realteil (): 
 - Imaginärteil (): 

3. ****
 Dies ist eine gewöhnliche reelle Zahl, kann aber auch als komplexe Zahl mit einem Imaginärteil von betrachtet werden. Seine Form ist .

 - Realteil (): 
 - Imaginärteil (): 

4. ****
 Dies ist eine rein imaginäre Zahl. Seine Form ist .
 - Realteil (): 
 - Imaginärteil ():

## Übung

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:

1. $$2 + \sqrt{(-2)^2}$$
2. $$2 + i^2$$
3. $$1 + \sqrt{-9}$$
4. $$1 + 2i$$

Visible text: 1. 
2. 
3. 
4.

### Ausführliche Lösungen

1. $$2 + \sqrt{(-2)^2} = 2 + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4$$.{" "}

   Dies kann als $$4 + 0i$$ geschrieben werden.

   - Realteil: $$4$$
   - Imaginärteil: $$0$$

2. $$2 + i^2 = 2 + (-1) = 1$$.{" "}

   Dies kann als $$1 + 0i$$ geschrieben werden.

   - Realteil: $$1$$
   - Imaginärteil: $$0$$

3. $$1 + \sqrt{-9} = 1 + 3i$$.{" "}

   Dies kann als $$1 + 3i$$ geschrieben werden.

   - Realteil: $$1$$
   - Imaginärteil: $$3$$

4. $$1 + 2i$$.

   Dies kann als $$1 + 2i$$ geschrieben werden.

   - Realteil: $$1$$
   - Imaginärteil: $$2$$

Visible text: 1. . 

 Dies kann als geschrieben werden.

 - Realteil: 
 - Imaginärteil: 

2. . 

 Dies kann als geschrieben werden.

 - Realteil: 
 - Imaginärteil: 

3. . 

 Dies kann als geschrieben werden.

 - Realteil: 
 - Imaginärteil: 

4. .

 Dies kann als geschrieben werden.

 - Realteil: 
 - Imaginärteil: