# Kehrwert komplexer Zahlen

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Bestimme den Kehrwert einer komplexen Zahl mithilfe ihres Konjugierten und ihres Betrags und überprüfe das Ergebnis durch Multiplikation.

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## Was ist der Kehrwert einer komplexen Zahl?

Jede **komplexe Zahl ungleich null** $$z = x + iy$$ besitzt eine **multiplikative Umkehrung**, auch Kehrwert genannt. Sie wird als $$z^{-1}$$ oder $$1/z$$ geschrieben.

Visible text: Jede **komplexe Zahl ungleich null** besitzt eine **multiplikative Umkehrung**, auch Kehrwert genannt. Sie wird als oder geschrieben.

Multipliziert man $$z$$ mit ihrem Kehrwert $$z^{-1}$$, erhält man das multiplikative neutrale Element $$1$$.

Visible text: Multipliziert man mit ihrem Kehrwert , erhält man das multiplikative neutrale Element .

```math
z \times z^{-1} = 1
```

## Die Kehrwertformel

Aus den [Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen](/de/faecher/mathematik/komplexe-zahlen/eigenschaften-der-multiplikation#multiplikative-umkehrung) folgt für $$z = x + iy$$:

Visible text: Aus den [Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen](/de/faecher/mathematik/komplexe-zahlen/eigenschaften-der-multiplikation#multiplikative-umkehrung) folgt für :

```math
z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}
```

Als geordnetes Paar lässt sich derselbe Kehrwert so schreiben:

```math
z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{y}{x^2+y^2} \right)
```

Besonders nützlich ist die Darstellung mit dem Konjugierten $$\bar{z} = x-iy$$ und dem Quadrat des Betrags $$|z|^2 = x^2+y^2$$:

Visible text: Besonders nützlich ist die Darstellung mit dem Konjugierten und dem Quadrat des Betrags :

```math
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}
```

## Beispielrechnung

Bestimme den Kehrwert von $$z = 1 - i$$.

Visible text: Bestimme den Kehrwert von .

**Lösung:**

Hier sind $$x=1$$ und $$y=-1$$.

Visible text: Hier sind und .

Mit der ersten Formel:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2+y^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2
```

```math
z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}
```

```math
= \frac{1}{2} - i\frac{-1}{2}
```

```math
= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i
```

Mit dem Konjugierten und dem Betrag ergibt sich derselbe Wert:

Component: MathContainer
Children:

```math
\bar{z} = 1 - (-1)i = 1+i
```

```math
|z|^2 = x^2+y^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2
```

```math
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i
```

Beide Wege liefern:

Component: ContentStack
Children:

```math
z^{-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i \text{oder} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)
```

Prüfe das Ergebnis durch Multiplikation mit der ursprünglichen Zahl:

```math
(1-i)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)i=1
```

Component: LineEquation
Props:
- title: $$z$$ und{" "}
$$z^{-1}$$
  Visible text: und
- description: Die Zahl $$z=1-i$$ und ihr Kehrwert{" "}
$$z^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$ liegen auf
entgegengesetzten Seiten der reellen Achse; ihre Beträge sind reziprok.
  Visible text: Die Zahl und ihr Kehrwert 
 liegen auf
entgegengesetzten Seiten der reellen Achse; ihre Beträge sind reziprok.
- cameraPosition: [0, 0, 8]
- showZAxis: false
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labels: [
{
text: $$z^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$$,
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},
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  Visible text: [
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text: ,
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},
]

## Übung

Gegeben sind $$z_1 = 1-i$$ und $$z_2 = 2+3i$$. Bestimme den Kehrwert von $$z_1 + z_2$$.

Visible text: Gegeben sind und . Bestimme den Kehrwert von .

### Ausführliche Lösungen

Schritt $$1$$: Berechne zuerst $$z_1 + z_2$$.

Visible text: Schritt : Berechne zuerst .

```math
z = z_1 + z_2 = (1-i) + (2+3i) = (1+2) + (-1+3)i = 3+2i
```

Schritt $$2$$: Bestimme den Kehrwert von $$z = 3+2i$$.
Dabei sind $$x=3$$ und $$y=2$$.
Mit $$z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$$ erhält man:

Visible text: Schritt : Bestimme den Kehrwert von .
Dabei sind und .
Mit erhält man:

Component: MathContainer
Children:

```math
\bar{z} = 3-2i
```

```math
|z|^2 = x^2+y^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
```

```math
z^{-1} = \frac{3-2i}{13} = \frac{3}{13} - \frac{2}{13}i
```

Der Kehrwert von $$z_1 + z_2$$ ist damit $$\frac{3}{13} - \frac{2}{13}i$$.

Visible text: Der Kehrwert von ist damit .