# Skalare Multiplikation komplexer Zahlen

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/komplexe-zahlen/skalare-multiplikation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/complex-number/scalar-multiplication-complex-numbers/de.mdx

Verstehe rechnerisch und geometrisch, wie ein reeller Skalar Länge und Richtung einer komplexen Zahl verändert.

---

## Was ist Skalarmultiplikation?

Bei der Skalarmultiplikation wird eine komplexe Zahl mit einer reellen Zahl, dem **Skalar**, multipliziert.

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung der Skalarmultiplikation
- description: Vergleiche den Vektor $$z=1+2i$$ mit seinen Bildern für
die Skalare $$c=2$$ und{" "}
$$c=-0{,}5$$.
  Visible text: Vergleiche den Vektor mit seinen Bildern für
die Skalare und 
.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
// Ursprünglicher Vektor z
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$z$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Vektor 2z
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 4, z: 0 }, // 2 * (1+2i) = 2+4i
],
color: "#059669",
labels: [{ text: $$2z$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Vektor -0.5z
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -0.5, y: -1, z: 0 }, // -0.5 * (1+2i) = -0.5 - i
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$-0{,}5z$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]
  Visible text: [
// Ursprünglicher Vektor z
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
],
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Vektor 2z
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 4, z: 0 }, // 2 * (1+2i) = 2+4i
],
color: "#059669",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
// Vektor -0.5z
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -0.5, y: -1, z: 0 }, // -0.5 * (1+2i) = -0.5 - i
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]

Die Visualisierung zeigt drei Fälle:

- Die Multiplikation von $$z$$ mit einem Skalar $$c > 1$$, etwa $$2$$, **streckt** den Vektor $$z$$ in derselben Richtung.
- Die Multiplikation von $$z$$ mit $$0 < c < 1$$ **staucht** den Vektor $$z$$ in derselben Richtung.
- Die Multiplikation von $$z$$ mit $$c = 0$$ verschiebt die Vektorspitze in den Ursprung, also gilt $$0z = 0$$.
- Für $$z\neq0$$ **kehrt** die Multiplikation mit einem Skalar $$c < 0$$, etwa $$-0{,}5$$, die Richtung des Vektors um $$180^\circ$$ um und multipliziert seine Länge mit $$|c|$$.

Visible text: - Die Multiplikation von mit einem Skalar , etwa , **streckt** den Vektor in derselben Richtung.
- Die Multiplikation von mit **staucht** den Vektor in derselben Richtung.
- Die Multiplikation von mit verschiebt die Vektorspitze in den Ursprung, also gilt .
- Für **kehrt** die Multiplikation mit einem Skalar , etwa , die Richtung des Vektors um um und multipliziert seine Länge mit .

## Mathematische Definition

Ist $$z = x + iy$$ eine komplexe Zahl und $$c$$ ein reeller Skalar, dann gilt:

Visible text: Ist eine komplexe Zahl und ein reeller Skalar, dann gilt:

```math
cz = c(x + iy) = (cx) + i(cy)
```

Der Skalar $$c$$ wird also sowohl mit dem Realteil $$x$$ als auch mit dem Imaginärteil $$y$$ multipliziert.

Visible text: Der Skalar wird also sowohl mit dem Realteil als auch mit dem Imaginärteil multipliziert.

### Berechnungsbeispiele

Für $$z = -3 + 4i$$ und $$c = 3$$ ergibt sich:

Visible text: Für und ergibt sich:

```math
cz = 3(-3 + 4i) = 3(-3) + i(3 \times 4) = -9 + 12i
```

Für $$z = 5 - i$$ und $$c = -2$$ ergibt sich:

Visible text: Für und ergibt sich:

```math
cz = -2(5 - i) = -2(5) + i(-2 \times -1) = -10 + 2i
```

## Visualisierungsbeispiele

Die folgenden Darstellungen trennen Streckung, Stauchung und Richtungswechsel.

### Skalar größer als eins

Component: LineEquation
Props:
- title: Multiplikation mit $$c=1{,}5$$
  Visible text: Multiplikation mit
- description: Der Vektor $$z=-2+i$$ wird bei der Multiplikation mit
$$c=1{,}5$$ in derselben Richtung gestreckt. Es entsteht{" "}
$$1{,}5z=-3+1{,}5i$$.
  Visible text: Der Vektor wird bei der Multiplikation mit
 in derselben Richtung gestreckt. Es entsteht 
.
- cameraPosition: [0, 0, 8]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -2, y: 1, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: $$z$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -3, y: 1.5, z: 0 }, // 1.5 * (-2+i)
],
color: "#65a30d",
labels: [{ text: $$1{,}5z$$, at: 1, offset: [-0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -2, y: 1, z: 0 },
],
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -3, y: 1.5, z: 0 }, // 1.5 * (-2+i)
],
color: "#65a30d",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]

### Skalar zwischen Null und Eins

Component: LineEquation
Props:
- title: Multiplikation mit $$c=0{,}75$$
  Visible text: Multiplikation mit
- description: Der Vektor $$z=3-2i$$ wird bei der Multiplikation mit
$$c=0{,}75$$ in derselben Richtung gestaucht. Es entsteht{" "}
$$0{,}75z=2{,}25-1{,}5i$$.
  Visible text: Der Vektor wird bei der Multiplikation mit
 in derselben Richtung gestaucht. Es entsteht 
.
- cameraPosition: [0, 0, 8]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: -2, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$z$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2.25, y: -1.5, z: 0 }, // 0.75 * (3-2i)
],
color: "#0d9488",
labels: [{ text: $$0{,}75z$$, at: 1, offset: [0.5, 1, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: -2, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2.25, y: -1.5, z: 0 }, // 0.75 * (3-2i)
],
color: "#0d9488",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 1, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]

### Negativer Skalar

Die Multiplikation mit $$-1$$ ergibt die Gegenzahl der komplexen Zahl.

Visible text: Die Multiplikation mit ergibt die Gegenzahl der komplexen Zahl.

Component: LineEquation
Props:
- title: Multiplikation mit $$c=-1$$
  Visible text: Multiplikation mit
- description: Für $$z=-1-3i$$ kehrt die Multiplikation mit
$$c=-1$$ die Richtung um $$180^\circ$$ um.
Das Ergebnis ist $$-z=1+3i$$.
  Visible text: Für kehrt die Multiplikation mit
 die Richtung um um.
Das Ergebnis ist .
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -1, y: -3, z: 0 },
],
color: "#c026d3",
labels: [{ text: $$z$$, at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 3, z: 0 }, // -1 * (-1-3i)
],
color: "#ca8a04",
labels: [{ text: $$-z$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -1, y: -3, z: 0 },
],
color: "#c026d3",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 3, z: 0 }, // -1 * (-1-3i)
],
color: "#ca8a04",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
cone: { position: "end" },
},
]