# Kreissektor
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/kreisboegen-und-kreissektoren/kreissektor
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/circle-arc-sector/circle-sector/de.mdx
Kreissektoren erkennen und ihre Fläche aus Radius und Mittelpunktswinkel berechnen.
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## Definition des Kreissektors
Ein Kreissektor ist der Teil einer Kreisscheibe, der von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt wird. Ein radial aus einer runden Torte geschnittenes Stück oder eine Orangenspalte hat annähernd diese Form.
Sein Rand besteht aus drei Teilen:
- Zwei Radien, die sich im Kreismittelpunkt treffen
- Ein Bogen, der die Enden beider Radien verbindet
Die beiden Radien bilden im Kreismittelpunkt einen Mittelpunktswinkel. Bei festem Radius bestimmt dieser Winkel, welchen Anteil der Kreisscheibe der Sektor einnimmt.
## Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Sektorfläche
Bei festem Radius wächst die Sektorfläche proportional zum Mittelpunktswinkel. Ein doppelt so großer Winkel gehört also zu einer doppelt so großen Sektorfläche.
Misst der Mittelpunktswinkel $$\alpha$$ Grad, dann beträgt der Flächenanteil des Sektors $$\frac{\alpha}{360^\circ}$$ der gesamten Kreisfläche.
Visible text: Misst der Mittelpunktswinkel Grad, dann beträgt der Flächenanteil des Sektors der gesamten Kreisfläche.
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```
Bei $$90^\circ$$ umfasst der Sektor ein Viertel der Kreisfläche, bei $$180^\circ$$ genau die Hälfte.
Visible text: Bei umfasst der Sektor ein Viertel der Kreisfläche, bei genau die Hälfte.
## Berechnung der Sektorfläche
Für die Berechnung benötigen wir den Radius und den Mittelpunktswinkel.
Ein Kreis habe den Radius $$14 \text{ cm}$$ und der Sektor den Mittelpunktswinkel $$60^\circ$$. Einsetzen liefert:
Visible text: Ein Kreis habe den Radius und der Sektor den Mittelpunktswinkel . Einsetzen liefert:
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 14^2
```
```math
= \frac{1}{6} \times \pi \times 196
```
```math
= \frac{196\pi}{6}
```
```math
= \frac{98\pi}{3} \text{ cm}^2
```
```math
\approx 102{,}63 \text{ cm}^2
```
Die Sektorfläche beträgt exakt $$\frac{98\pi}{3} \text{ cm}^2$$, also ungefähr $$102{,}63 \text{ cm}^2$$.
Visible text: Die Sektorfläche beträgt exakt , also ungefähr .
## Winkel und Flächenanteil vergleichen
Die folgenden Darstellungen zeigen, wie der Flächenanteil mit dem Winkel zunimmt:
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Sektor $$60^\circ$$ ($$\frac{1}{6}$$ des Kreises)
Visible text: Sektor ( des Kreises)
- description: Ein Mittelpunktswinkel von $$60^\circ$$ erfasst $$\frac{1}{6}$$ der Kreisfläche.
Visible text: Ein Mittelpunktswinkel von erfasst der Kreisfläche.
- cameraPosition: [6, 4, 6]
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 60;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: false,
lineWidth: 2,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI / 3) / 20;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{
text: $$60^\circ=\frac{1}{6}$$,
at: 10,
offset: [0.8, 0.5, 0],
color: "#7c3aed",
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
const angle = (i * 2 * Math.PI) / 60;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#4f46e5",
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smooth: true,
lineWidth: 1,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
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lineWidth: 2,
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
],
color: "#ea580c",
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},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = (i * Math.PI / 3) / 20;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0,
};
}),
color: "#e11d48",
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lineWidth: 4,
labels: [
{
text: ,
at: 10,
offset: [0.8, 0.5, 0],
color: "#7c3aed",
},
],
},
]
Component: LineEquation
Props:
- title: Sektor $$90^\circ$$ ($$\frac{1}{4}$$ des Kreises)
Visible text: Sektor ( des Kreises)
- description: Ein ... [truncated; 9881 chars]
## Übungsaufgaben
1. Ein Kreis hat den Radius $$21 \text{ cm}$$. Bestimme die Fläche des Sektors mit $$120^\circ$$.
2. Ein Sektor hat in einem Kreis mit dem Radius $$14 \text{ cm}$$ die Fläche $$49\pi \text{ cm}^2$$. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
3. Ein rundes Fladenbrot mit Durchmesser $$28 \text{ cm}$$ wird radial durch seinen Mittelpunkt in $$8$$ gleich große Sektoren geschnitten. Bestimme die Fläche eines Stücks.
Visible text: 1. Ein Kreis hat den Radius . Bestimme die Fläche des Sektors mit .
2. Ein Sektor hat in einem Kreis mit dem Radius die Fläche . Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
3. Ein rundes Fladenbrot mit Durchmesser wird radial durch seinen Mittelpunkt in gleich große Sektoren geschnitten. Bestimme die Fläche eines Stücks.
### Ausführliche Lösungen
1. **Lösungsschritte:**
Gegeben: $$r = 21 \text{ cm}$$, $$\alpha = 120^\circ$$
```math
\text{Sektorfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2
```
```math
= \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 21^2
```
```math
= \frac{1}{3} \times \pi \times 441
```
```math
= \frac{441\pi}{3}
```
```math
= 147\pi \text{ cm}^2
```
```math
\approx 461{,}81 \text{ cm}^2
```
2. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Sektorfläche = $$49\pi \text{ cm}^2$$, $$r = 14 \text{ cm}$$
```math
49\pi = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi \times 14^2
```
```math
49\pi = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 196\pi
```
```math
49 = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 196
```
```math
\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{49}{196}
```
```math
\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{1}{4}
```
```math
\alpha = \frac{1}{4} \times 360^\circ
```
```math
\alpha = 90^\circ
```
3. **Lösungsschritte:**
Gegeben ist der Durchmesser $$28 \text{ cm}$$, also $$r = 14 \text{ cm}$$.
Bei $$8$$ gleich großen radialen Sektoren beträgt der Mittelpunktswinkel jedes Stücks $$\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$$.
```math
\text{Fläche jedes Stücks} = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 14^2
```
```math
= \frac{1}{8} \times \pi \times 196
```
```math
= \frac{196\pi}{8}
```
```math
= \frac{49\pi}{2} \text{ cm}^2
```
```math
\approx 76{,}97 \text{ cm}^2
```
Visible text: 1. **Lösungsschritte:**
Gegeben: ,
2. **Lösungsschritte:**
Gegeben: Sektorfläche = ,
3. **Lösungsschritte:**
Gegeben ist der Durchmesser , also .
Bei gleich großen radialen Sektoren beträgt der Mittelpunktswinkel jedes Stücks .