# Kreisbogen

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Beziehungen zwischen Kreisbogen und Sehne, Sagitta-Berechnungen und parametrische Gleichungen an technischen Anwendungen verstehen.

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## Beziehung zwischen Kreisbogen und Sehne

Jeder Kreisbogen gehört zu einer Sehne, die seine beiden Endpunkte verbindet. Die Sehne ist die gerade Strecke zwischen den Endpunkten, der Bogen der gekrümmte Weg entlang des Kreisumfangs. Als Modell dient ein gespannter Bogen: Die Schnur entspricht der Sehne, das gebogene Holz dem Kreisbogen.

Bei kleinen Bögen desselben Kreises erzeugt ein größerer Mittelpunktswinkel sowohl einen längeren Bogen als auch eine längere Sehne. Der Zusammenhang ist jedoch nicht linear. Oberhalb von $$180^\circ$$ wird der große Bogen länger, während seine Sehne kürzer wird, denn dieselbe Sehne gehört auch zum ergänzenden kleinen Bogen.

Visible text: Bei kleinen Bögen desselben Kreises erzeugt ein größerer Mittelpunktswinkel sowohl einen längeren Bogen als auch eine längere Sehne. Der Zusammenhang ist jedoch nicht linear. Oberhalb von wird der große Bogen länger, während seine Sehne kürzer wird, denn dieselbe Sehne gehört auch zum ergänzenden kleinen Bogen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Beziehung zwischen Kreisbogen und Sehne
- description: Vergleich von Bogen und Sehne bei verschiedenen Mittelpunktswinkeln.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = i * (Math.PI / 3) / 20;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen $$60^\circ$$</>, at: 10, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
{ x: (5 + 5 * Math.cos(Math.PI / 3)) / 2, y: (5 * Math.sin(Math.PI / 3)) / 2, z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
lineWidth: 3,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Sehne $$60^\circ$$</>, at: 1, offset: [0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A$$, at: 0, offset: [0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B$$, at: 0, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI + (i * (2 * Math.PI / 3) / 30);
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen $$120^\circ$$</>, at: 15 ... [truncated; 2275 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = i * (Math.PI / 3) / 20;
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen </>, at: 10, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
{ x: (5 + 5 * Math.cos(Math.PI / 3)) / 2, y: (5 * Math.sin(Math.PI / 3)) / 2, z: 0 },
{ x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
lineWidth: 3,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Sehne </>, at: 1, offset: [0.8, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 0, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 5 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI + (i * (2 * Math.PI / 3) / 30);
return {
x: 5 * Math.cos(angle),
y: 5 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen </>, at: 15 ... [truncated; 2275 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 14]
- showZAxis: false

## Formel für die Sehnenlänge

Die Sehnenlänge kann mithilfe einer trigonometrischen Formel unter Einbeziehung des Mittelpunktswinkels und des Kreisradius berechnet werden:

```math
c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
```

Dabei gilt:

- $$c$$ = Sehnenlänge
- $$r$$ = Kreisradius
- $$\theta$$ = Mittelpunktswinkel; verwende für Grad das Gradmaß und für Radiant das Bogenmaß

Visible text: - = Sehnenlänge
- = Kreisradius
- = Mittelpunktswinkel; verwende für Grad das Gradmaß und für Radiant das Bogenmaß

Die Formel bestimmt die Sehnenlänge aus Radius und Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens. Damit lässt sich die Geometrie eines idealisierten Rundfensters, Bogens oder einer anderen kreisförmigen Kontur festlegen. Bei einem realen Bauwerk müssen Lasten, Werkstoffe und Auflager getrennt untersucht werden.

## Bogenhöhe und Sagitta

Die Bogenhöhe, auch Sagitta genannt, ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt der Sehne zum Mittelpunkt des zugehörigen kleinen Kreisbogens. Zusammen mit der Sehne legt sie die Form eines idealisierten Kreisbogens fest.

```math
h = r - r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = r\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)
```

Dabei gilt:

- $$h$$ = Bogenhöhe (Sagitta)
- $$r$$ = Kreisradius
- $$\theta$$ = Mittelpunktswinkel; berechne den Kosinus in derselben Winkeleinheit wie $$\theta$$

Visible text: - = Bogenhöhe (Sagitta)
- = Kreisradius
- = Mittelpunktswinkel; berechne den Kosinus in derselben Winkeleinheit wie

Betrachte die folgende Darstellung:

Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung der Bogenhöhe
- description: Bogenhöhe (Sagitta) bei verschiedenen Mittelpunktswinkeln.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const angle = (-Math.PI / 6) + (i * (Math.PI / 3) / 30);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen $$60^\circ$$</>, at: 15, offset: [1.5, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(-Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(-Math.PI / 6), z: 0 },
{ x: (4 * Math.cos(-Math.PI / 6) + 4 * Math.cos(Math.PI / 6)) / 2, y: (4 * Math.sin(-Math.PI / 6) + 4 * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
lineWidth: 3,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Sehne", at: 1, offset: [0, -0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: (4 * Math.cos(-Math.PI / 6) + 4 * Math.cos(Math.PI / 6)) / 2, y: (4 * Math.sin(-Math.PI / 6) + 4 * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2, z: 0 },
],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$M$$ (Mittelpunkt)</>, at: 0, offset: [1.2, -1.2, 0] }],
},
{
points: [
{ x: (4 * Math.cos(-Math.PI / 6) + 4 * Math.cos(Math.PI / 6)) / 2, y: (4 * Math.sin(-Math.PI / 6) + 4 * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(0), y: 4 * Math.sin(0), z: 0 },
],
color: "# ... [truncated; 2471 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const angle = (-Math.PI / 6) + (i * (Math.PI / 3) / 30);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: <>Bogen </>, at: 15, offset: [1.5, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 4 * Math.cos(-Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(-Math.PI / 6), z: 0 },
{ x: (4 * Math.cos(-Math.PI / 6) + 4 * Math.cos(Math.PI / 6)) / 2, y: (4 * Math.sin(-Math.PI / 6) + 4 * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
lineWidth: 3,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Sehne", at: 1, offset: [0, -0.8, 0] }],
},
{
points: [
{ x: (4 * Math.cos(-Math.PI / 6) + 4 * Math.cos(Math.PI / 6)) / 2, y: (4 * Math.sin(-Math.PI / 6) + 4 * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2, z: 0 },
],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> (Mittelpunkt)</>, at: 0, offset: [1.2, -1.2, 0] }],
},
{
points: [
{ x: (4 * Math.cos(-Math.PI / 6) + 4 * Math.cos(Math.PI / 6)) / 2, y: (4 * Math.sin(-Math.PI / 6) + 4 * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(0), y: 4 * Math.sin(0), z: 0 },
],
color: "# ... [truncated; 2471 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Bogen im Koordinatensystem

Im kartesischen Koordinatensystem kann ein Bogen durch parametrische Gleichungen dargestellt werden:

Component: MathContainer
Children:

```math
x = r\cos(t)
```

```math
y = r\sin(t)
```

Dabei ist $$t$$ ein Parameter, der vom Anfangswinkel bis zum Endwinkel des Bogens variiert.

Visible text: Dabei ist ein Parameter, der vom Anfangswinkel bis zum Endwinkel des Bogens variiert.

Component: LineEquation
Props:
- title: Bogen in kartesischen Koordinaten
- description: Bogendarstellung mithilfe parametrischer Gleichungen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const t = (Math.PI / 4) + (i * (Math.PI / 2) / 40);
return {
x: 3 * Math.cos(t),
y: 3 * Math.sin(t),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Parametrischer Bogen", at: 20, offset: [1.5, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$t_1=\frac{\pi}{4} (45^\circ)$$, at: 0, offset: [2, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3 * Math.cos(3 * Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(3 * Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$t_2=\frac{3\pi}{4} (135^\circ)$$, at: 0, offset: [-2, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 1.5 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: $$r=3$$, at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5 * Math.cos(3 * Math.PI / 4), y: 1.5 * Math.sin(3 * Math.PI / 4), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(3 * Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(3 * Math.PI / 4), z: 0 ... [truncated; 1703 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const t = (Math.PI / 4) + (i * (Math.PI / 2) / 40);
return {
x: 3 * Math.cos(t),
y: 3 * Math.sin(t),
z: 0,
};
}),
color: "#7c3aed",
lineWidth: 4,
showPoints: false,
labels: [{ text: "Parametrischer Bogen", at: 20, offset: [1.5, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [2, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3 * Math.cos(3 * Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(3 * Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-2, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 1.5 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
],
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1.5 * Math.cos(3 * Math.PI / 4), y: 1.5 * Math.sin(3 * Math.PI / 4), z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(3 * Math.PI / 4), y: 3 * Math.sin(3 * Math.PI / 4), z: 0 ... [truncated; 1703 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Beispiel eines idealisierten Kreisbogens

Betrachte den idealisierten kreisförmigen Querschnitt eines Bogens. Sein Radius beträgt $$25 \text{ Meter}$$, sein Mittelpunktswinkel $$120^\circ$$. Wir können die von der Sehne dargestellte Spannweite und die von der Sagitta dargestellte Höhe bestimmen.

Visible text: Betrachte den idealisierten kreisförmigen Querschnitt eines Bogens. Sein Radius beträgt , sein Mittelpunktswinkel . Wir können die von der Sehne dargestellte Spannweite und die von der Sagitta dargestellte Höhe bestimmen.

**Berechnung der Sehnenlänge:**

Component: MathContainer
Children:

```math
c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
```

```math
c = 2 \times 25 \times \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right)
```

```math
c = 50 \times \sin(60^\circ)
```

```math
c = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \text{ Meter}
```

**Bogenhöhe berechnen:**

Component: MathContainer
Children:

```math
h = r\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)
```

```math
h = 25\left(1 - \cos(60^\circ)\right)
```

```math
h = 25\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 12{,}5 \text{ Meter}
```

## Übungen

1. Ein idealisierter Kreisbogen hat einen Radius von $$30 \text{ m}$$ und einen Mittelpunktswinkel von $$90^\circ$$. Berechne seine Sehnenlänge und Bogenhöhe.

2. Bei einem idealisierten kreisförmigen Querschnitt einer Kuppel beträgt die Bogenhöhe $$8 \text{ m}$$ und der Kreisradius $$15 \text{ m}$$. Bestimme den Mittelpunktswinkel des Bogens.

3. Ein kleiner Kreisbogen hat eine Sehnenlänge von $$24 \text{ m}$$ und einen Radius von $$15 \text{ m}$$. Berechne seinen kleinen Mittelpunktswinkel und seine Bogenhöhe.

4. In einem Koordinatensystem beginnt ein Bogen am Punkt $$(4, 0)$$ und endet am Punkt $$(0, 4)$$ auf einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung. Bestimme eine übliche Parametrisierung des kleinen Bogens im Bogenmaß.

Visible text: 1. Ein idealisierter Kreisbogen hat einen Radius von und einen Mittelpunktswinkel von . Berechne seine Sehnenlänge und Bogenhöhe.

2. Bei einem idealisierten kreisförmigen Querschnitt einer Kuppel beträgt die Bogenhöhe und der Kreisradius . Bestimme den Mittelpunktswinkel des Bogens.

3. Ein kleiner Kreisbogen hat eine Sehnenlänge von und einen Radius von . Berechne seinen kleinen Mittelpunktswinkel und seine Bogenhöhe.

4. In einem Koordinatensystem beginnt ein Bogen am Punkt und endet am Punkt auf einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung. Bestimme eine übliche Parametrisierung des kleinen Bogens im Bogenmaß.

### Ausführliche Lösungen

1. **Lösung:**

   Gegeben: $$r = 30 \text{ m}$$ und $$\theta = 90^\circ$$

   **Sehnenlänge:**

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   c = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 2 \times 30 \times \sin(45^\circ)
   ```

   
   
   ```math
   c = 60 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \text{ m} \approx 42{,}43 \text{ m}
   ```

   </MathContainer>

   **Bogenhöhe:**

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   h = r\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) = 30\left(1 - \cos(45^\circ)\right)
   ```

   
   
   ```math
   h = 30\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 8{,}79 \text{ m}
   ```

   </MathContainer>

2. **Lösung:**

   Gegeben: $$h = 8 \text{ m}$$ und $$r = 15 \text{ m}$$

   **Schritt** $$1$$: Verwende die Bogenhöhenformel

   
   
   ```math
   8 = 15\left(1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)
   ```

   **Schritt** $$2$$: Stelle nach $$\cos$$ um

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   \frac{8}{15} = 1 - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
   ```

   
   
   ```math
   \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}
   ```

   </MathContainer>

   **Schritt** $$3$$: Winkel berechnen

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   \frac{\theta}{2} = \arccos\left(\frac{7}{15}\right) \approx 62{,}18^\circ
   ```

   
   
   ```math
   \theta \approx 124{,}36^\circ
   ```

   </MathContainer>

3. **Lösung:**

   Gegeben: $$c = 24 \text{ m}$$ und $$r = 15 \text{ m}$$

   **Schritt** $$1$$: Verwende die Sehnenformel

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   24 = 2 \times 15 \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
   ```

   
   
   ```math
   \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{24}{30} = 0{,}8
   ```

   </MathContainer>

   **Schritt** $$2$$: Berechne den kleinen Mittelpunktswinkel

   <MathContainer>
   
   
   ```math
   \frac{\theta}{2} = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13^\circ
   ```

   
   
   ```math
   \theta \approx 106{,}26^\circ
   ```

   </MathContainer>

   **Schritt** $$3$$: Berechne die Bogenhöhe

   
   
   ```math
   h = 15\left(1 - \cos(53{,}13^\circ)\right) = 15(1 - 0{,}6) = 6 \text{ m}
   ```

4. **Lösung:**

   - Ausgangspunkt: $$(4, 0)$$ → $$t_1 = 0$$
   - Endpunkt: $$(0, 4)$$ → $$t_2 = \frac{\pi}{2}$$
   - Radius: $$r = 4$$

   **Parametrische Gleichungen:**

   <MathContainer>
   
     
     ```math
     x = 4\cos(t)
     ```

   
     
     ```math
     y = 4\sin(t)
     ```

   
     
     ```math
     0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}
     ```

   </MathContainer>

Visible text: 1. **Lösung:**

 Gegeben: und 

 **Sehnenlänge:**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Bogenhöhe:**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

2. **Lösung:**

 Gegeben: und 

 **Schritt** : Verwende die Bogenhöhenformel

 
 

 **Schritt** : Stelle nach um

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Schritt** : Winkel berechnen

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

3. **Lösung:**

 Gegeben: und 

 **Schritt** : Verwende die Sehnenformel

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Schritt** : Berechne den kleinen Mittelpunktswinkel

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 **Schritt** : Berechne die Bogenhöhe

 
 

4. **Lösung:**

 - Ausgangspunkt: → 
 - Endpunkt: → 
 - Radius: 

 **Parametrische Gleichungen:**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>