# Multiplikation komplexer Zahlen

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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/multiplication-complex-numbers/de.mdx

Multipliziere komplexe Zahlen mit dem Distributivgesetz und vereinfache das Ergebnis anhand ausgearbeiteter binomischer Beispiele.

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## Multiplikation zweier komplexer Zahlen

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ähnelt der Multiplikation zweier binomialer algebraischer Ausdrücke. Wir können die Verteilungseigenschaft der Multiplikation über die Addition nutzen.

Wir beginnen mit $$z_1 = x_1 + iy_1$$ und $$z_2 = x_2 + iy_2$$ und verteilen jeden Summanden des ersten Faktors auf den zweiten.

Visible text: Wir beginnen mit und und verteilen jeden Summanden des ersten Faktors auf den zweiten.

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2)
```

```math
= x_1(x_2 + iy_2) + iy_1(x_2 + iy_2)
```

```math
= (x_1x_2 + ix_1y_2) + (ix_2y_1 + i^2y_1y_2)
```

Da $$i^2 = -1$$ gilt, ersetzen wir den quadratischen Term:

Visible text: Da gilt, ersetzen wir den quadratischen Term:

Component: MathContainer
Children:

```math
= (x_1x_2 + ix_1y_2) + (ix_2y_1 + (-1)y_1y_2)
```

```math
= x_1x_2 + ix_1y_2 + ix_2y_1 - y_1y_2
```

Anschließend fassen wir die reellen und imaginären Terme zusammen:

Component: MathContainer
Children:

```math
= (x_1x_2 - y_1y_2) + (ix_1y_2 + ix_2y_1)
```

```math
= (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)
```

Die allgemeine Formel für die Multiplikation komplexer Zahlen lautet also:

```math
z_1 \times z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)
```

## Berechnungsbeispiel

Seien $$z_1 = 2+i$$ und $$z_2 = 1-2i$$. Berechne $$z_1 \times z_2$$.

Visible text: Seien und . Berechne .

**Lösung:**

Mit dem Distributivgesetz:

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times z_2 = (2+i)(1-2i)
```

```math
= 2(1-2i) + i(1-2i)
```

```math
= (2 - 4i) + (i - 2i^2)
```

```math
= (2 - 4i) + (i - 2(-1)) \quad \text{(da } i^2 = -1)
```

```math
= (2 - 4i) + (i + 2)
```

```math
= (2+2) + (-4i + i)
```

```math
= 4 - 3i
```

Alternativ setzen wir $$x_1 = 2, y_1 = 1, x_2 = 1, y_2 = -2$$ in die allgemeine Formel ein:

Visible text: Alternativ setzen wir in die allgemeine Formel ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)
```

```math
= (2)(1) - (1)(-2) + i((2)(-2) + (1)(1))
```

```math
= (2 - (-2)) + i(-4 + 1)
```

```math
= (2+2) + i(-3)
```

```math
= 4 - 3i
```

Beide Wege ergeben dasselbe Ergebnis, $$4-3i$$.

Visible text: Beide Wege ergeben dasselbe Ergebnis, .

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung der Multiplikation komplexer Zahlen
- description: Die Vektoren $$z_1 = 2+i$$ und{" "}
$$z_2 = 1-2i$$ sowie ihr Produkt{" "}
$$z_1 \times z_2 = 4-3i$$.
  Visible text: Die Vektoren und 
 sowie ihr Produkt 
.
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 1, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$z_1=2+i$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: -2, z: 0 },
],
color: "#059669",
labels: [{ text: $$z_2=1-2i$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: -3, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$z_1 \times z_2=4-3i$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 1, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
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},
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{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: -2, z: 0 },
],
color: "#059669",
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},
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{ x: 0, y: 0, z: 0 },
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],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]

## Übung

Seien $$z_1 = 1+i$$ und $$z_2 = \frac{1}{2} - 2i$$. Berechne $$z_1 \times z_2$$.

Visible text: Seien und . Berechne .

### Ausführliche Lösung

Mit dem Distributivgesetz:

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times z_2 = (1+i)(\frac{1}{2} - 2i)
```

```math
= 1(\frac{1}{2} - 2i) + i(\frac{1}{2} - 2i)
```

```math
= (\frac{1}{2} - 2i) + (\frac{1}{2}i - 2i^2)
```

```math
= (\frac{1}{2} - 2i) + (\frac{1}{2}i - 2(-1))
```

```math
= (\frac{1}{2} - 2i) + (\frac{1}{2}i + 2)
```

```math
= (\frac{1}{2} + 2) + (-2i + \frac{1}{2}i)
```

```math
= (\frac{1}{2} + \frac{4}{2}) + (-\frac{4}{2}i + \frac{1}{2}i)
```

```math
= \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i
```

Mit $$x_1 = 1, y_1 = 1, x_2 = \frac{1}{2}, y_2 = -2$$ in der allgemeinen Formel:

Visible text: Mit in der allgemeinen Formel:

Component: MathContainer
Children:

```math
z_1 \times z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)
```

```math
= ((1)(\frac{1}{2}) - (1)(-2)) + i((1)(-2) + (\frac{1}{2})(1))
```

```math
= (\frac{1}{2} - (-2)) + i(-2 + \frac{1}{2})
```

```math
= (\frac{1}{2} + 2) + i(-\frac{4}{2} + \frac{1}{2})
```

```math
= (\frac{1}{2} + \frac{4}{2}) + i(-\frac{3}{2})
```

```math
= \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i
```