# Beziehung zwischen Bogenlänge und Sektorfläche
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisboegen-und-kreissektoren/bogenlaenge-und-sektorflaeche
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle-arc-sector/relationship-between-arc-length-and-sector-area/de.mdx
Den proportionalen Zusammenhang zwischen Bogenlänge, Sektorfläche und Mittelpunktswinkel verstehen und anwenden.
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## Grundlegende Konzepte von Bogen- und Sektorbeziehungen
Bogenlänge und Sektorfläche werden vom selben Mittelpunktswinkel bestimmt. Bei einem drehenden Fahrradrad gilt anschaulich: Je größer der Drehwinkel, desto länger ist der Weg eines Punktes am Rand und desto größer ist die vom Radius überstrichene Fläche.
Ändert sich der Mittelpunktswinkel, ändern sich beide Größen im gleichen Verhältnis zum gesamten Umfang beziehungsweise zur gesamten Kreisfläche.
## Grundlegende Proportion
Das Grundverhältnis, das die Bogenlänge und die Sektorfläche zum gesamten Kreis verbindet, kann wie folgt ausgedrückt werden:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{\text{Bogenlänge}}{\text{Kreisumfang}} = \frac{\text{Sektorfläche}}{\text{Kreisfläche}} = \frac{\alpha}{360^\circ}
```
Alle drei Brüche beschreiben denselben Anteil am vollständigen Kreis.
## Mathematische Formeln
Aus der Proportion folgen die beiden bekannten Formeln:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```
Eliminieren wir den Winkelanteil, erhalten wir einen direkten Zusammenhang:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{1}{2} \times \text{Bogenlänge} \times r
```
## Visualisierung proportionaler Beziehungen
Die folgenden Beispiele zeigen dasselbe Verhältnis für verschiedene Mittelpunktswinkel.
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Winkel $$45^\circ$$ ergibt ein Verhältnis $$\frac{1}{8}$$
Visible text: Winkel ergibt ein Verhältnis
- description: Kreis mit Mittelpunktswinkel $$45^\circ$$ zeigt, dass Bogenlänge = $$\frac{1}{8}$$ Umfang und Sektorfläche = $$\frac{1}{8}$$ Kreisfläche.
Visible text: Kreis mit Mittelpunktswinkel zeigt, dass Bogenlänge = Umfang und Sektorfläche = Kreisfläche.
- cameraPosition: [7, 5, 7]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 60;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI / 4) / 15;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{
text: $$45^\circ$$,
at: 8,
offset: [1, 0.8, 0],
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 60;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI / 4) / 15;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{
text: ,
at: 8,
offset: [1, 0.8, 0],
},
],
},
]
Component: LineEquation
Props:
- title: Winkel $$90^\circ$$ ergibt ein Verhältnis $$\fr ... [truncated; 8033 chars]
Für jeden Mittelpunktswinkel $$\alpha$$ gilt damit:
Visible text: Für jeden Mittelpunktswinkel gilt damit:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Kreisumfang}
```
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \text{Kreisfläche}
```
Oder in vollständiger Formelform:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r
```
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```
Auf demselben Kreis gehören zu gleich großen Mittelpunktswinkeln gleich lange Bögen und gleich große Sektoren. Bei benachbarten Winkeln addieren sich auch die zugehörigen Bogenlängen und Sektorflächen.
## Anwendung in der Erdmessung
Eratosthenes, der etwa $$276\text{-}194 \text{ v. Chr.}$$ lebte, nutzte dieselbe Proportion zur Abschätzung des Erdumfangs. Zur Sommersonnenwende stand die Sonne in Syene senkrecht, während ein senkrechter Stab in Alexandria eine Winkeldifferenz von $$7{,}2^\circ$$ zeigte. Die Entfernung zwischen beiden Orten wurde mit $$5{.}000 \text{ Stadien}$$ angesetzt.
Visible text: Eratosthenes, der etwa lebte, nutzte dieselbe Proportion zur Abschätzung des Erdumfangs. Zur Sommersonnenwende stand die Sonne in Syene senkrecht, während ein senkrechter Stab in Alexandria eine Winkeldifferenz von zeigte. Die Entfernung zwischen beiden Orten wurde mit angesetzt.
Component: LineEquation
Props:
- title: Erdumfangsmessung durch Eratosthenes
- description: Das Modell verbindet einen Winkel von $$7{,}2^\circ$$ mit einer Oberflächenstrecke von $$5{.}000 \text{ Stadien}$$.
Visible text: Das Modell verbindet einen Winkel von mit einer Oberflächenstrecke von .
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 73 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 72;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "Erde",
at: 18,
offset: [1.5, 0, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
],
color: "#059669",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: "Alexandria",
at: 1,
offset: [0.5, -0.8, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos((7.2 * Math.PI) / 180), y: 5 * Math.sin((7.2 * Math.PI) / 180), z: 0 },
],
color: "#059669",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: "Syene",
at: 1,
offset: [0.5, 0.8, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const angle = (i * (7.2 * Math.PI) / 180) / 10;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{
text: $$5{.}000\,\text{Stadien}$$,
at: 5,
offset: [1.2, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const angle = (i * (7.2 * Math.PI) / 180) / 10;
const radius = 1.5;
return {
x: radius * ... [truncated; 1399 chars]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 73 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 72;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "Erde",
at: 18,
offset: [1.5, 0, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
],
color: "#059669",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: "Alexandria",
at: 1,
offset: [0.5, -0.8, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos((7.2 * Math.PI) / 180), y: 5 * Math.sin((7.2 * Math.PI) / 180), z: 0 },
],
color: "#059669",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: "Syene",
at: 1,
offset: [0.5, 0.8, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const angle = (i * (7.2 * Math.PI) / 180) / 10;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{
text: ,
at: 5,
offset: [1.2, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const angle = (i * (7.2 * Math.PI) / 180) / 10;
const radius = 1.5;
return {
x: radius * ... [truncated; 1399 chars]
Verwendung der proportionalen Beziehung:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{\text{Entfernung Alexandria-Syene}}{\text{Erdumfang}} = \frac{7{,}2^\circ}{360^\circ}
```
```math
\frac{5{.}000 \text{ Stadien}}{\text{Erdumfang}} = \frac{7{,}2^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{50}
```
```math
\text{Erdumfang} = 5{.}000 \times 50 = 250{.}000 \text{ Stadien}
```
Die genaue Länge eines antiken Stadions ist nicht sicher bekannt. Mit einer häufig verwendeten Umrechnung entspricht das Ergebnis ungefähr $$40{.}000 \text{ km}$$.
Visible text: Die genaue Länge eines antiken Stadions ist nicht sicher bekannt. Mit einer häufig verwendeten Umrechnung entspricht das Ergebnis ungefähr .
## Direkte Beziehung zwischen Bogen und Sektor
Setzen wir Bogenlänge und Sektorfläche desselben Winkels ins Verhältnis, folgt:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{\text{Sektorfläche}}{\text{Bogenlänge}} = \frac{r}{2}
```
Das Verhältnis hängt nur vom Radius ab, nicht von der Größe des Mittelpunktswinkels.
## Übungen
1. Ein Kreis hat den Radius $$14 \text{ cm}$$. Die Bogenlänge eines Sektors beträgt $$22 \text{ cm}$$. Bestimme seine Fläche.
2. Ein Sektor hat die Fläche $$154 \text{ cm}^2$$ und die Bogenlänge $$22 \text{ cm}$$. Bestimme den Kreisradius.
3. Zwei Orte liegen auf demselben Großkreis und sind $$1{.}000 \text{ km}$$ voneinander entfernt. Der zugehörige Mittelpunktswinkel der Erde beträgt $$9^\circ$$. Schätze den Erdumfang.
Visible text: 1. Ein Kreis hat den Radius . Die Bogenlänge eines Sektors beträgt . Bestimme seine Fläche.
2. Ein Sektor hat die Fläche und die Bogenlänge . Bestimme den Kreisradius.
3. Zwei Orte liegen auf demselben Großkreis und sind voneinander entfernt. Der zugehörige Mittelpunktswinkel der Erde beträgt . Schätze den Erdumfang.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösungsschritte:**
Gegeben: $$r = 14 \text{ cm}$$, Bogenlänge = $$22 \text{ cm}$$
Verwendet wird: $$\text{Sektorfläche} = \frac{1}{2} \times \text{Bogenlänge} \times r$$
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{1}{2} \times 22 \times 14
```
```math
= \frac{22 \times 14}{2}
```
```math
= \frac{308}{2}
```
```math
= 154 \text{ cm}^2
```
2. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Sektorfläche = $$154 \text{ cm}^2$$, Bogenlänge = $$22 \text{ cm}$$
Verwendet wird: $$\frac{\text{Sektorfläche}}{\text{Bogenlänge}} = \frac{r}{2}$$
```math
\frac{154}{22} = \frac{r}{2}
```
```math
7 = \frac{r}{2}
```
```math
r = 14 \text{ cm}
```
3. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Abstand = $$1{.}000 \text{ km}$$, Winkel = $$9^\circ$$
Verwenden des Verhältnisses: $$\frac{\text{Entfernung}}{\text{Erdumfang}} = \frac{9^\circ}{360^\circ}$$
```math
\frac{1{.}000}{\text{Erdumfang}} = \frac{9^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{40}
```
```math
\text{Erdumfang} = 1{.}000 \times 40
```
```math
= 40{.}000 \text{ km}
```
Visible text: 1. **Lösungsschritte:**
Gegeben: , Bogenlänge =
Verwendet wird:
2. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Sektorfläche = , Bogenlänge =
Verwendet wird:
3. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Abstand = , Winkel =
Verwenden des Verhältnisses:
## Quellen
- [NASA Goddard: The Earth](https://imagine.gsfc.nasa.gov/features/cosmic/earth_info.html)
- [OpenStax Precalculus 2e: Angles](https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)