# Mittelpunktswinkel und Kreissektor

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Den Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Sektorfläche verstehen und für Berechnungen nutzen.

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## Mittelpunktswinkel eines Kreissektors

Ein Kreissektor wird von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt. Die beiden Radien bilden einen Winkel mit Scheitel im Kreismittelpunkt. Diesen Winkel nennen wir Mittelpunktswinkel. Ein geöffnetes Fächerblatt oder ein Tortenstück zeigt dieselbe Form.

Der Mittelpunktswinkel bestimmt, welchen Anteil des Kreises der Sektor einnimmt. Ein größerer Winkel erzeugt bei gleichem Radius einen größeren Sektor, ein kleinerer Winkel einen kleineren. Genau diese Proportionalität verwenden wir bei der Flächenberechnung.

Component: LineEquation
Props:
- title: Mittelpunktswinkel eines Sektors
- description: Der Scheitel liegt im Kreismittelpunkt $$O$$; die beiden Winkelschenkel sind Radien.
  Visible text: Der Scheitel liegt im Kreismittelpunkt ; die beiden Winkelschenkel sind Radien.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = (i / 100) * 2 * Math.PI;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: true
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.4, -0.4, 0] },
{ text: $$A$$, at: 1, offset: [0.3, 0.2, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(5 * Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(5 * Math.PI / 6), z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: $$B$$, at: 1, offset: [-0.3, 0.2, 0] }
]
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI / 6 + (i / 40) * (2 * Math.PI / 3);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{ text: "Sektor", at: 20, offset: [-0.8, 0.6, 0] }
]
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI / 6 + (i / 20) * (2 * Math.PI / 3);
const radius = 1.5;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin( ... [truncated; 1352 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = (i / 100) * 2 * Math.PI;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: true
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.4, -0.4, 0] },
{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.2, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(5 * Math.PI / 6), y: 4 * Math.sin(5 * Math.PI / 6), z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.2, 0] }
]
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI / 6 + (i / 40) * (2 * Math.PI / 3);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{ text: "Sektor", at: 20, offset: [-0.8, 0.6, 0] }
]
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = Math.PI / 6 + (i / 20) * (2 * Math.PI / 3);
const radius = 1.5;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin( ... [truncated; 1352 chars]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false

## Eigenschaften des Mittelpunktswinkels

Ein Mittelpunktswinkel lässt sich an drei Merkmalen erkennen:

- **Winkelschenkel**: Beide sind gleich lange Radien
- **Scheitelpunkt**: Er liegt genau im Kreismittelpunkt
- **Kreisanteil**: Das Winkelmaß bestimmt den Anteil des Sektors am gesamten Kreis

Sektoren desselben Kreises haben genau dann dieselbe Fläche, wenn ihre Mittelpunktswinkel gleich groß sind. So lässt sich ein Kreis über gleiche Winkel in flächengleiche Teile zerlegen.

## Zusammenhang mit der Sektorfläche

Ein Vollwinkel gehört zur gesamten Kreisfläche. Für einen Sektor ergeben sich deshalb zwei gebräuchliche Formeln:

**Für Winkel in Grad:**

```math
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
```

**Für Winkel im Bogenmaß:**

```math
A = \frac{1}{2} \theta r^2
```

Dabei bezeichnet:

- $$A$$ die Sektorfläche
- $$\theta$$ den Mittelpunktswinkel, in der ersten Formel in Grad und in der zweiten im Bogenmaß
- $$r$$ den Kreisradius

Visible text: - die Sektorfläche
- den Mittelpunktswinkel, in der ersten Formel in Grad und in der zweiten im Bogenmaß
- den Kreisradius

Bei festem Radius ist die Sektorfläche proportional zum Winkel. Verdoppelt sich der Winkel, verdoppelt sich die Fläche; halbiert sich der Winkel, halbiert sich auch die Fläche.

Component: LineEquation
Props:
- title: Sektoren mit verschiedenen Mittelpunktswinkeln
- description: Die Winkel $$45^\circ$$, $$90^\circ$$ und $$135^\circ$$ veranschaulichen den proportionalen Flächenzuwachs.
  Visible text: Die Winkel , und veranschaulichen den proportionalen Flächenzuwachs.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = (i / 100) * 2 * Math.PI;
return {
x: 3.5 * Math.cos(angle),
y: 3.5 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: true
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3.5 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 3.5 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
lineWidth: 2
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (i / 15) * (Math.PI / 4);
return {
x: 3.5 * Math.cos(angle),
y: 3.5 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: $$45^\circ$$, at: 7, offset: [0.4, 0.2, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 2 },
{ x: 3.5, y: 0, z: 2 }
],
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
lineWidth: 2
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 2 },
{ x: 3.5 * Math.cos(Math.PI / 2), y: 3.5 * Math.sin(Math.PI / 2), z: 2 }
],
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
lineWidth: 2
},
{
points: Array.from({ length: 26 }, (_, i) => {
const angle = (i / 25) * ( ... [truncated; 2007 chars]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = (i / 100) * 2 * Math.PI;
return {
x: 3.5 * Math.cos(angle),
y: 3.5 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: true
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3.5, y: 0, z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
lineWidth: 2,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3.5 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 3.5 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
lineWidth: 2
},
{
points: Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
const angle = (i / 15) * (Math.PI / 4);
return {
x: 3.5 * Math.cos(angle),
y: 3.5 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: , at: 7, offset: [0.4, 0.2, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 2 },
{ x: 3.5, y: 0, z: 2 }
],
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
lineWidth: 2
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 2 },
{ x: 3.5 * Math.cos(Math.PI / 2), y: 3.5 * Math.sin(Math.PI / 2), z: 2 }
],
color: "#4f46e5",
showPoints: false,
lineWidth: 2
},
{
points: Array.from({ length: 26 }, (_, i) => {
const angle = (i / 25) * ( ... [truncated; 2007 chars]
- cameraPosition: [8, 6, 8]
- showZAxis: true

## Mittelpunktswinkel erkennen und messen

Prüfe zuerst die Lage des Scheitels: Beim Mittelpunktswinkel liegt er im Kreismittelpunkt, beim Umfangswinkel dagegen auf der Kreislinie. Außerdem müssen beide Schenkel des Mittelpunktswinkels Radien sein.

**Mögliche Bestimmungen:**

- **Mit dem Winkelmesser**: Mittelpunkt auf den Kreismittelpunkt legen, die Grundlinie an einem Radius ausrichten und am zweiten Radius ablesen
- **Durch Berechnung**: Beziehungen zwischen Mittelpunktswinkel, Radius, Bogenlänge und Sektorfläche nutzen
- **Bei gleicher Kreisteilung**: $$360^\circ$$ durch die Anzahl der Teile dividieren

Visible text: - **Mit dem Winkelmesser**: Mittelpunkt auf den Kreismittelpunkt legen, die Grundlinie an einem Radius ausrichten und am zweiten Radius ablesen
- **Durch Berechnung**: Beziehungen zwischen Mittelpunktswinkel, Radius, Bogenlänge und Sektorfläche nutzen
- **Bei gleicher Kreisteilung**: durch die Anzahl der Teile dividieren

Ist der Winkel bekannt, lassen sich daraus die zugehörige Sektorfläche und die Bogenlänge berechnen.

Component: LineEquation
Props:
- title: Einen Mittelpunktswinkel ablesen
- description: Die beiden Radien begrenzen einen Mittelpunktswinkel von $$60^\circ$$.
  Visible text: Die beiden Radien begrenzen einen Mittelpunktswinkel von .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = (i / 100) * 2 * Math.PI;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: true
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
lineWidth: 3
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = (i / 20) * (Math.PI / 3);
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{ text: "Bogen", at: 10, offset: [1, 0.5, 0] }
]
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const angle = (i / 10) * (Math.PI / 3);
const radius = 1.2;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 2,
labels: [
{ text: $$60^\circ$$, at: 5, offset: [0.5, 0.5, 0] }
]
}
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = (i / 100) * 2 * Math.PI;
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: true
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 0, z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
lineWidth: 3
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const angle = (i / 20) * (Math.PI / 3);
return {
x: 3 * Math.cos(angle),
y: 3 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{ text: "Bogen", at: 10, offset: [1, 0.5, 0] }
]
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const angle = (i / 10) * (Math.PI / 3);
const radius = 1.2;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 2,
labels: [
{ text: , at: 5, offset: [0.5, 0.5, 0] }
]
}
]
- cameraPosition: [0, 0, 8]
- showZAxis: false

## Satz über Mittelpunktswinkel und Bogen

Der grundlegende Satz beschreibt die direkte Beziehung zwischen Winkel und Bogen:

**Hauptsatz:**

- Das Gradmaß eines Mittelpunktswinkels entspricht dem Gradmaß des zugehörigen Bogens
- Misst der Mittelpunktswinkel $$\alpha$$ Grad, dann misst auch der erfasste Bogen $$\alpha$$ Grad

Visible text: - Das Gradmaß eines Mittelpunktswinkels entspricht dem Gradmaß des zugehörigen Bogens
- Misst der Mittelpunktswinkel Grad, dann misst auch der erfasste Bogen Grad

**Wichtige Eigenschaften:**

- Im gleichen Kreis erzeugen kongruente Mittelpunktswinkel kongruente Bögen und Sektoren
- Haben zwei Sektoren desselben Kreises dieselbe Fläche, sind ihre Mittelpunktswinkel gleich groß
- Addieren sich benachbarte Mittelpunktswinkel, addieren sich auch die zugehörigen Bogenmaße

Diese Eigenschaften verbinden Mittelpunktswinkel, Bogenmaß und Sektorfläche innerhalb eines Kreises. Dabei ist das Gradmaß eines Bogens von seiner physikalischen Länge zu unterscheiden.

## Den Mittelpunktswinkel berechnen

Je nach gegebenen Größen lässt sich der Mittelpunktswinkel auf drei Arten bestimmen:

1. **Aus Sektorfläche und Radius:**

   
   
   ```math
   \alpha = \frac{360^\circ \times A}{\pi r^2}
   ```

2. **Aus Bogenlänge und Radius:**

   
   
   ```math
   \alpha = \frac{180^\circ \times s}{\pi r}
   ```

3. **Aus gleicher Kreisteilung:**

   
   
   ```math
   \alpha = \frac{360^\circ}{n}
   ```

Visible text: 1. **Aus Sektorfläche und Radius:**

 
 

2. **Aus Bogenlänge und Radius:**

 
 

3. **Aus gleicher Kreisteilung:**

Dabei bezeichnet:

- $$\alpha$$ den Mittelpunktswinkel in Grad
- $$A$$ die Sektorfläche
- $$s$$ die Bogenlänge
- $$r$$ den Radius
- $$n$$ die Anzahl gleich großer Teile

Visible text: - den Mittelpunktswinkel in Grad
- die Sektorfläche
- die Bogenlänge
- den Radius
- die Anzahl gleich großer Teile

Welche Formel passt, entscheidet also die Aufgabenangabe: Fläche, Bogenlänge oder Anzahl gleicher Teile.

Component: LineEquation
Props:
- title: Größen bei der Winkelberechnung
- description: Gezeigt sind Radius $$r$$, Bogenlänge $$s$$ und Mittelpunktswinkel $$72^\circ$$.
  Visible text: Gezeigt sind Radius , Bogenlänge und Mittelpunktswinkel .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = (i / 100) * 2 * Math.PI;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: true
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: $$r$$, at: 1, offset: [-1.5, -0.5, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(2 * Math.PI / 5), y: 4 * Math.sin(2 * Math.PI / 5), z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
lineWidth: 3
},
{
points: Array.from({ length: 29 }, (_, i) => {
const angle = (i / 28) * (2 * Math.PI / 5);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{ text: $$s$$, at: 14, offset: [0.4, 0.3, 0] }
]
},
{
points: Array.from({ length: 15 }, (_, i) => {
const angle = (i / 14) * (2 * Math.PI / 5);
const radius = 1.5;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 2,
labels: [
{ text: $$72^\circ$$, at: 7, offset: [0.3, 0.2, 0] }
]
}
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
const angle = (i / 100) * 2 * Math.PI;
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: true
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4, y: 0, z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
lineWidth: 3,
labels: [
{ text: , at: 1, offset: [-1.5, -0.5, 0] }
]
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 4 * Math.cos(2 * Math.PI / 5), y: 4 * Math.sin(2 * Math.PI / 5), z: 0 }
],
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
lineWidth: 3
},
{
points: Array.from({ length: 29 }, (_, i) => {
const angle = (i / 28) * (2 * Math.PI / 5);
return {
x: 4 * Math.cos(angle),
y: 4 * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 4,
labels: [
{ text: , at: 14, offset: [0.4, 0.3, 0] }
]
},
{
points: Array.from({ length: 15 }, (_, i) => {
const angle = (i / 14) * (2 * Math.PI / 5);
const radius = 1.5;
return {
x: radius * Math.cos(angle),
y: radius * Math.sin(angle),
z: 0
};
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: true,
lineWidth: 2,
labels: [
{ text: , at: 7, offset: [0.3, 0.2, 0] }
]
}
]
- cameraPosition: [6, 6, 5]
- showZAxis: false

**Beispiele für gleich große Kreisteile:**

- Runde Pizza, radial in $$8$$ gleich große Sektoren geschnitten: $$\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$$
- Benachbarte Stundenmarkierungen eines Zifferblatts mit $$12$$ gleichen Teilungen: $$\alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$$
- Runder Kuchen, radial in $$6 \text{ gleich große Sektoren}$$ geschnitten: $$\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$

Visible text: - Runde Pizza, radial in gleich große Sektoren geschnitten: 
- Benachbarte Stundenmarkierungen eines Zifferblatts mit gleichen Teilungen: 
- Runder Kuchen, radial in geschnitten:

In jedem Beispiel sind die Teile gleich groß. Deshalb sind auch ihre Mittelpunktswinkel gleich.