# Die Geschichte von Pi

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Wie Mathematiker von Babylon bis Zu Chongzhi Pi eingrenzten und annäherten und wie sich das heutige Symbol durchsetzte.

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## Verständnis und Bedeutung von Pi

Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich. Diese Konstante heißt $$\pi$$ (Pi), und ihr Wert beginnt mit $$3{,}14159$$.

Visible text: Bei jedem Kreis ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser gleich. Diese Konstante heißt (Pi), und ihr Wert beginnt mit .

Mathematisch kann $$\pi$$ wie folgt definiert werden:

Visible text: Mathematisch kann wie folgt definiert werden:

```math
\pi = \frac{\text{Kreisumfang}}{\text{Kreisdurchmesser}}
```

Die Größe des Kreises spielt dabei keine Rolle: Verdoppeln sich alle Längen, verdoppeln sich Umfang und Durchmesser gemeinsam, ihr Verhältnis bleibt jedoch unverändert.

## Frühe Näherungen

Erhaltene antike Quellen enthalten mehrere Näherungen und nicht einen überall verwendeten Wert. Eine mesopotamische Näherung lautet $$\pi \approx \frac{25}{8}=3{,}125$$.

Visible text: Erhaltene antike Quellen enthalten mehrere Näherungen und nicht einen überall verwendeten Wert. Eine mesopotamische Näherung lautet .

Der ägyptische Rhind-Papyrus, der auf etwa $$1650 \text{ v. Chr.}$$ datiert wird, enthält eine Regel, die $$\pi \approx \frac{256}{81}$$ entspricht. Das ergibt ungefähr $$3{,}16049$$. Keine der beiden Näherungen ist der exakte Wert von $$\pi$$. Von diesen beiden liegt der mesopotamische Wert $$3{,}125$$ sogar näher.

Visible text: Der ägyptische Rhind-Papyrus, der auf etwa datiert wird, enthält eine Regel, die entspricht. Das ergibt ungefähr . Keine der beiden Näherungen ist der exakte Wert von . Von diesen beiden liegt der mesopotamische Wert sogar näher.

Component: MathContainer
Children:

```math
\frac{256}{81} = 3{,}16049\ldots
```

## Archimedes und die Polygonmethode

Archimedes von Syrakus, ein griechischer Mathematiker, der etwa $$287\text{-}212 \text{ v. Chr.}$$ lebte, entwickelte eine systematische Methode, um $$\pi$$ genauer einzugrenzen. Er verglich regelmäßige Vielecke innerhalb und außerhalb eines Kreises.

Visible text: Archimedes von Syrakus, ein griechischer Mathematiker, der etwa lebte, entwickelte eine systematische Methode, um genauer einzugrenzen. Er verglich regelmäßige Vielecke innerhalb und außerhalb eines Kreises.

Der Umfang des einbeschriebenen Vielecks liegt unter dem Kreisumfang, der des umbeschriebenen Vielecks darüber. Mit immer mehr Seiten rücken beide Grenzen enger zusammen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung der Archimedes-Polygon-Methode
- description: Ein einbeschriebenes und ein umbeschriebenes regelmäßiges Vieleck begrenzen den Kreisumfang.
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 37 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 36;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0891b2",
smooth: true,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Kreis", at: 9, offset: [0.5, 0.5, 0] }]
},
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 6;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#ea580c",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: "Inneres Polygon", at: 2, offset: [-1, -0.5, 0] }]
},
{
points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 6;
const radius = 3;
const apothem = radius / Math.cos(Math.PI / 6);
return {
x: apothem * Math.cos(angle),
y: apothem * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#9333ea",
smooth: false,
showPoints: true,
labels: [{ text: "Äußeres Polygon", at: 4, offset: [0.8, -0.5, 0] }]
}
]

Mit $$96$$-seitigen Vielecken bewies Archimedes, dass $$\pi$$ zwischen $$\frac{223}{71}$$ und $$\frac{22}{7}$$ liegt. Insbesondere ist $$\frac{22}{7}$$ hier eine obere Schranke und nicht der exakte Wert von $$\pi$$:

Visible text: Mit -seitigen Vielecken bewies Archimedes, dass zwischen und liegt. Insbesondere ist hier eine obere Schranke und nicht der exakte Wert von :

Component: MathContainer
Children:

```math
3{,}1408 < \pi < 3{,}1429
```

## Beiträge chinesischer Mathematiker

Im $$5$$. Jahrhundert n. Chr. verfeinerte der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi die Polygonmethode. Er bestimmte die bemerkenswert enge Schranke $$3{,}1415926 < \pi < 3{,}1415927$$.

Visible text: Im . Jahrhundert n. Chr. verfeinerte der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi die Polygonmethode. Er bestimmte die bemerkenswert enge Schranke .

Zu Chongzhi gab außerdem die Näherung $$\pi \approx \frac{355}{113}$$ an. Sie ergibt $$3{,}1415929$$ und stimmt in den ersten sechs Nachkommastellen mit $$\pi$$ überein. Seine Schranke mit sieben Nachkommastellen wurde erst durch al-Kashis Arbeit im $$15$$. Jahrhundert übertroffen, fast ein Jahrtausend später.

Visible text: Zu Chongzhi gab außerdem die Näherung an. Sie ergibt und stimmt in den ersten sechs Nachkommastellen mit überein. Seine Schranke mit sieben Nachkommastellen wurde erst durch al-Kashis Arbeit im . Jahrhundert übertroffen, fast ein Jahrtausend später.

Component: MathContainer
Children:

```math
\frac{355}{113} = 3{,}1415929\ldots
```

## Das moderne Symbol

Der walisische Mathematiker William Jones verwendete $$\pi$$ in seinem Werk „Synopsis Palmariorum Matheseos“ von $$1706$$ in der heute üblichen Bedeutung. Die Schreibweise setzte sich nicht sofort allgemein durch.

Visible text: Der walisische Mathematiker William Jones verwendete in seinem Werk „Synopsis Palmariorum Matheseos“ von in der heute üblichen Bedeutung. Die Schreibweise setzte sich nicht sofort allgemein durch.

Leonhard Euler übernahm das Symbol später in seinen einflussreichen Arbeiten. Dadurch wurde $$\pi$$ zur bis heute üblichen mathematischen Notation.

Visible text: Leonhard Euler übernahm das Symbol später in seinen einflussreichen Arbeiten. Dadurch wurde zur bis heute üblichen mathematischen Notation.

## Besondere Eigenschaften von Pi

$$\pi$$ ist irrational und lässt sich daher nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Johann Heinrich Lambert lieferte im $$18$$. Jahrhundert den ersten strengen Beweis dafür. Ferdinand von Lindemann bewies $$1882$$, dass $$\pi$$ außerdem transzendent ist. Die Zahl ist also keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten.

Visible text: ist irrational und lässt sich daher nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Johann Heinrich Lambert lieferte im . Jahrhundert den ersten strengen Beweis dafür. Ferdinand von Lindemann bewies , dass außerdem transzendent ist. Die Zahl ist also keine Nullstelle eines von null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten.

Für viele Schulrechnungen genügen $$\pi \approx 3{,}14$$ oder $$\pi \approx \frac{22}{7}$$. Präzise technische und wissenschaftliche Berechnungen verwenden entsprechend mehr Stellen.

Visible text: Für viele Schulrechnungen genügen oder . Präzise technische und wissenschaftliche Berechnungen verwenden entsprechend mehr Stellen.

Die grundlegende Beziehung von $$\pi$$ zur Kreisgeometrie kann ausgedrückt werden als:

Visible text: Die grundlegende Beziehung von zur Kreisgeometrie kann ausgedrückt werden als:

Component: MathContainer
Children:

```math
C = \pi \cdot d
```

```math
A = \pi \cdot r^2
```

Dabei ist $$C$$ der Umfang, $$d$$ der Durchmesser, $$A$$ die Fläche und $$r$$ der Radius des Kreises.

Visible text: Dabei ist der Umfang, der Durchmesser, die Fläche und der Radius des Kreises.

## Quellen

- [NIST: Circumference, Area and Volume](https://www.nist.gov/pml/owm/circumference-area-and-volume)
- [MacTutor: A History of Pi](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/)
- [MacTutor: Earliest Uses of Symbols for Constants](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathsym/constants/)
- [MacTutor: Zu Chongzhi](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zu_Chongzhi/)
- [MacTutor: Johann Heinrich Lambert](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lambert/)
- [MacTutor: Ferdinand von Lindemann](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lindemann/)