# Konjugierte komplexe Zahlen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/komplexe-zahlen/konjugiert-komplexe-zahlen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/conjugate-complex-numbers/de.mdx Bilde das Konjugierte einer komplexen Zahl, deute es als Spiegelung an der reellen Achse und nutze seine Rechenregeln. --- ## Was ist das Konjugierte einer komplexen Zahl? Zu jeder komplexen Zahl $$z = x + iy$$ gehört ein **Konjugiertes**, das mit $$\bar{z}$$ bezeichnet wird. Visible text: Zu jeder komplexen Zahl gehört ein **Konjugiertes**, das mit bezeichnet wird. Es entsteht, indem **das Vorzeichen des Imaginärteils gewechselt wird**. ## Formale Definition Ist $$z = x + iy$$ eine komplexe Zahl mit dem Realteil $$x$$ und dem Imaginärteil $$y$$, dann gilt: Visible text: Ist eine komplexe Zahl mit dem Realteil und dem Imaginärteil , dann gilt: ```math \bar{z} = x - iy ``` Der Realteil $$x$$ bleibt also unverändert. Nur das Vorzeichen des Imaginärteils $$y$$ wird umgekehrt. Visible text: Der Realteil bleibt also unverändert. Nur das Vorzeichen des Imaginärteils wird umgekehrt. ## Beispiele Die Regel lässt sich direkt auf verschiedene Formen komplexer Zahlen anwenden: 1. **Wenn** $$z = 2 + i$$ Hier sind $$x=2$$ und $$y=1$$. Damit ist $$\bar{z} = 2 - i$$. Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von $$+1$$ zu $$-1$$. 2. **Wenn** $$z = 2$$ Wir können $$z = 2 + 0i$$ schreiben. Hier sind $$x=2$$ und $$y=0$$. Damit ist $$\bar{z} = 2 - 0i = 2$$. Der Imaginärteil ist $$0$$, sodass der Vorzeichenwechsel nichts ändert. Das Konjugat einer reellen Zahl ist die reelle Zahl selbst. 3. **Wenn** $$z = 3 - 2i$$ Hier sind $$x=3$$ und $$y=-2$$. Damit ist $$\bar{z} = 3 - (-2i) = 3 + 2i$$. Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von $$-2$$ zu $$+2$$. 4. **Wenn** $$z = 3i$$ Wir können $$z = 0 + 3i$$ schreiben. Hier sind $$x=0$$ und $$y=3$$. Damit ist $$\bar{z} = 0 - 3i = -3i$$. Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von $$+3$$ zu $$-3$$. Das Konjugat einer rein imaginären Zahl ist ihr Negativ. Visible text: 1. **Wenn** Hier sind und . Damit ist . Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von zu . 2. **Wenn** Wir können schreiben. Hier sind und . Damit ist . Der Imaginärteil ist , sodass der Vorzeichenwechsel nichts ändert. Das Konjugat einer reellen Zahl ist die reelle Zahl selbst. 3. **Wenn** Hier sind und . Damit ist . Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von zu . 4. **Wenn** Wir können schreiben. Hier sind und . Damit ist . Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von zu . Das Konjugat einer rein imaginären Zahl ist ihr Negativ. ## Visualisierung des Konjugats In der komplexen Ebene ist $$\bar{z}$$ die **Spiegelung** von $$z$$ an der **reellen Achse**, also der $$x$$-Achse. Visible text: In der komplexen Ebene ist die **Spiegelung** von an der **reellen Achse**, also der -Achse. Component: LineEquation Props: - title: $$z=3+2i$$ und sein Konjugiertes{" "} $$\bar{z} = 3-2i$$ Visible text: und sein Konjugiertes - description: $$z$$ und $$\bar{z}$$ liegen spiegelbildlich zur reellen Achse. Visible text: und liegen spiegelbildlich zur reellen Achse. - cameraPosition: [0, 0, 10] - showZAxis: false - data: [ { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 2, z: 0 }, ], color: "#0284c7", labels: [{ text: $$z=3+2i$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }], cone: { position: "end" }, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: -2, z: 0 }, ], color: "#65a30d", labels: [{ text: $$\bar{z}=3-2i$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }], cone: { position: "end" }, }, // Reelle Achse als Spiegelgerade (optional) { points: [ { x: -5, y: 0, z: 0 }, { x: 5, y: 0, z: 0 }, ], color: "#d97706", }, ] Visible text: [ { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: 2, z: 0 }, ], color: "#0284c7", labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }], cone: { position: "end" }, }, { points: [ { x: 0, y: 0, z: 0 }, { x: 3, y: -2, z: 0 }, ], color: "#65a30d", labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }], cone: { position: "end" }, }, // Reelle Achse als Spiegelgerade (optional) { points: [ { x: -5, y: 0, z: 0 }, { x: 5, y: 0, z: 0 }, ], color: "#d97706", }, ] ## Wann ist eine Zahl gleich ihrem Konjugierten? Kann eine komplexe Zahl $$z=x+iy$$ gleich ihrem Konjugierten $$\bar{z}=x-iy$$ sein? Entscheidend ist der Imaginärteil. Visible text: Kann eine komplexe Zahl gleich ihrem Konjugierten sein? Entscheidend ist der Imaginärteil. **Herleitung:** Aus $$z = \bar{z}$$ folgt: Visible text: Aus folgt: ```math x+iy = x-iy ``` Die Gleichung kann nur gelten, wenn $$iy = -iy$$, also $$2iy = 0$$ ist. Visible text: Die Gleichung kann nur gelten, wenn , also ist. Da $$i \neq 0$$ gilt, muss $$y=0$$ sein. Visible text: Da gilt, muss sein. Eine komplexe Zahl ist somit **genau dann gleich ihrem Konjugierten, wenn ihr Imaginärteil null ist**. Anders gesagt: **Die Zahl muss reell sein**. ## Rechenregeln der Konjugation Für beliebige komplexe Zahlen $$z, z_1,$$ und $$z_2$$ gelten die folgenden Rechenregeln. Visible text: Für beliebige komplexe Zahlen und gelten die folgenden Rechenregeln. ### Summe und Differenz Das Konjugierte einer Summe oder Differenz erhält man, indem jeder Summand einzeln konjugiert wird. Component: MathContainer Children: ```math \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} ``` ```math \overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2} ``` ### Produkt und Quotient Dasselbe Prinzip gilt für Produkte und, sofern der Nenner nicht null ist, für Quotienten. Component: MathContainer Children: ```math \overline{z_1 \times z_2} = \bar{z_1} \times \bar{z_2} ``` ```math \overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}, \quad \text{für} z_2 \neq 0 ``` ### Inverse Das Konjugieren und das Bilden des Kehrwerts können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden. ```math \overline{z^{-1}} = (\bar{z})^{-1}, \quad z \neq 0 ``` ### Doppelkonjugat Zweimaliges Konjugieren führt zur ursprünglichen Zahl zurück. ```math \overline{(\bar{z})} = z ``` ### Relation mit Real- und Imaginärteilen Summe und Differenz einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten isolieren Real- und Imaginärteil: Component: MathContainer Children: ```math z + \bar{z} = 2 \text{Re}(z) ``` ```math z - \bar{z} = 2i \text{Im}(z) ``` ### Multiplikation durch Konjugat Das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten ist das Quadrat ihres Betrags und damit eine nichtnegative reelle Zahl. ```math z \times \bar{z} = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2 = |z|^2 ``` ## Übung Bestimme das Konjugierte der folgenden komplexen Zahlen. 1. $$2+i^2$$ 2. $$1+\frac{1}{i}$$ 3. $$1+2i$$ Visible text: 1. 2. 3. ### Ausführliche Lösungen 1. Zuerst wird die komplexe Zahl vereinfacht: $$z = 2+i^2 = 2+(-1) = 1$$. Da $$z=1$$ eine reelle Zahl ist, lässt sie sich als $$1+0i$$ schreiben. Ihr Konjugiertes ist daher $$\bar{z} = 1$$. 2. Auch hier wird zuerst vereinfacht. Dazu wird der Nenner mit $$-i$$ rationalisiert: ```math \frac{1}{i} = \frac{1}{i} \times \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i ``` Also ist $$z = 1 + \frac{1}{i} = 1 - i$$. Das Konjugierte lautet $$\bar{z} = 1 - (-i) = 1 + i$$. 3. $$z = 1+2i$$. Nach der Definition gilt direkt $$\bar{z} = 1 - 2i$$. Visible text: 1. Zuerst wird die komplexe Zahl vereinfacht: . Da eine reelle Zahl ist, lässt sie sich als schreiben. Ihr Konjugiertes ist daher . 2. Auch hier wird zuerst vereinfacht. Dazu wird der Nenner mit rationalisiert: Also ist . Das Konjugierte lautet . 3. . Nach der Definition gilt direkt .