# Hauptargument komplexer Zahlen

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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/principal-argument-complex-numbers/de.mdx

Bestimme das eindeutige Hauptargument einer komplexen Zahl ungleich null und führe koterminale Winkel in das festgelegte Hauptintervall zurück.

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## Das Hauptargument verstehen

Das Argument $$\theta$$ einer komplexen Zahl $$z = x + iy$$ ungleich null ist der Winkel, den der Vektor $$z$$ mit der positiven reellen Achse bildet. Der Nullvektor hat keine Richtung, daher ist $$\text{Arg}(0)$$ nicht definiert.

Visible text: Das Argument einer komplexen Zahl ungleich null ist der Winkel, den der Vektor mit der positiven reellen Achse bildet. Der Nullvektor hat keine Richtung, daher ist nicht definiert.

Dieselbe Richtung lässt sich durch unendlich viele koterminale Winkel beschreiben.

Ist $$\theta$$ ein Argument von $$z$$, dann ist auch $$\theta + 2\pi k$$ mit einer ganzen Zahl $$k$$, also $$0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$, ein Argument von $$z$$. Jede Addition eines Vielfachen von $$360^\circ$$ beziehungsweise $$2\pi$$ beschreibt dieselbe Richtung.

Visible text: Ist ein Argument von , dann ist auch mit einer ganzen Zahl , also , ein Argument von . Jede Addition eines Vielfachen von beziehungsweise beschreibt dieselbe Richtung.

**Beispiel:**

Die Winkel $$45^\circ$$, $$405^\circ$$ ($$45^\circ + 360^\circ$$) und $$-315^\circ$$ ($$45^\circ - 360^\circ$$) zeigen alle die gleiche Richtung an.

Visible text: Die Winkel , () und () zeigen alle die gleiche Richtung an.

Da es unendlich viele Argumente für eine einzelne komplexe Zahl gibt, benötigen wir oft einen eindeutigen Standardwert. Dieser Wert wird als **Hauptargument** bezeichnet.

## Definition des Hauptarguments

Das Hauptargument einer komplexen Zahl $$z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$$ ungleich null, mit $$r>0$$, ist der eindeutige Wert des Arguments $$\theta$$ im festgelegten Intervall.

Visible text: Das Hauptargument einer komplexen Zahl ungleich null, mit , ist der eindeutige Wert des Arguments im festgelegten Intervall.

In diesem Kurs ist das **Hauptargument** (bezeichnet mit $$\text{Arg}(z)$$) als das Argument $$\theta$$ definiert, für das gilt:

Visible text: In diesem Kurs ist das **Hauptargument** (bezeichnet mit ) als das Argument definiert, für das gilt:

```math
-\pi < \theta \leq \pi \quad \text{oder} \quad -180^\circ < \theta \leq 180^\circ
```

Einige Quellen verwenden stattdessen $$[0, 2\pi)$$. Beide Konventionen wählen aus jeder Familie koterminaler Winkel genau einen Vertreter. In diesem Kurs wird durchgehend $$(-\pi, \pi]$$ verwendet.

Visible text: Einige Quellen verwenden stattdessen . Beide Konventionen wählen aus jeder Familie koterminaler Winkel genau einen Vertreter. In diesem Kurs wird durchgehend verwendet.

## Bestimmung des Hauptarguments

Bestimme zuerst ein beliebiges Argument. Addiere oder subtrahiere dann volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in $$(-\pi, \pi]$$ beziehungsweise $$(-180^\circ, 180^\circ]$$ liegt.

Visible text: Bestimme zuerst ein beliebiges Argument. Addiere oder subtrahiere dann volle Umdrehungen, bis das Ergebnis in beziehungsweise liegt.

### Das Hauptargument finden

1.  **Bestimme das Hauptargument von $$z = 1 + i$$**

    Der Punkt $$(1, 1)$$ liegt im Quadranten $$I$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1
    ```

      
    
    ```math
    \theta = \arctan(1) = 45^\circ
    ```

    </MathContainer>

    Da $$45^\circ$$ bereits in $$(-180^\circ, 180^\circ]$$ liegt, lautet das Hauptargument:

    
    
    ```math
    \text{Arg}(z) = 45^\circ \text{oder} \frac{\pi}{4} \text{Bogenmaß}
    ```

2.  **Bestimme das Hauptargument von $$z = \sqrt{3} + i$$**

    Der Punkt $$(\sqrt{3}, 1)$$ liegt im Quadranten $$I$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}
    ```

      
    
    ```math
    \theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ
    ```

    </MathContainer>

    Da $$30^\circ$$ bereits in $$(-180^\circ, 180^\circ]$$ liegt, lautet das Hauptargument:

    
    
    ```math
    \text{Arg}(z) = 30^\circ \text{oder} \frac{\pi}{6} \text{Bogenmaß}
    ```

Visible text: 1. **Bestimme das Hauptargument von **

 Der Punkt liegt im Quadranten .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Da bereits in liegt, lautet das Hauptargument:

 
 

2. **Bestimme das Hauptargument von **

 Der Punkt liegt im Quadranten .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Da bereits in liegt, lautet das Hauptargument:

Component: ContentBlock
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Hauptargumentvisualisierung
- description: Die Vektoren $$z_1=1+i$$ und
$$z_2=\sqrt{3}+i$$ sind mit ihren Hauptargumenten
$$45^\circ$$ und $$30^\circ$$ dargestellt.
  Visible text: Die Vektoren und
 sind mit ihren Hauptargumenten
 und dargestellt.
- cameraPosition: [0, 0, 8]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 1, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$z_1=1+i$$, at: 1, offset: [-1, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(3), y: 1, z: 0 },
],
color: "#65a30d",
labels: [{ text: $$z_2=\sqrt{3}+i$$, at: 1, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Positive reelle Achse als Winkelreferenz
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
],
color: "#d97706",
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 1, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-1, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(3), y: 1, z: 0 },
],
color: "#65a30d",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Positive reelle Achse als Winkelreferenz
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
],
color: "#d97706",
},
]

## Gleichheit zweier komplexer Zahlen in Polarform

Zwei komplexe Zahlen $$z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)$$ und $$z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)$$ ungleich null, mit $$r_1>0$$ und $$r_2>0$$, heißen genau dann **gleich**, wenn:

Visible text: Zwei komplexe Zahlen und ungleich null, mit und , heißen genau dann **gleich**, wenn:

1.  Ihre Beträge sind gleich:

    $$r_1 = r_2$$ (oder $$|z_1| = |z_2|$$)

2.  Ihre Argumente sind gleich oder unterscheiden sich um ein Vielfaches von $$2\pi$$ (oder $$360^\circ$$):

    $$\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi$$ oder $$\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi$$ für
    eine ganze Zahl $$k$$.

Visible text: 1. Ihre Beträge sind gleich:

 (oder )

2. Ihre Argumente sind gleich oder unterscheiden sich um ein Vielfaches von (oder ):

 oder für
 eine ganze Zahl .

Wenn wir das **Hauptargument** in $$(-\pi, \pi]$$ verwenden, vereinfacht sich die zweite Bedingung zu $$\text{Arg}(z_1) = \text{Arg}(z_2)$$.

Visible text: Wenn wir das **Hauptargument** in verwenden, vereinfacht sich die zweite Bedingung zu .

### Prüfung auf Gleichheit

Entscheide, ob die folgenden Paare komplexer Zahlen gleich oder verschieden sind.

1.  $$z_1 = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)$$ und $$z_2 = \sqrt{2}(\cos 95^\circ + i\sin 95^\circ)$$
2.  $$z_1 = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ$$ und $$z_2 = \cos 390^\circ + i\sin 390^\circ$$

Visible text: 1. und 
2. und

**Lösung:**

1.  Vergleiche Betrag und Hauptargument:

    - Betrag: $$|z_1| = \sqrt{2}$$ und $$|z_2| = \sqrt{2}$$. (Gleich)
    - Hauptargument: $$\text{Arg}(z_1) = 45^\circ$$ und $$\text{Arg}(z_2) = 95^\circ$$. (Anders)

    Da ihre Hauptargumente verschieden sind ($$45^\circ \neq 95^\circ$$), gilt $$z_1 \neq z_2$$.

2.  Vergleiche Betrag und Argument:

    - Betrag: $$|z_1| = 1$$ und $$|z_2| = 1$$. (Gleich)
    - Argumente: $$\theta_1 = 30^\circ$$ und $$\theta_2 = 390^\circ$$.
    - Differenz der Argumente: $$\theta_1 - \theta_2 = 30^\circ - 390^\circ = -360^\circ$$.

    Da die Differenz der Argumente ein Vielfaches von $$360^\circ$$ ist ($$-360^\circ = -1 \times 360^\circ$$), gilt $$z_1 = z_2$$.

    Alternativ können wir sehen, dass das Hauptargument von $$z_2$$ $$390^\circ - 360^\circ = 30^\circ$$ ist, was dasselbe ist wie das Hauptargument von $$z_1$$.

Visible text: 1. Vergleiche Betrag und Hauptargument:

 - Betrag: und . (Gleich)
 - Hauptargument: und . (Anders)

 Da ihre Hauptargumente verschieden sind (), gilt .

2. Vergleiche Betrag und Argument:

 - Betrag: und . (Gleich)
 - Argumente: und .
 - Differenz der Argumente: .

 Da die Differenz der Argumente ein Vielfaches von ist (), gilt .

 Alternativ können wir sehen, dass das Hauptargument von ist, was dasselbe ist wie das Hauptargument von .

## Übung

Bestimme das Hauptargument der folgenden komplexen Zahlen in Grad:

1.  $$1 + \sqrt{3}i$$
2.  $$-i$$

Visible text: 1. 
2.

### Ausführliche Lösungen

1.  **Für $$z = 1 + \sqrt{3}i$$:**

    Der Punkt $$(1, \sqrt{3})$$ liegt im Quadranten $$I$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}
    ```

      
    
    ```math
    \theta = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ
    ```

    </MathContainer>

    Aus $$60^\circ \in (-180^\circ, 180^\circ]$$ folgt $$\text{Arg}(z) = 60^\circ$$.

2.  **Für $$z = -i$$:**

    Schreibe die Zahl als $$z = 0 - 1i$$. Der Punkt $$(0, -1)$$ liegt direkt auf der negativen imaginären Achse. Eine Division durch $$x=0$$ ist daher nicht nötig.

    
    
    ```math
    \text{Arg}(z) = -90^\circ = -\frac{\pi}{2}
    ```

Visible text: 1. **Für :**

 Der Punkt liegt im Quadranten .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Aus folgt .

2. **Für :**

 Schreibe die Zahl als . Der Punkt liegt direkt auf der negativen imaginären Achse. Eine Division durch ist daher nicht nötig.