# Kreisbögen
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Kreisbögen unterscheiden, ihre Länge berechnen und den Zusammenhang mit dem Mittelpunktswinkel verstehen.
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## Kreisbögen verstehen
Ein Kreisbogen ist der Teil einer Kreislinie zwischen zwei Punkten. Anschaulich kann man ihn sich wie ein Stück Schnur vorstellen, das genau auf dem Kreisrand liegt. Markieren wir zwei Punkte auf einem Kreis, entstehen zwischen ihnen immer zwei Bögen.
Jeder Bogen hat zwei Endpunkte auf dem Kreis. Seine Länge hängt vom zugehörigen Mittelpunktswinkel ab: Je größer dieser Winkel ist, desto länger ist der Bogen.
Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung von Kreisbögen
- description: Ein Kreisbogen und der zugehörige Mittelpunktswinkel.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Kreis", at: 56, offset: [1.5, 0.5, 0] }]
},
{ kind: "circle-arc", radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
segments: 12,
color: "#ea580c",
label: { text: <>Bogen $$AB$$, offset: [1.5, 0.5, 0] } },
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 30,
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }]
},
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 150,
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] }]
}
]
Visible text: [
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Kreis", at: 56, offset: [1.5, 0.5, 0] }]
},
{ kind: "circle-arc", radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
segments: 12,
color: "#ea580c",
label: { text: <>Bogen , offset: [1.5, 0.5, 0] } },
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 30,
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }]
},
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 150,
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] }]
}
]
## Bogenarten nach ihrer Größe
Nach der Größe ihres Mittelpunktswinkels unterscheidet man drei Arten von Bögen:
1. Ein **kleiner Bogen** gehört zu einem Mittelpunktswinkel unter $$180^\circ$$. Er ist der kürzere der beiden Bögen zwischen den Endpunkten.
2. Ein **großer Bogen** gehört zu einem Mittelpunktswinkel über $$180^\circ$$. Er ist der längere der beiden Bögen zwischen den Endpunkten.
3. Ein **Halbkreisbogen** gehört genau zu $$180^\circ$$ und teilt den Kreisrand in zwei gleich lange Bögen.
Visible text: 1. Ein **kleiner Bogen** gehört zu einem Mittelpunktswinkel unter . Er ist der kürzere der beiden Bögen zwischen den Endpunkten.
2. Ein **großer Bogen** gehört zu einem Mittelpunktswinkel über . Er ist der längere der beiden Bögen zwischen den Endpunkten.
3. Ein **Halbkreisbogen** gehört genau zu und teilt den Kreisrand in zwei gleich lange Bögen.
## Formel für die Bogenlänge
Der Mittelpunktswinkel gibt an, welchen Anteil des Vollwinkels der Bogen einnimmt. Multiplizieren wir diesen Anteil mit dem Kreisumfang $$2\pi r$$, erhalten wir:
Visible text: Der Mittelpunktswinkel gibt an, welchen Anteil des Vollwinkels der Bogen einnimmt. Multiplizieren wir diesen Anteil mit dem Kreisumfang , erhalten wir:
```math
\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```
Dabei bezeichnet:
- $$\alpha$$ den Mittelpunktswinkel in Grad
- $$r$$ den Radius des Kreises
Visible text: - den Mittelpunktswinkel in Grad
- den Radius des Kreises
Ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß angegeben, vereinfacht sich die Formel zu:
```math
\text{Bogenlänge} = \alpha \times r
```
Hier steht $$\alpha$$ also nicht für eine Gradzahl, sondern für das Bogenmaß.
Visible text: Hier steht also nicht für eine Gradzahl, sondern für das Bogenmaß.
Component: LineEquation
Props:
- title: Vergleich der Bogenlängen
- description: Bögen mit unterschiedlichen Mittelpunktswinkeln auf demselben Kreis.
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
- data: [
{
kind: "circle-outline", radius: 3,
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false
},
{ kind: "circle-arc", radius: 3,
startDegrees: 0,
sweepDegrees: 60,
segments: 6,
color: "#ea580c",
label: { text: $$60^\circ$$, offset: [0.8, 0.3, 0] } },
{ kind: "circle-arc", radius: 3,
startDegrees: 180,
sweepDegrees: 120,
segments: 12,
color: "#9333ea",
label: { text: $$120^\circ$$, offset: [-1.5, 0.3, 0] } }
]
Visible text: [
{
kind: "circle-outline", radius: 3,
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false
},
{ kind: "circle-arc", radius: 3,
startDegrees: 0,
sweepDegrees: 60,
segments: 6,
color: "#ea580c",
label: { text: , offset: [0.8, 0.3, 0] } },
{ kind: "circle-arc", radius: 3,
startDegrees: 180,
sweepDegrees: 120,
segments: 12,
color: "#9333ea",
label: { text: , offset: [-1.5, 0.3, 0] } }
]
## Zusammenhang zwischen Bogen und Mittelpunktswinkel
Auf demselben Kreis sind Bogenlänge und Mittelpunktswinkel proportional. Für zwei Bögen gilt deshalb:
```math
\frac{\text{Bogenlänge}_1}{\text{Bogenlänge}_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2}
```
Verdoppelt sich der Mittelpunktswinkel, verdoppelt sich dort auch die Bogenlänge. Wichtig ist die Voraussetzung, dass beide Bögen zum selben Kreis gehören.
Mit diesem Verhältnis lassen sich Bogenlängen vergleichen, ohne den Radius zuerst zu bestimmen.
## Übungsaufgaben
1. Ein Kreis hat den Radius $$14 \text{ cm}$$. Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von $$90^\circ$$?
2. Der Bogen $$AB$$ ist $$22 \text{ cm}$$ lang. Der zugehörige Mittelpunktswinkel $$AOB$$ beträgt $$120^\circ$$. Wie groß ist der Radius?
3. Auf einem Kreis mit dem Radius $$21 \text{ cm}$$ gehören zwei Bögen zu den Mittelpunktswinkeln $$60^\circ$$ und $$150^\circ$$. Bestimme das Verhältnis ihrer Längen.
4. Ein Kreisbogen ist $$15{,}7 \text{ cm}$$ lang. Der Kreisradius beträgt $$10 \text{ cm}$$. Bestimme den Mittelpunktswinkel in Grad.
5. Ein Kreis hat einen Umfang von $$88 \text{ cm}$$. Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von $$45^\circ$$?
Visible text: 1. Ein Kreis hat den Radius . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von ?
2. Der Bogen ist lang. Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt . Wie groß ist der Radius?
3. Auf einem Kreis mit dem Radius gehören zwei Bögen zu den Mittelpunktswinkeln und . Bestimme das Verhältnis ihrer Längen.
4. Ein Kreisbogen ist lang. Der Kreisradius beträgt . Bestimme den Mittelpunktswinkel in Grad.
5. Ein Kreis hat einen Umfang von . Wie lang ist der Bogen zu einem Mittelpunktswinkel von ?
### Ausführliche Lösungen
1. **Ergebnis:** $$7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}$$
Gegeben: $$r = 14 \text{ cm}$$, $$\alpha = 90^\circ$$
Mit der Bogenlängenformel:
```math
\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```
```math
= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 14
```
```math
= \frac{1}{4} \times 28\pi
```
```math
= 7\pi \text{ cm} \approx 21{,}99 \text{ cm}
```
2. **Ergebnis:** $$\frac{33}{\pi} \text{ cm} \approx 10{,}50 \text{ cm}$$
Gegeben sind die Bogenlänge $$AB = 22 \text{ cm}$$ und $$\alpha = 120^\circ$$.
Mit der Bogenlängenformel:
```math
22 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r
```
```math
22 = \frac{2\pi r}{3}
```
```math
66 = 2\pi r
```
```math
r = \frac{33}{\pi} \text{ cm} \approx 10{,}50 \text{ cm}
```
3. **Ergebnis:** $$2:5$$
Gegeben: $$r = 21 \text{ cm}$$, $$\alpha_1 = 60^\circ$$, $$\alpha_2 = 150^\circ$$
Da auf demselben Kreis das Verhältnis der Bogenlängen gleich dem Verhältnis ihrer Mittelpunktswinkel ist:
```math
\frac{\text{Bogenlänge}_1}{\text{Bogenlänge}_2} = \frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{60^\circ}{150^\circ} = \frac{2}{5}
```
Das Verhältnis der beiden Bogenlängen beträgt also $$2:5$$.
4. **Ergebnis:** $$\alpha \approx 90^\circ$$
Gegeben sind die Bogenlänge $$15{,}7 \text{ cm}$$ und $$r = 10 \text{ cm}$$.
Mit der Bogenlängenformel:
```math
15{,}7 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi \times 10
```
```math
15{,}7 = \frac{\alpha\pi}{18}
```
```math
\alpha = \frac{15{,}7 \times 18^\circ}{\pi}
```
```math
\alpha = \frac{282{,}6^\circ}{\pi} \approx 89{,}95^\circ
```
5. **Ergebnis: $$11 \text{ cm}$$**
Gegeben: Umfang = $$88 \text{ cm}$$, $$\alpha = 45^\circ$$
Der Bogen nimmt denselben Anteil am Umfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel:
```math
\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Umfang}
```
```math
= \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 88
```
```math
= \frac{1}{8} \times 88 = 11 \text{ cm}
```
Visible text: 1. **Ergebnis:**
Gegeben: ,
Mit der Bogenlängenformel:
2. **Ergebnis:**
Gegeben sind die Bogenlänge und .
Mit der Bogenlängenformel:
3. **Ergebnis:**
Gegeben: , ,
Da auf demselben Kreis das Verhältnis der Bogenlängen gleich dem Verhältnis ihrer Mittelpunktswinkel ist:
Das Verhältnis der beiden Bogenlängen beträgt also .
4. **Ergebnis:**
Gegeben sind die Bogenlänge und .
Mit der Bogenlängenformel:
5. **Ergebnis: **
Gegeben: Umfang = ,
Der Bogen nimmt denselben Anteil am Umfang ein wie der Mittelpunktswinkel am Vollwinkel: