# Kreissegmente
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisboegen-und-kreissektoren/kreissegment
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle-arc-sector/segment/de.mdx
Kreissegmente erkennen und ihre Fläche als Differenz aus Sektor- und Dreiecksfläche berechnen.
---
## Grundidee des Kreissegments
Schneidet eine gerade Linie ein Stück von einer kreisförmigen Fläche ab, entsteht die Form eines Kreissegments. Man sieht sie etwa am Rand eines angeschnittenen runden Kuchens.
Eine Sehne und einer der beiden Bögen zwischen ihren Endpunkten begrenzen ein Kreissegment. Der kleine Bogen begrenzt das kleine Kreissegment, der verbleibende große Bogen das große Kreissegment. Ein Durchmesser ist der Grenzfall, in dem beide Segmente Halbkreise sind.
## Unterschied zwischen Bogen und Segment
Zuerst trennen wir zwei Begriffe, die leicht verwechselt werden:
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Kreisbogen
- description: Ein Bogen ist eine gekrümmte Linie am Umfang eines Kreises, die zwei Punkte verbindet. Ein Bogen hat nur in einer Dimension eine Länge und keine Fläche.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "Sehne",
at: 1,
offset: [0, -0.8, 0],
},
],
},
{ kind: "circle-arc", color: "#ea580c",
lineWidth: 4,
label: {
text: "Bogen (gekrümmte Linie)",
offset: [0, 0.8, 0],
},
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120 },
]
Component: LineEquation
Props:
- title: Kreissegment
- description: Ein Segment ist ein Bereich (Fläche) innerhalb eines Kreises, der durch einen Bogen und eine Sehne begrenzt wird. Ein Segment hat eine Fläche in zwei Dimensionen und kann mit Farbe gefüllt werden.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: "Sehne",
at: 1,
offset: [0, -0.8, 0],
},
],
},
{ kind: "circle-arc", color: "#ea580c",
lineWidth: 2,
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120 },
{ kind: "circle-segment", color: "#65a30d",
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
label: {
text: "Kreissegment (Fläche)",
offset: [0, 0.8, 0],
} },
]
**Der entscheidende Unterschied:**
- **Bogen**: Gekrümmte Linie auf dem Umfang eines Kreises (hat nur Länge, keine Fläche)
- **Kreissegment**: Von Bogen und Sehne begrenzter Bereich (besitzt eine Fläche)
## Kleines und großes Kreissegment
Je nachdem, welcher der beiden Bögen zur Sehne gehört, entsteht ein kleines oder ein großes Kreissegment:
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Kleines Kreissegment ($$\theta < 180^\circ$$)
Visible text: Kleines Kreissegment ()
- description: Bei einem Mittelpunktswinkel unter $$180^\circ$$ ist das Segment kleiner als ein Halbkreis. Hier beträgt der Winkel $$120^\circ$$.
Visible text: Bei einem Mittelpunktswinkel unter ist das Segment kleiner als ein Halbkreis. Hier beträgt der Winkel .
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
// Hauptkreis
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
// Mittelpunkt O
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: $$O$$,
at: 0,
offset: [-0.4, -0.4, 0],
},
],
},
// Radius OA
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 30,
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: $$A$$,
at: 1,
offset: [0.4, 0.2, 0],
},
],
},
// Radius OB
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 150,
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: $$B$$,
at: 1,
offset: [-0.4, 0.2, 0],
},
],
},
// Mittelpunktswinkelbogen zur Darstellung von 120°
{ kind: "circle-arc", color: "#d97706",
lineWidth: 3,
label: {
text: $$120^\circ$$,
offset: [0, -0.5, 0],
},
radius: 1.5,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120 },
// Sehne AB
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
},
// Segment (schraffierte Fläche)
{ kind: "circle-segment", color: "#ea580c",
radius: 4,
startDegrees: 30,
sweepDegrees: 120,
label: {
text: "klei ... [truncated; 1241 chars]
Visible text: [
// Hauptkreis
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
// Mittelpunkt O
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: ,
at: 0,
offset: [-0.4, -0.4, 0],
},
],
},
// Radius OA
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 30,
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: ,
at: 1,
offset: [0.4, 0.2, 0],
},
],
},
// Radius OB
{
kind: " ... [truncated; 5782 chars]
**Kurz zusammengefasst:**
- **Kleines Segment**: Mittelpunktswinkel $$< 180^\circ$$, Segmentfläche $$< \frac{1}{2}\pi r^2$$
- **Großes Segment**: Mittelpunktswinkel $$> 180^\circ$$, Segmentfläche $$> \frac{1}{2}\pi r^2$$
Visible text: - **Kleines Segment**: Mittelpunktswinkel , Segmentfläche
- **Großes Segment**: Mittelpunktswinkel , Segmentfläche
## Segmentflächenformel
Das kleine Kreissegment entsteht, wenn wir vom Kreissektor das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne abziehen.
**Warum ist das nicht die Bogenlängenformel?**
- **Bogenlänge** ist $$\frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r$$ (Einheiten: cm, m usw.)
- **Segmentfläche** $$\neq$$ Bogenlänge (da das Segment eine $$2\text{D}$$-Fläche und keine $$1\text{D}$$-Linie ist)
```math
\text{Segmentfläche} = \text{Sektorfläche} - \text{Dreiecksfläche}
```
Setzen wir beide Flächenformeln ein, ergibt sich:
```math
\text{Segmentfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha
```
Dabei ist $$0^\circ < \alpha < 180^\circ$$ der kleine Mittelpunktswinkel in Grad und $$r$$ der Kreisradius.
Für ein großes Kreissegment verwenden wir zunächst den ergänzenden kleinen Winkel $$\beta=360^\circ-\alpha$$ und ziehen dann die kleine Segmentfläche von der gesamten Kreisfläche ab:
```math
\beta=360^\circ-\alpha
```
```math
A_{\mathrm{major}}=\pi r^2-\left(\frac{\beta}{360^\circ}\pi r^2-\frac{1}{2}r^2\sin\beta\right)
```
Visible text: - **Bogenlänge** ist (Einheiten: cm, m usw.)
- **Segmentfläche** Bogenlänge (da das Segment eine -Fläche und keine -Linie ist)
Setzen wir beide Flächenformeln ein, ergibt sich:
Dabei ist der kleine Mittelpunktswinkel in Grad und der Kreisradius.
Für ein großes Kreissegment verwenden wir zunächst den ergänzenden kleinen Winkel und ziehen dann die kleine Segmentfläche von der gesamten Kreisfläche ab:
**Die Einheiten zeigen den Unterschied:**
- Bogenlänge: $$\text{cm}$$, $$\text{m}$$ (Längeneinheiten)
- Segmentfläche: $$\text{cm}^2$$, $$\text{m}^2$$ (Flächeneinheiten)
Visible text: - Bogenlänge: , (Längeneinheiten)
- Segmentfläche: , (Flächeneinheiten)
## Visualisierung der Segmentbildung
Die Darstellung zeigt Sektor, Dreieck und das dazwischen verbleibende Segment:
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Komponenten der Segmentbildung
- description: Das Segment entsteht aus Sektor $$AOB$$ minus Dreieck{" "}
$$AOB$$. Der Mittelpunktswinkel beträgt{" "}
$$90^\circ$$, der Radius{" "}
$$4 \text{ Einheiten}$$.
Visible text: Das Segment entsteht aus Sektor minus Dreieck
. Der Mittelpunktswinkel beträgt
, der Radius
.
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
- data: [
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 0,
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: $$O$$,
at: 0,
offset: [-0.3, -0.3, 0],
},
{
text: $$A$$,
at: 1,
offset: [0.3, -0.3, 0],
},
],
},
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 90,
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: $$B$$,
at: 1,
offset: [-0.3, 0.3, 0],
},
],
},
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 0,
sweepDegrees: 90,
color: "#65a30d",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: <>Sehne $$AB$$,
at: 1,
offset: [2.5, 0.5, 0],
},
],
},
{ kind: "circle-arc", color: "#c026d3",
lineWidth: 4,
label: {
text: <>Bogen $$\widehat{AB}\;(90^\circ)$$,
offset: [2, 0.5, 0],
},
radius: 4,
startDegrees: 0,
sweepDegrees: 90 },
]
Visible text: [
{
kind: "circle-outline", radius: 4,
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 0,
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: ,
at: 0,
offset: [-0.3, -0.3, 0],
},
{
text: ,
at: 1,
offset: [0.3, -0.3, 0],
},
],
},
{
kind: "circle-radius", radius: 4, degrees: 90,
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: ,
at: 1,
offset: [-0.3, 0.3, 0],
},
],
},
{
kind: "circle-chord", radius: 4,
startDegrees: 0,
sweepDegrees: 90,
color: "#65a30d",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{
text: <>Sehne ,
at: 1,
offset: [2.5, 0.5, 0],
},
],
},
{ kind: "circle-arc", color: "#c026d3",
lineWidth: 4,
label: {
text: <>Bogen ,
offset: [2, 0.5, 0],
},
radius: 4,
startDegrees: 0,
sweepDegrees: 90 ... [truncated; 2204 chars]
## Segmentflächenberechnung
Wir berechnen nun die Segmentfläche für $$\alpha = 90^\circ$$ und $$r = 10 \text{ cm}$$.
Visible text: Wir berechnen nun die Segmentfläche für und .
**Schritt** $$1$$: Sektorfläche berechnen
Visible text: **Schritt** : Sektorfläche berechnen
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2
```
```math
= \frac{1}{4} \times \pi \times 10^2
```
```math
= \frac{1}{4} \times \pi \times 100
```
```math
= 25\pi \text{ cm}^2 \approx 78{,}5398 \text{ cm}^2
```
**Schritt** $$2$$: Dreiecksfläche berechnen
Visible text: **Schritt** : Dreiecksfläche berechnen
Für einen Winkel $$90^\circ$$ ist das gebildete Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem beide senkrechten Seiten Radien sind:
Visible text: Für einen Winkel ist das gebildete Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem beide senkrechten Seiten Radien sind:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Dreiecksfläche} = \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin 90^\circ
```
```math
= \frac{1}{2} \times 10^2 \times 1
```
```math
= \frac{1}{2} \times 100 \times 1
```
```math
= 50 \text{ cm}^2
```
**Schritt** $$3$$: Segmentfläche berechnen
Visible text: **Schritt** : Segmentfläche berechnen
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Segmentfläche} = \text{Sektorfläche} - \text{Dreiecksfläche}
```
```math
= 25\pi - 50
```
```math
\approx 78{,}5398 - 50
```
```math
\approx 28{,}5398 \text{ cm}^2
```
## Übungen
1. Ein Kreis hat den Radius $$7 \text{ cm}$$. Bestimme die Fläche des Segments zu einem Mittelpunktswinkel von $$60^\circ$$.
2. Ein kleines Kreissegment hat in einem Kreis mit Radius $$5 \text{ cm}$$ eine Fläche von ungefähr $$15{,}3546 \text{ cm}^2$$. Bestimme den zugehörigen kleinen Mittelpunktswinkel.
3. Ein liegender zylindrischer Tank mit Radius $$2 \text{ m}$$ ist vom Boden aus bis zu einer Höhe von $$1{,}5 \text{ m}$$ mit Wasser gefüllt. Bestimme die vom Wasser eingenommene Querschnittsfläche.
Visible text: 1. Ein Kreis hat den Radius . Bestimme die Fläche des Segments zu einem Mittelpunktswinkel von .
2. Ein kleines Kreissegment hat in einem Kreis mit Radius eine Fläche von ungefähr . Bestimme den zugehörigen kleinen Mittelpunktswinkel.
3. Ein liegender zylindrischer Tank mit Radius ist vom Boden aus bis zu einer Höhe von mit Wasser gefüllt. Bestimme die vom Wasser eingenommene Querschnittsfläche.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösungsschritte:**
Gegeben: $$r = 7 \text{ cm}$$, $$\alpha = 60^\circ$$
Sektorfläche berechnen:
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2
```
```math
= \frac{1}{6} \times \pi \times 49
```
```math
= \frac{49\pi}{6} \text{ cm}^2
```
Dreiecksfläche berechnen:
```math
\text{Dreiecksfläche} = \frac{1}{2} r^2 \sin 60^\circ
```
```math
= \frac{1}{2} \times 49 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
```
```math
= \frac{49\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2
```
Segmentfläche berechnen:
```math
\text{Segmentfläche} = \frac{49\pi}{6} - \frac{49\sqrt{3}}{4}
```
```math
\approx 25{,}6563 - 21{,}2176 = 4{,}4387 \text{ cm}^2
```
2. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Segmentfläche $$\approx 15{,}3546 \text{ cm}^2$$, $$r = 5 \text{ cm}$$
Verwendet wird: $$\text{Segmentfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha$$
Löse die Gleichung numerisch im Intervall für kleine Winkel $$0^\circ<\alpha<180^\circ$$. Das ergibt:
$$\alpha \approx 120^\circ$$
Überprüfung:
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 25 = \frac{25\pi}{3}
```
```math
\text{Dreiecksfläche} = \frac{1}{2} \times 25 \times \sin 120^\circ = \frac{25\sqrt{3}}{4}
```
```math
\text{Segmentfläche} = \frac{25\pi}{3} - \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 26{,}1799 - 10{,}8253 = 15{,}3546 \text{ cm}^2
```
Das stimmt nach dem Runden mit der angegebenen Fläche überein. Der Mittelpunktswinkel beträgt daher ungefähr $$120^\circ$$.
3. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Tankradius = $$2 \text{ m}$$, Wasserhöhe = $$1{,}5 \text{ m}$$
Da die Wasserhöhe ($$1{,}5 \text{ m}$$) kleiner als der Radius ($$2 \text{ m}$$) ist, bildet der gefüllte Teil des Kreisquerschnitts ein kleines Kreissegment.
Für einen liegenden Zylinder verwenden wir die Kreissegmentformel mit der Segmenthöhe.
Die Segmenthöhe vom Tankboden ist:
```math
h = 1{,}5 \text{ m (Wasserhöhe vom Boden)}
```
Für die gefüllte Querschnittsfläche gilt:
```math
\text{Fläche} = r^2 \times \left[\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) - \frac{r-h}{r} \times \sqrt{1-\left(\frac{r-h}{r}\right)^2}\right]
```
Der von $$\arccos$$ gelieferte Winkel wird dabei im Bogenmaß eingesetzt, wie es die Flächenformel verlangt.
Ersatzwerte:
```math
\frac{r-h}{r} = \frac{2-1{,}5}{2} = 0{,}25
```
```math
\arccos(0{,}25) \approx 1{,}3181 \text{ rad}
```
```math
\sqrt{1-0{,}25^2} = \sqrt{0{,}9375} \approx 0{,}9682
```
Gefüllte Querschnittsfläche berechnen:
```math
\text{Fläche} = 4 \times [\arccos(0{,}25) - 0{,}25\sqrt{0{,}9375}]
```
```math
\approx 4 \times 1{,}0760546
```
```math
\approx 4{,}3042 \text{ m}^2
```
Visible text: 1. **Lösungsschritte:**
Gegeben: ,
Sektorfläche berechnen:
Dreiecksfläche berechnen:
Segmentfläche berechnen:
2. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Segmentfläche ,
Verwendet wird:
Löse die Gleichung numerisch im Intervall für kleine Winkel . Das ergibt:
Überprüfung:
Das stimmt nach dem Runden mit der angegebenen Fläche überein. Der Mittelpunktswinkel beträgt daher ungefähr .
3. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Tankradius = , Wasserhöhe =
Da die Wasserhöhe () kleiner als der Radius () ist, bildet der gefüllte Teil des Kreisquerschnitts ein kleines Kreissegment.
Für einen liegenden Zylinder verwenden wir die Kreissegmentformel mit der Segmenthöhe.
Die Segmenthöhe vom Tankboden ist:
Für die gefüllte Querschnittsfläche gilt:
Der von gelieferte Winkel wird dabei im Bogenmaß eingesetzt, wie es die Flächenformel verlangt.
Ersatzwerte:
Gefüllte Querschnittsfläche berechnen: